夏良娟

2009年江蘇省高考題最后一題考了含參帶有絕對(duì)值的二次函數(shù)，本質(zhì)是含有絕對(duì)值的二次函數(shù)最值求解問(wèn)題，重點(diǎn)考查了分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合的思想。此類(lèi)題目有一定的綜合性與靈活性，學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題往往感到有一定的困難。在教學(xué)過(guò)程中，我對(duì)這類(lèi)題目進(jìn)行了小結(jié)，總結(jié)了兩種方法。

二次函數(shù)是最簡(jiǎn)單的非線性函數(shù)之一，它有著豐富的內(nèi)容，對(duì)近代數(shù)學(xué)乃至現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)，與二次函數(shù)有關(guān)的含有絕對(duì)值不等式的證明問(wèn)題有一定的綜合性與靈活性，學(xué)生解決此類(lèi)問(wèn)題往往感到有一定的困難。本文通過(guò)幾個(gè)例子，歸納解決這類(lèi)問(wèn)題的一些常見(jiàn)題型與基本方法。

例：已知f（x）=2x2+（x-a）x-a，求f（x）的最小值。

解：f（x）=2x2+（x-a）x-a=x2+2ax-a2，x≤a

3x2-2ax+a2，x≥a

注意函數(shù)在x=a處相接，分段時(shí)兩側(cè)都取閉區(qū)間，以防止有一側(cè)無(wú)最值。

法一：分段求各部分的最小值，再比較。

當(dāng)x≥a時(shí)，如圖1所示。若a≥，即a≥0，f（x）的最小值在x=a處取得，f（x）min=f（a）=2a2；若a<，即a<0，f（x）的最小值在

x=處取得，f（x）min=f（）=a2；

當(dāng)x≤a時(shí)，如圖2所示。若a≥-a，即a≥0，f（x）的最小值在

x=-a處取得，f（x）min=f（-a）=-2a2；若a<-a，即a<0，f（x）的最小值在x=a處取得，f（x）min=f（a）=2a2。

這種方法是大部分學(xué)生所喜歡采用的方法，可是做到這里之后就結(jié)束了，不知道或不會(huì)綜合，難以寫(xiě)出最終答案。由于f（x）分段，故需比較各段上的最小值，可以通過(guò)畫(huà)數(shù)軸的方法得出最后的結(jié)論。

當(dāng)a<0時(shí)，a2<2a2，f（x）min=f（）=a2；

當(dāng)a≥0時(shí)，2a2>-2a2，f（x）min=f（-a）=-2a2.

綜上，f（x）min=a2，a<0

-2a2，a≥0

法二：討論a的位置，畫(huà)出完整的對(duì)接圖形，由圖直接得出最小值。由于對(duì)稱軸是，-a，它們與a的分界點(diǎn)為a=0。若不能直接得到，則令=a，-a=a，找到分界點(diǎn)a=0。一般有兩個(gè)，此題較特殊，只有一個(gè)。

當(dāng)a≥0時(shí)，

當(dāng)a<0時(shí)，

由圖3可知，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）min=f（-a）=-2a2；當(dāng)a<0時(shí)，f（x）min=

f（）=a2.

（a的取值范圍與對(duì)稱軸比較大小時(shí)，可在范圍內(nèi)任取一個(gè)看大?。?/p>

這兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，各位同學(xué)可以根據(jù)自己掌握的情況選擇一種方法重點(diǎn)掌握。利用你所掌握的方法試著解這道題目：求g（x）=x2+x-a+1的最小值。

（作者單位 江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)）