段文山
摘 要:新課標倡導(dǎo)積極主動、勇于探索的課堂教學(xué)實踐,動手操作的體驗課堂隨處可見,然而,怎樣的體驗課堂才能創(chuàng)造出一個個驚喜呢?通過動手操作,使學(xué)生獲得的不僅是知識與技能,更是一種認識事物的方式,一種超越現(xiàn)象認識隱藏于背后的本質(zhì)的追求.嘗試:“在實踐中體驗,在體驗中思考,在思考中感悟,在感悟中創(chuàng)新”的數(shù)學(xué)課堂實踐,取得了較好的教學(xué)效果.
關(guān)鍵詞:實踐;體驗;思考;創(chuàng)新
一、“操作”中體驗
陶行知先生說:“要解放孩子的頭腦、雙手、腳、空間、時間,使他們充分得到自由的生活,從自由的生活中得到真正的教育.”勇于探索,放手讓學(xué)生去“做”,已成為廣大教師的共識,但如何“做”,為什么這么“做”,是否“做”得更好等諸多問題卻仍然困擾著我們.我嘗試讓學(xué)生盡量在真實的活動中獲得體驗,由表及里地審視數(shù)學(xué)知識,再現(xiàn)知識的形成過程.
案例Ⅰ“橢圓概念”的認識
師:“嫦娥奔月”,國人振奮.展示“嫦娥二號”探月的圖片,并提問:“嫦娥二號”運行的軌道是什么形狀?
生:橢圓!
師:同學(xué)們借助身邊可供操作的素材,嘗試著畫一個橢圓,邊思考橢圓是怎樣畫成的?
生:積極思考,合作探究,有的用圓規(guī)、有的用校卡,有的用小型膠帶(學(xué)生用品),有的徒手畫,有的借助畫圖板……10秒后,不少同學(xué)成功地畫出了橢圓,極少數(shù)同學(xué)仍在嘗試.
師:有哪位同學(xué)能在黑板上展示一下畫橢圓的過程嗎?
生1:用一條繩子(無彈性)對折,一端用左手按住,另一端系一支粉筆,把繩子拉直,將粉筆旋轉(zhuǎn)一圈,松手一望,喲,怎么還是圓呢?
生2:將對折后繩子的兩個端點稍分開,分別用兩個指頭按住,中間再用粉筆畫.
師:按照這位同學(xué)的思路在黑板上畫圖,故意將繩子變松,畫出圖:學(xué)生們笑了.
生3:您畫的是“怪蛋”,圓不圓,扁不扁.
生4:繩子沒拉緊.
師:機智地捕捉到這一關(guān)鍵思路.問:繩子沒拉緊就畫成“怪蛋?”學(xué)生陷入思考……
生5:(急于表現(xiàn))繩子拉緊了就是橢圓,就在黑板上畫出一個橢圓.
生6:我知道了,拉緊了就能使叉開的距離之和等于繩子的長度,保持不變,剛才老師畫的時候繩子松了一下,叉開的距離之和就變了,所以畫出的圖形就不是橢圓.
師:太棒了!誰能給出橢圓的定義?
生7:到兩點的距離之和為常數(shù)的點的軌跡是橢圓.
師:到兩定點的距離之和等于定長的點的軌跡一定是橢圓
嗎?同時將兩定點的距離拉開,再畫一個橢圓.
生8:扁了.
師:繩子的長度一定,兩定點距離越來越大,橢圓越來越扁,照這樣“扁”下去,后果會怎樣?
生9:壓扁成一條線段,叉不開了.
生10:到兩定點距離之和等于定長(大于兩定點間距離)的點的軌跡是橢圓.
師:再次演示,將粉筆一端拉緊繩子,但離開黑板畫,學(xué)生會意.
生11:應(yīng)加上“在平面內(nèi)”,要不然就成雞蛋了.(掌聲響起……)
評注:通過操作,使學(xué)生從具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡,學(xué)生獲得了大量的感性材料,從而加深了對橢圓概念的深層次領(lǐng)悟.
二、“體驗”中思考
真正的思維起源于某種疑惑、迷亂或懷疑.思維的發(fā)生不是依據(jù)普遍的原則,而是由某種事物作為誘因發(fā)生的.以動手操作誘發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,可以巧妙地把以數(shù)學(xué)思維為核心的腦部活動和動手操作有機結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生在一個個數(shù)學(xué)活動中積累經(jīng)驗,提升觀察、實驗、猜想、驗證、推理、概括等能力.
案例Ⅱ“等差數(shù)列前n項和”
課前準備:將班上同學(xué)分成9組,每組5~6人,每個小組分發(fā)大小相同的硬紙片,上面都寫著1.這足以引起同學(xué)們疑惑……
師:同學(xué)們,還記得前面了解過的古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的浪漫沙灘之旅嗎?今天我們重溫當(dāng)時的場景,請同學(xué)們借助硬紙片將它完成.
生:(釋惑)哦!原來要我們玩.
學(xué)生很快就擺出圖形,如圖1、如圖2.
師:如圖3,第100個圖案中擺了幾塊硬紙片?
生:圖3中前幾個圖案中還可以數(shù),越往后的圖案所需片數(shù)越多,擺到第100個圖案,紙片是肯定不夠的.
評注:紙片數(shù)不夠,這一矛盾引起學(xué)生的認知沖突,學(xué)生在做中體驗,要體驗中不約而同地遇到了困惑,有困惑就有思考,有思考就會有感悟,運用數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“再創(chuàng)造”理論,調(diào)動學(xué)生原有的知識和經(jīng)驗,引導(dǎo)學(xué)生在實踐中真正“做”數(shù)學(xué).
精彩還在繼續(xù)……
生1:不如將其他組的硬紙片都拿過來(急中生智).
生2:恐怕不行,要是擺到第1000個圖案呢?太麻煩了吧.
師:就是嘛,要請你擺到第2013個圖案,也這樣一個一個地擺嗎?
評注:疑問再次激起同學(xué)們探究的欲望,剛剛建立起來的認知平衡,被無情的事實擊倒了,迫使他們在熟悉而又具體的問題情境中,主動地尋求解決問題的方法.
到底該怎么辦?
通過實驗、操作、討論、交流,從用硬紙片去擺,n比較大時,擺第n個圖案的紙片不夠,使學(xué)生對三角形數(shù)由感性認識上升到理性認識.
生3:有了!(激動)第n個圖案的紙片數(shù)為1+2+3+…+n,即將每一行的片數(shù)加在一起.
師:很好.那么數(shù)列1,2,3,…,n是什么數(shù)列?
生:等差數(shù)列.
師:這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容:“等差數(shù)列前n項和.”
(出示課題)1+2+3+…+n=?
生4:在旁邊再擺一個一樣的倒著放的圖案,這樣每一行的紙片塊數(shù)相同,如圖3,這樣就可求1+2+3+…+n=.
師:太妙了!將一個三角形圖案順時針旋轉(zhuǎn)180°后的圖案與原圖案拼成一個平行四邊形狀,再求和,這種數(shù)列求和的方法叫做“例序相加法”.
生5:那正方形數(shù)也可以這樣求,先將它分割為如圖4,再由圖5可得:1+3+5+…+(2n-1)==n2.
師:太棒了!
下面就一般等差數(shù)列an求前n項和.
評注:由“經(jīng)歷”到“經(jīng)驗”非常重要的是思維和情感的真正參與,把操作活動變成學(xué)生的自覺行為,同時將知識和思想方法進行內(nèi)化,由此誕生真正的數(shù)學(xué)思想.
三、“思考”中創(chuàng)新
所謂“多思必有所得”,教師創(chuàng)設(shè)一個個極具思考價值的數(shù)學(xué)活動,使學(xué)生時而沉默思考,時而大膽探索,在有限的時間內(nèi),再現(xiàn)知識的形成過程,完全陶醉在“好玩”的魅力課堂之中,枯燥的數(shù)學(xué)就變得妙趣橫生.
案例Ⅲ 數(shù)列求和
師:今天我們繼續(xù)玩紙片.
在圖3中,現(xiàn)將第1個圖案堆在第2個圖案上,再堆到第3個圖案上,然后堆到第4個圖案上,…,如此堆下去,堆成一個“塔”狀,如圖6是一個三層塔.請問堆一個這樣的n層塔共需多少個紙片?
學(xué)生動手……
生1:在上節(jié)課中,求第n個圖案中所需紙片數(shù)時,按行計算,即1+2+3+…+n,現(xiàn)在就應(yīng)該按層計算,第n層所需紙片數(shù)為1+2+3+…+n,因此n層塔所需紙片數(shù)為1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+n)=1+3+6+…+.
師:這是等差數(shù)列求和嗎?
生:不是.
生2:但我們發(fā)現(xiàn)從第2項起,后一項減前一項得到的數(shù)列:2,3,4,…,是一個等差數(shù)列.
師:這一發(fā)現(xiàn)太重要了,能用一個關(guān)系式表示嗎?
生2:我們試試……
生3:我行!a1=1
an-an-1=n(n>1)
師:精彩!根據(jù)第n層所堆紙片數(shù)=,其他各層的片數(shù)是不是也可以寫成這個形式?
生:Sn=1+3+6+…+=+++…+.
師:很好!前面我們已經(jīng)會求等差、等比數(shù)列的前n項和,這類和怎么求呢?
根據(jù)加法的交換律,有:Sn=+++…+=
(1+2+2+…+n)+(12+22+32+…+n2).
我們稱這種數(shù)列求和的方法為“分組法”,這里:12+22+32+…+n2=
于是Sn=·+·=.
老師還沒說完,學(xué)生就有話說.
生:12+22+32+…+n2=怎么來的?講一下吧.
評注:當(dāng)操作與思維情感聯(lián)系起來時,操作便成為培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識的源泉.“分組法”容易理解,為什么突然“冒出”12+22+32
+…+n2=呢?如果老師只告訴學(xué)生,課本第58頁給出了這個公式,學(xué)生課后自己上網(wǎng)去了解它的推導(dǎo),這樣未嘗不可,但卻沒能把學(xué)生的思考引向深入.
師:這個問題還真令老師措手不及,不過,我想到了前面了解過的正方形數(shù),我們是不是將圖4中各個圖案中的紙片也像剛才那樣操作,壘成一個“塔”……
生:壘一個n層塔所需紙片數(shù)為12+22+32+…+n2.(太神了?。?/p>
師:求1+2+3+…+n時,用的是“倒序相加”法,即將1,2,3,…, 擺成一個三角形,然后順時針旋轉(zhuǎn)180°得到一個倒放的三角形,兩者拼成一個平行四邊形再求和,這種思維對于求12+22+32+…+n2的和是否會有啟發(fā)呢?
生:嘗試、討論、合作、交流……
師:要擺成三角形狀,要將所有數(shù)都擺完.
生:可是紙片中只有1,哪能得到n?
師:那我們就在紙片背面分別標上數(shù)字:1,2,3,4,…,怎么樣?
評注:數(shù)學(xué)家波利亞說:“一個涌上腦際的念頭,倘若毫無困難地通過一些明顯的行動就達到了所求的目標,那就不會產(chǎn)生問題.然而,倘若我想不出這樣明顯的行動來,那就產(chǎn)生了問題.那就意味著要去找出適當(dāng)?shù)男袆?,去達到一個可見而不即時可及的目的.”“紙片只標有1,那就在背面再標數(shù)字!”新知識在學(xué)生的體驗中自然而然產(chǎn)生.
實踐證明,在體驗中思考的數(shù)學(xué)課堂實踐是受學(xué)生歡迎的,在體驗中探究的形式進行教學(xué),使學(xué)生“動”起來了、使數(shù)學(xué)課“活”起來了、學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也提高了.這不僅培養(yǎng)了學(xué)生提出問題、分析問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力,也培養(yǎng)了學(xué)生的科學(xué)探究和團結(jié)合作的精神.
參考文獻:
[1]潘建國.在體驗中“做”數(shù)學(xué).數(shù)學(xué)通報,2006(5):35.
[2]沈金興.數(shù)學(xué)文化,課堂有你更精彩.數(shù)學(xué)通報,2009(4):32.
(作者單位 廣東省中山市東區(qū)中學(xué))