☉安徽省定遠(yuǎn)中學(xué) 韓 敬

中考是初中學(xué)生學(xué)習(xí)的終結(jié)性考試，近年的中學(xué)數(shù)學(xué)試題在關(guān)注基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查的同時(shí)，也強(qiáng)調(diào)了在較為復(fù)雜的幾何圖形中分解出簡(jiǎn)單的基本圖形能力.而有一些基本圖形，需要在教師的指導(dǎo)下，讓學(xué)生去觀察、思考、概括、提煉才能形成模型.如何將雙基和模型提煉有機(jī)融合？下面呈現(xiàn)的是“相似三角形”復(fù)習(xí)課的部分片斷，也是筆者的一個(gè)嘗試，供參考.

師：（多媒體展示少林寺部分畫(huà)面，并播放主題曲）今天，老師將以導(dǎo)游的身份帶領(lǐng)同學(xué)們前往“少年寺”參觀學(xué)習(xí)，這里有大三景點(diǎn)——藏經(jīng)閣、練功房、珍寶館，下面隨老師一道一一欣賞.

設(shè)計(jì)意圖：把學(xué)習(xí)當(dāng)成一次“快樂(lè)之旅”，激發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)熱情.

景點(diǎn)一——“藏經(jīng)閣”

師：先讓我們走進(jìn)“藏經(jīng)閣”去閱讀“經(jīng)書(shū)”，閱讀課本關(guān)于“相似三角形”的相關(guān)知識(shí)，讀完后回答以下問(wèn)題.

（1）相似三角形的判定方法有哪些？

（2）相似三角形有哪些性質(zhì)？

（3）直角三角形的判定方法有哪些呢？

（4）當(dāng)兩個(gè)相似三角形相似比為1時(shí)，這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？

設(shè)計(jì)意圖：補(bǔ)差、補(bǔ)缺、補(bǔ)漏，鞏固復(fù)習(xí)基本概念和性質(zhì)，形成知識(shí)框架.

景點(diǎn)二——“練功房”

在大屏幕上顯示以下練習(xí)題：

（1）△ABC與△A′B′C′的相似比為2∶3，則△A′B′C′與△ABC的面積比為_(kāi)_____.

（2）若梯形上、下兩底長(zhǎng)分別為2、3，則兩腰的交點(diǎn)到上、下兩底之間的距離之比為_(kāi)_____.

（3）如圖1，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在線段CD上，當(dāng)CE=______時(shí)，△ABF與△ECF相似.

（4）如圖2，當(dāng)______時(shí)（任意添加一個(gè)條件），△AOD∽△BOC.

（6）如圖4，將一副三角板ABC及DBC按圖5所示的位置疊放，則△AOB與△COD的面積之比為_(kāi)_____.

圖1

圖2

圖3

圖4

（學(xué)生解答練習(xí)題，教師巡視）

教師：練的怎么樣？

全體學(xué)生：還好.

（教師在屏幕上打出正確的答案，讓學(xué)生自己對(duì)照、找錯(cuò)、再找原因）

學(xué)生1：第1題我就解答錯(cuò)了，沒(méi)有注意三角形相似比的順序性，太輕視了，今后要注意審題.

學(xué)生2：第4題我填的是AD∥BC，但錯(cuò)了，沒(méi)有注意對(duì)應(yīng)關(guān)系已明確.

學(xué)生3：第3題我做錯(cuò)了，沒(méi)有注意到全等是相似的特例.

學(xué)生4：第6題我沒(méi)有想到用相似來(lái)做，我的解答太復(fù)雜了.

……

教師：全對(duì)的舉手（沒(méi)有），看樣子，做錯(cuò)的原因都是沒(méi)注意（或沒(méi)想到）.對(duì)于這些似曾相識(shí)的題目，同學(xué)們解答時(shí)要審好題，注意題目中的細(xì)節(jié)，不能憑感覺(jué)，回顧頭來(lái)再看這6道題，還有問(wèn)題嗎？

全體學(xué)生：沒(méi)有了.

教師：有何感想？

全體學(xué)生：太慘了！

設(shè)計(jì)意圖：這些練習(xí)題是本章具有典型性的練習(xí)題，目的是讓學(xué)生注意細(xì)節(jié)，審好題，解第1題時(shí)要注意相似三角形的相似比具有順序性；對(duì)于第2題，利用相似三角形的性質(zhì)獲解，可培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的能力；解第3題時(shí)，注意相似與“∽”的區(qū)別，滲透了“分類”思想，理解相似與全等之間的關(guān)系，明確全等是相似的特例，感悟一般與特殊的關(guān)系；第4題是開(kāi)放型試題，強(qiáng)調(diào)對(duì)應(yīng)關(guān)系；解第5題時(shí)要注意“黃金三角形”的問(wèn)題中相關(guān)線段之間的關(guān)系；第6題中把理論知識(shí)運(yùn)用于實(shí)踐，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的能力.

景點(diǎn)三——珍寶館

教師：在經(jīng)歷了練功房的“慘痛教訓(xùn)”后，請(qǐng)同學(xué)們進(jìn)入珍寶館，要小心謹(jǐn)慎喲！

（全體學(xué)生面帶微笑，點(diǎn)頭）

教師：請(qǐng)每個(gè)同學(xué)在準(zhǔn)備好的白紙上，畫(huà)一個(gè)等腰直角三角形ABC，將含有45°角的三角板的頂點(diǎn)放在底邊上（不與底邊兩端點(diǎn)B、C重合），進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，并記45°角的兩邊OD、OE分別與射線BA、CA交于點(diǎn)P、Q，那么在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，△BOP與△CQO是否相似？為什么？

圖5

圖 6（1）

圖 6（2）

圖 6（3）

學(xué)生4：相似，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，將會(huì)出現(xiàn)三種情形.

教師：如圖6（1）、（2）、（3）.如何解答呢？

學(xué)生4：對(duì)于圖6（1），因?yàn)閮蓚€(gè)三角形都是等腰直角三角形，所以∠B=∠C=∠3=45°.由外角關(guān)系可知∠POC=∠B+∠1=45°+∠1，而∠POC=∠2+∠3=∠2+45°，即得∠1=∠2，所以△BOP∽△CQO.

（接著學(xué)生思考圖6（2）、（3）兩種情形，教師提問(wèn)）

全體學(xué)生：與圖6（1）解答方式一樣.

師：如果將上述問(wèn)題中的三角形ABC改為等腰三角形，即∠B=∠C=∠DOE=α（0＜α＜90°），那么△BOP與△CQO是否總是相似呢？

學(xué)生5：如圖6（1），由外角關(guān)系得∠POC=∠B+∠1，而∠POC=∠DOE+∠2=∠B+∠2，即得∠1=∠2，所以△BOP∽△CQO.

師生總結(jié)（提煉基本圖形）：當(dāng)∠B=∠C=∠POQ=α?xí)r，則有△BPO∽△COQ.可得如下的基本模型：

圖 7（1）

圖 7（2）

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般以及變式的探究過(guò)程，培養(yǎng)了動(dòng)手、觀察、比較、聯(lián)想、猜想、類比、推理、歸納等方面的能力.通過(guò)活動(dòng)，享受獲得基本圖形的成功與快樂(lè).也培養(yǎng)學(xué)生敢于探索、勇于探索、樂(lè)于探索的精神，提高了他們的探究能力.

實(shí)戰(zhàn)演練——模型在中考中的應(yīng)用

1.（2012年朝陽(yáng)）如圖8，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）.連接AE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，交DC于點(diǎn)F.

（1）求證：△ABE∽△ECF；

圖8

（2）連接AF，試探究當(dāng)點(diǎn)E在BC上的什么位置時(shí)，∠BAE=∠EAF，請(qǐng)證明你的結(jié)論.

簡(jiǎn)析：（1）因?yàn)椤螧=∠C=∠AEF=90°，根據(jù)模型，易證△ABE∽△ECF.

（2）連接AF，延長(zhǎng)AE與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H，當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，通過(guò)證明三角形全等，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可證明∠BAE=∠EAF.

2.（2012年仙桃天門(mén)潛江江漢）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B.

圖 9（1）

圖 9（2）

（1）如圖9（1），當(dāng)射線DN經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有與△ADE相似的三角形.

（2）如圖9（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，DM、DN分別交線段AC、AB于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫(xiě)出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論.

簡(jiǎn)析：（1）由題可得∠B=∠C=∠ADE，根據(jù)模型，易得△ABD∽△DCE，然后再判斷△ADE∽△DCE.

（2）解題思路類似于（1）.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生運(yùn)用這個(gè)基本圖形分析這兩道中考題，讓學(xué)生體驗(yàn)運(yùn)用基本圖形給我們解題帶來(lái)的簡(jiǎn)便.