賈東芳

（唐山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系，河北 唐山 063000）

1 引言

在市場(chǎng)含有不確定因素的環(huán)境下，影響期權(quán)價(jià)格的變量不僅具有隨機(jī)性的特點(diǎn)，而且還具有模糊性質(zhì)，因此將模糊理論應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)是對(duì)傳統(tǒng)定價(jià)方法的一個(gè)有益補(bǔ)充。2003年，日本學(xué)者 Yoshida[1]利用傳統(tǒng)的定價(jià)思想，在B-S模型和等價(jià)鞅測(cè)度模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用對(duì)稱的三角形Fuzzy數(shù)證明了歐式期權(quán)模糊價(jià)格平價(jià)公式。同年，又考慮了美式看跌期權(quán)情形，令美式期權(quán)的價(jià)格依賴于決策者的模糊目標(biāo)，并給出相應(yīng)的結(jié)果[2]。2007年，S. Muzzioli和H. Reynearts[3]將模糊理論引入了歐式期權(quán)二叉樹(shù)模型，2008年又給出了利用梯形Fuzzy數(shù)來(lái)描述美式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題[4]。本文將在Cox-Ross-Robinstein[5]的二叉樹(shù)模型下，運(yùn)用三角形Fuzzy數(shù)（不限于對(duì)稱的）對(duì)美式看跌期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并給出相應(yīng)的多期模糊二叉樹(shù)模型。

在模糊二叉樹(shù)模型中，如何獲得不精確的波動(dòng)率是最為關(guān)鍵的環(huán)節(jié)。不精確的波動(dòng)率用三角形Fuzzy數(shù)來(lái)描述。三角形Fuzzy數(shù)是一個(gè)區(qū)間，其上界、下界和最可能的值都需要確定。我們知道波動(dòng)率分為歷史波動(dòng)率和隱含波動(dòng)率，其中歷史波動(dòng)率是指某段預(yù)先給定的時(shí)間區(qū)間上實(shí)際市場(chǎng)價(jià)格的標(biāo)準(zhǔn)差，而隱含波動(dòng)率是在已知模型其它參數(shù)的情形下，利用歐式期權(quán)定價(jià)公式解方程而得到的。關(guān)于隱含波動(dòng)率在什么情況下更接近實(shí)際波動(dòng)率，許多學(xué)者進(jìn)行了探討。如Christensen和Prabhala[6]認(rèn)為對(duì)于看漲期權(quán)來(lái)說(shuō)，在平值狀態(tài)時(shí)所求得的隱含波動(dòng)率最符合實(shí)際波動(dòng)率；2002年，Christensen和Strunk[7]又提出了分別對(duì)實(shí)值狀態(tài)和虛值狀態(tài)以及看漲和看跌期權(quán)情形計(jì)算波動(dòng)率，再進(jìn)行加權(quán)平均而獲得的波動(dòng)率更接近實(shí)際；2005年，Ederington和 Guan[8]考慮了敲定價(jià)的不同對(duì)波動(dòng)率的影響，鑒于波動(dòng)率微笑現(xiàn)象，認(rèn)為隱含波動(dòng)率應(yīng)該在看漲期權(quán)的虛值狀態(tài)和看跌期權(quán)的實(shí)值狀態(tài)計(jì)算獲得；2008年，Muzzioli和Reynaerts[4]在用梯形Fuzzy數(shù)模擬波動(dòng)率時(shí)，其上下界分別用平值狀態(tài)時(shí)的插值波動(dòng)率（interpolated volatility）和一個(gè)月時(shí)期的隱含波動(dòng)率來(lái)獲得，最可能的值是通過(guò)計(jì)算一個(gè)歐式看跌期權(quán)，其與所要確定的美式看跌期權(quán)有相同的執(zhí)行價(jià)格和相同的到期日，從而求解得到的隱含波動(dòng)率。本文將采取Muzzioli和Reynaerts的方法確定波動(dòng)率。

2 預(yù)備知識(shí)

定義1 A∈F( R )稱為Fuzzy數(shù)，若

（1）A是正規(guī)的，即?x0∈R，使 A ( x0)= 1；

（2）? α ∈ ( 0,1]，Aα是閉區(qū)間。

定義2 三角形Fuzzy數(shù)A由一個(gè)三元數(shù)組 ( a1, a2, a3)唯一決定。

若 a2- a1= a3-a2，則稱A為對(duì)稱的三角形Fuzzy數(shù)。

三角形Fuzzy數(shù)A可寫(xiě)為如下形式：

定義 3 兩個(gè) Fuzzy數(shù) A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)的最大值：

3 模型

假設(shè)市場(chǎng)無(wú)交易費(fèi)用、無(wú)稅、不限制賣(mài)空、資產(chǎn)無(wú)限可分、市場(chǎng)完全，期權(quán)的有效期T被分成N期，每時(shí)期長(zhǎng)度為T(mén) N，不存在套利機(jī)會(huì)，即對(duì)于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率r，在每一時(shí)期T N，有d ＜ 1 + r ＜ u ，其中u是股票價(jià)格的上漲因子，d是股票價(jià)格的下降因子。設(shè)K是執(zhí)行價(jià)格，σ為股票收益率的波動(dòng)率，pu和pd是風(fēng)險(xiǎn)中性概率，文中pu和pd被假設(shè)為不精確的。S0為股票的初始價(jià)格，Sn為n時(shí)期的股票價(jià)格， Vn( Sn)為n時(shí)期的期權(quán)價(jià)格。

由Cox-Ross-Robinstein[5]模型假設(shè)知：

且

由(1)式解得

股票價(jià)格Sn和美式期權(quán)的價(jià)格 Vn( Sn)為

用三角形Fuzzy數(shù)來(lái)推廣以上模型。設(shè) σ = (σ1, σ2, σ3)，其中σ1,σ3的求法將沿用引言中提到的Muzzioli和Reynaerts[4]的方法，σ2為梯形Fuzzy數(shù)的兩個(gè)最可能值的平均值。

由波動(dòng)率計(jì)算上漲和下跌因子，得

則有

若 d2≤1+r ≤ d3或u1≤ 1 + r ≤ u2將產(chǎn)生套利機(jī)會(huì)。

因此將(1)式改寫(xiě)為如下Fuzzy線性系統(tǒng)，

其中收益率r為常數(shù)，pu和pd為待求的Fuzzy數(shù)。

無(wú)套利條件保證了上述模糊矩陣對(duì)所有的d ∈ (d1, d2, d3)，u ∈ (u1, u2, u3)為滿秩。為求解(2)，需解決如下非線性規(guī)劃問(wèn)題：

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

由定義知，上漲和下跌因子可記為：

對(duì)每個(gè)α，由

知，當(dāng)umax=時(shí)，取得最大值，當(dāng)umin=時(shí)，取得最小值。由

知，當(dāng)umax=時(shí)，pd取得最大值，當(dāng)umin=時(shí)，pd取得最小值。由

知，當(dāng)dmax=時(shí)，取得最大值，當(dāng)dmin=時(shí)，取得最小值。所以(2)的解為

用三元數(shù)組表示，即

將 u , d, pu, pd代入股票價(jià)格和期權(quán)價(jià)格函數(shù)，得

用倒推法可求得Fuzzy數(shù) V0=(a, b, c)，其中a和c分別為期權(quán)價(jià)格的上限和下限，b為期權(quán)價(jià)格的最可能值。

3 結(jié)論

本文所得模糊期權(quán)價(jià)格 V0=(a, b, c)可以作為決策者比較理論價(jià)格和市場(chǎng)價(jià)格的一個(gè)參考，決策者也可以制定更高的置信水平α＞0，使期權(quán)理論價(jià)格的區(qū)間縮小。另外，本文雖是以標(biāo)準(zhǔn)美式看跌期權(quán)為例討論的，但其定價(jià)方法也可推廣至其他的效用函數(shù)。

[1]Yuji Yoshida. The valuation of European options in uncertain environment[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 145: 221-229.

[2]Yuji Yoshida. A discrete-time model of American put option in an uncertain environment[J]. European Journal of Operational Research, 2003, 151: 153-166.

[3]S. Muzzioli, H. Reynaerts. The solution of fuzzy linear systems by non-linear programming: a financial application[J]. European Journal of Operational Research,2007, 177: 1218-1231.

[4]S. Muzzioli, H. Reynaerts, American option pricing with imprecise risk-neutral probabilities[J]. International Journal of Approximate Reasoning, 2008, 49: 140-147.

[5]J. C. Cox, S. A. Ross, S. Rubinstein. Option pricing, a simplified approach[J]. Journal of Financial Economics,1979, (7)229-263.

[6]B. J. Christensen, N. R. Prabhala. The relation between implied and realized volatility[J]. Journal of Financial Economics, 1998, 50: 125-150.

[7]B. J. Christensen, C. Strunk. New evidence on the implied-realized volatility relation[J]. The European Journal of Finance, 2002, 8(2): 187-205.

[8]L. Ederington, W. Guan. The information frown in option prices[J]. Journal of Banking and Finance, 2005, 29(6):1429-1457.