蘇尼來

（赤峰學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

數(shù)學(xué)的開放性問題

蘇尼來

（赤峰學(xué)院，內(nèi)蒙古赤峰024000）

本文就如何轉(zhuǎn)變觀念，形成開放意識，以及在解決開放性問題中的條件開放性、結(jié)論開放性、方法開放性等問題時如何正確靈活的運用數(shù)學(xué)思想提出了一些看法.

開放性；思想方法；靈活；開放意識；創(chuàng)新精神；創(chuàng)造能力

1977年，日本國立研究所數(shù)學(xué)教育學(xué)者小組以島田茂為首的學(xué)者在《算術(shù)數(shù)學(xué)課的開放式問題——改善教學(xué)的新方案》報告文集中首先提出“數(shù)學(xué)開放題”這個名詞，并提出了“數(shù)學(xué)開放教學(xué)方法”，在不斷的研究和探索中，開放題已進(jìn)入日本的數(shù)學(xué)課本，并已占一定的比例.開放題作為研究“問題解決”熱潮中的產(chǎn)物，在美國中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中已被普遍地使用.美國加利福尼亞州教育部于1989年專門指出了開放性問題的五大功能，其中談到開放性問題的模式是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的基本成份.80年代以來，數(shù)學(xué)開放題被介紹到中國，90年代出現(xiàn)在教材中并進(jìn)行教學(xué)中的試驗，近年來已逐漸成為我國數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個熱點.《新課標(biāo)》中明確指出高中數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實際方面需大力加強(qiáng)，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)摹皢栴}情境”，鼓勵學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的規(guī)律和問題解決的途徑，使他們經(jīng)歷知識的形成過程.“以問題為中心，以學(xué)生為中心”是新課程倡導(dǎo)的核心理念.然而，當(dāng)前受考試文化的影響有些人對開放題的認(rèn)識還存在著一定的誤區(qū)，認(rèn)為開放題在單一的技能訓(xùn)練、知識學(xué)習(xí)上費時費力，效率較低，在教學(xué)中易受課時的制約，在課堂上常常出現(xiàn)學(xué)生的思維在低層次上重復(fù)，不易進(jìn)行深入的研究，因此不太重視開放性題目的教學(xué)，還是以死記硬背代替參與，以機(jī)械方法代替智力活動，大大抹殺了學(xué)生的創(chuàng)新能力.作者認(rèn)為在開放題教學(xué)中如果能正確運用數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生以知識的主動發(fā)現(xiàn)者的身份出現(xiàn)，在研究過程中通過綜合運用、重組以學(xué)的知識，有助于培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)化意識，可以在解題能力、擴(kuò)大知識面等方面得到提高.

近年來，數(shù)學(xué)開放題作為一個具有時代特色的數(shù)學(xué)教育改革亮點，已日益引起我國教育階的注意，逐漸成為數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一個熱點，也已成為高考命題的一個新方向.開放題有利于學(xué)生根據(jù)自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對問題作出解釋，實現(xiàn)對知識的主動建構(gòu)，獲得認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改造和重組.由于數(shù)學(xué)開放題強(qiáng)調(diào)了學(xué)生解題的過程，體現(xiàn)了學(xué)生在教學(xué)活動中的真正主體地位，從而極大地提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，是克服“灌輸式”教學(xué)傾向的解藥.其解法靈活且具有一定的探究性，開放性問題立意于培養(yǎng)和考查學(xué)生的思維品質(zhì)和創(chuàng)造性分析問題和解決問題的能力，即綜合考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)，是一種考查學(xué)生歸納推理能力、直覺思維能力和創(chuàng)新意識的題型.其內(nèi)容可涉及數(shù)學(xué)的各個方面，無法套用一個統(tǒng)一的解題模式，因此，在求解開放性問題時，正確運用數(shù)學(xué)思想方法來突破難點就顯得格外重要.

1 轉(zhuǎn)變觀念，形成開放意識

學(xué)習(xí)的目的是為了使自然人過渡到社會人，使社會人更好地服務(wù)于社會.由于社會時刻在發(fā)生著變化，因此，一個良好的社會人必需具備適應(yīng)社會變化的能力.用現(xiàn)成的方法解決現(xiàn)成的問題僅僅是學(xué)習(xí)的第一步，學(xué)習(xí)的更高境界是提出新問題、提出解決問題的新方案.我國教育部基礎(chǔ)教育司明確指出：“課程是一個歷史范疇，課程目標(biāo)、課程結(jié)構(gòu)、課程內(nèi)容都將隨著時代的發(fā)展而變革.”“教科書”應(yīng)體現(xiàn)科學(xué)性、基礎(chǔ)性和開放性.因此首先必須改變那種被動的、封閉的教學(xué)意識.

當(dāng)技術(shù)的發(fā)展已使社會數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)的應(yīng)用已滲透到開放社會的各個方面的時候，數(shù)學(xué)不能僅僅理解為一門演繹科學(xué)，數(shù)學(xué)還有其更重要的一面，即它是一門非邏輯的、生動的、有豐富創(chuàng)造力的科學(xué).開放題的引入順應(yīng)開放化社會的需求，促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育的開放化和個性化，從發(fā)現(xiàn)問題和解決問題中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力.

2 解開放性問題的方法指導(dǎo)

開放性問題是指給出了問題的條件，但未給出問題的結(jié)論，或問題的結(jié)論不確定，而需要解答者探求問題的結(jié)論這樣一種形式的題目.與條件完備、結(jié)論明確、答案唯一的封閉性問題相比，開放問題的入口寬、解法活、形式新.

2.1 條件開放性問題

傳統(tǒng)的答題模式多數(shù)是條件與結(jié)論對應(yīng)的定式訓(xùn)練，解題時不必考慮條件的由來.然而現(xiàn)實生活中人們得到的信息對于某個具體問題而言絕大多數(shù)是不確定的，還可能有一些是未知的，必須善于從大量信息中篩選出有用的信息.

條件開放性問題是指問題的結(jié)論明確，而條件不明確或不足，且需要完備使結(jié)論成立的充分條件.解這類問題，一般是模仿分析法，將題設(shè)和結(jié)論視為已知條件，倒退分析，執(zhí)果索因，導(dǎo)出所需的條件.

例1已知二次函數(shù)f(x)的首項系數(shù)為負(fù)數(shù)，對于任意實數(shù)x，都有

f(2-x)=f(2+x).

試問：當(dāng)f(1-2x2)與f(1+2x-x2)滿足什么條件時，才有-2＜x＜0？

解由于結(jié)論是關(guān)于x的不等式，故猜想f(1-2x2)與f (1+2x-x2)應(yīng)滿足不等關(guān)系.

由f(x)的二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)及f(2-x)=f(2+x)知，拋物線的開口向下且關(guān)于直線x=2對稱，于是f(x)在(-∞,2]上單調(diào)遞增，在[2,+∞)上單調(diào)遞減.

又1-2x2≤1，1+2x-x2=2-(x-1)2≤2，故需討論1-2x2與1+2x-x2的大小.

因為(1-2x-x2)-(1-2x2)=x(x+2)，

所以，當(dāng)x(x+2)＜0，即-2＜x＜0時，1-2x2＞1+2x-x2.

故當(dāng)f(1-2x2)＞f(1+2x-x2)時，才有-2＜x＜0.

解答條件開放性問題的一般思路是：把產(chǎn)生結(jié)論的條件一一分析列出，分別加以探究，也可用分析法尋找條件.由目標(biāo)“-2＜x＜0”導(dǎo)出f(1-2x2)與f(1+2x-x2)所滿足的是不等關(guān)系，這一猜想是解答本題的突破口，想到利用函數(shù)單調(diào)性是關(guān)鍵.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x，若f(x+1)是偶函數(shù)，則t的一個可能值是_____.

解因為f(x+t)=sin2(x+t)=sin(2x+2t)且f(x+t)是偶函數(shù).

所以f(x+t)=f(-x+t)

即sin(2x+2t)=sin(-2x+2t).

由此可得2x+2t=-2x+2t+2kπ

或2x+2t=π-(-2x+2t)+2kπ(k∈Z)

在“執(zhí)果索因”的過程中，要學(xué)會正確使用連接有關(guān)步驟的關(guān)鍵詞，如：“欲證”，“只需證”，“即證”.還要考慮推理過程的可逆性，不要將充分條件當(dāng)做必要條件.

2.2 結(jié)論開放性問題

結(jié)論開放性問題是指結(jié)論不確定、不唯一，或需要通過類比、引申、推廣，或需要通過特例歸納.解決這類問題的策略是：先探索結(jié)論而后去論證結(jié)論.在探索過程中?？上葟奶厥馇樾稳胧郑ㄟ^觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結(jié)論，再就一般情形去認(rèn)證結(jié)論.這類問題主要有存在性問題、歸納性問題和討論性問題.

2.2.1 存在性問題

存在性問題在數(shù)學(xué)命題中以適合某種性質(zhì)的結(jié)論“存在”、“不存在”、“是否存在”等形式出現(xiàn).“存在”就是有適合某種條件或符合某種性質(zhì)的對象.對于這類問題無論用什么方法，只要找到一個即可.“不存在”一般需要推理論證，常用反證法.“是否存在”結(jié)論有兩種可能：若存在，則需要找出來；若不存在，需要說明理由.解答這類問題，一般先承認(rèn)結(jié)論，變結(jié)論為條件，然后或有特例歸納，或由演繹推理說明合理性.

例3設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，前n項和為sn，是否存在常數(shù)c，使數(shù)列{sn+c}也成等比數(shù)列？若存在，求出常數(shù)c；若不存在，請說明理由.

解存在性問題一般是從假設(shè)存在入手，逐步深化解題的進(jìn)程.

設(shè)存在常數(shù)c，使數(shù)列{sn+c}成等比數(shù)列.

因為(sn+c)(sn+1+c)=(sn+1+c)2

所以sn·sn+2-s2n+1=c(2sn+1-sn-sn+2)

（i）當(dāng)q=1時，sn=na1代入上式得

a12n(n+2)-a12(n+1)2=ca1[a(n+1)-n-(n+2)]得a12=0

但a1≠0，于是不存在常數(shù)c，使{sn+c}成等比數(shù)列.（ii）當(dāng)q≠1時代入上式得

等比數(shù)列n項求和公式中公比的分類，極易疏忽公比q=1的情形，且不要忽視.

存在性問題的解題思路是先假定“存在”，若經(jīng)推證無矛盾，則“存在”成立，若推出矛盾，則結(jié)論為“不存在”.分析法或反證法是解這類題常采用的證明方法.

2.2.2 歸納性問題

歸納性問題是指對于只給出問題對象的一些特殊關(guān)系，需要解題者探求一般規(guī)律的一類問題.解決這類問題常常從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，推測結(jié)論的各種可能性，或者找到一般規(guī)律，然后加以證明.若有參數(shù)，可以先用待定系數(shù)法確定參數(shù)，再加以論證.若命題與自然數(shù)有關(guān)，可以具體考慮前幾個自然數(shù)的情況，通過比較、觀察、歸納、猜想得出結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法證明.

（2）在仔細(xì)觀察、分析和探究的基礎(chǔ)上，由（1）題可猜測出怎樣的一般結(jié)論？并證明你的猜測.

②設(shè)n=k(k≥1，k∈N*)時命題（a）成立，即

當(dāng)n=k+1時，因為

即當(dāng)n=k+1時，命題（a）仍成立.

綜合①、②可知，命題（a）對于一切正整數(shù)n都成立，所以猜測是正確的.

在解決有關(guān)自然數(shù)n的命題P(n)時，先求出P(1),P(2), P (3)等幾個特殊情況，從中探究一般性規(guī)律，并猜測一般情況下的結(jié)論，再用數(shù)學(xué)歸納法（或其他方法）加以證明，這是歸納猜測型問題中常用的方法.

2.2.3 討論性問題

討論性問題，應(yīng)全面考察問題的各個方面，做到既不遺漏也不重復(fù).

例5已知a∈R，試確定方程|z-1|-|z+1|=2a在復(fù)數(shù)平面上所表示的點集.

解根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，|z-1|-|z+1|表示復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點與點A(1,0)及B(-1,0)兩點距離之差.考慮到|AB|=|1-(-1)|=2.

①當(dāng)0＜a＜1時，點集表示以A(1,0)、B(-1,0)為焦點，實軸長為2a的雙曲線在y軸左側(cè)的一支；

②當(dāng)-1＜a＜0時，點集表示以A(1,0)、B(-1,0)為焦點，實軸長為2a的雙曲線在y軸右側(cè)的一支；

③當(dāng)a=1時，點集表示射線y=0(x≤-1)；

④當(dāng)a=-1時，點集表示射線y=0(x≥1)；

⑤當(dāng)a=0時，由|z-1|=|z+1|，點集是線段AB的垂直平分線，即y軸；

⑥當(dāng)a＞1或a＜-1時，由2|a|＞2，點集為空集.

正確的分類是解決這類題的關(guān)鍵，分類的原則是不重復(fù)不遺漏，只有按照同一個標(biāo)準(zhǔn)去分類，才能做到不重復(fù)不遺漏.另外還要考慮到分類對所研究問題結(jié)論的影響，當(dāng)一次分類不能達(dá)到目的時，還要考慮進(jìn)行多次分類.

2.3 方法開放性問題

方法開放性問題是開放性問題中最重要的，這是體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，也是思維訓(xùn)練的主干道.沒有固定的解題模式，通常運用觀察、類比、聯(lián)想、模擬等方法在條件和結(jié)論之間創(chuàng)造某種超常規(guī)的途徑和方法探求解題思路，成功后再給出嚴(yán)格的論證.例6已知函數(shù)，那么

本題的關(guān)鍵在于在陌生的問題情境中能自主探索，提取相關(guān)信息，獲得規(guī)律，從而解決問題.

例7設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是R，對任意x，y∈R有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且存在，試問f(x)是不是周期函數(shù)？如果是，找出它的一個周期；如果不是，說明理由.

分析：注意到所給條件中的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想到三角函數(shù)中的一個等式：

函數(shù)，它的一個周期是2c.

下面給出證明：

所以2c是f(x)的一個周期.

無論解決哪種開放性問題，都要采用“挖掘隱含條件”、“活用數(shù)形結(jié)合”、“等價交換命題”等常用手段來啟迪思路.

開放題教學(xué)的作用：一是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性.二是引導(dǎo)學(xué)生多思考、多探索，讓學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，真正實現(xiàn)學(xué)生主動參與.三是解答時不但要綜合運用、重組已學(xué)的知識，而且時常需考慮解決問題的策略，能夠在解題能力，擴(kuò)大知識面等多方面得到提高.

數(shù)學(xué)開放題不應(yīng)該排斥傳統(tǒng)教學(xué)，它是傳統(tǒng)教學(xué)的一種補(bǔ)充.解決問題時我們應(yīng)具有開放的意識.遇到一類問題應(yīng)該首先考慮它屬于什么類型，應(yīng)該運用什么方法.如果運用常規(guī)方法有困難或行不通，我們可以換一個角度，從不同的思維方式對問題進(jìn)行探索，這樣才有利于高層次思維的發(fā)展.正確運用數(shù)學(xué)思想、靈活應(yīng)用解題技巧，還要特別注重解題后的自我反饋和自我小結(jié)，發(fā)現(xiàn)習(xí)題中潛在的知識信息，去聯(lián)想、歸納、類比，以尋找知識間的聯(lián)系，鞏固和發(fā)展教學(xué)思想方法和處理技巧，培養(yǎng)獨立思維與創(chuàng)造思維能力，在實踐中逐步摸索經(jīng)驗，才能真正有效地體現(xiàn)數(shù)學(xué)開放題的教育價值，調(diào)動學(xué)生的積極性和主動性，深切領(lǐng)會數(shù)學(xué)的實質(zhì)，形成正確的數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)意識，進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)的靈魂——思想方法，使數(shù)學(xué)才能得到最大限度的發(fā)揮，為今后的學(xué)習(xí)以及用數(shù)學(xué)的思想方法、思維方式來解決實際問題做準(zhǔn)備.

〔1〕吳長江.高中數(shù)學(xué)開放性問題.上海大學(xué)出版社，2002. 56-70.

〔2〕戴再平.數(shù)學(xué)開放題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，1993（12）：112—117．

〔3〕沈翔.數(shù)學(xué)新題研究.華東師范大學(xué)出版社，2003.76-81．

〔4〕張同語.淺探數(shù)學(xué)開放題的教學(xué).教學(xué)縱橫，2002.41-42．

〔5〕趙迎春.數(shù)學(xué)開放性教學(xué)的探究與實踐.中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（4）：8-11．

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1673-260X（2013）07-0009-03