程希偉

（淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南232038）

函數(shù)解析的充要條件及Cauchy-Riemann方程的不同形式

程希偉

（淮南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)系，安徽淮南232038）

解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)論中最基本的概念之一，在這里給出了五個(gè)函數(shù)解析的充要條件，還推導(dǎo)出函數(shù)解析的另一個(gè)充要條件，并探討出Cauchy-Riemann方程另外兩種形式.

解析函數(shù)；充要條件；柯西黎曼方程

1 五個(gè)常見(jiàn)充要條件

引理1函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：二元函數(shù)u(x,y)，v(x,y)在區(qū)域D內(nèi)可微且u(x,y)，v(x,y)在D內(nèi)滿足C.-R.方程.

引理2函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充分必要條件是:ux,uy,vx,vy在D內(nèi)連續(xù)且u(x,y)，v(x,y)在D內(nèi)滿足C.-R.方程.

引理3函數(shù)f(z)在區(qū)域G內(nèi)解析的充要條件是：f(z)在G內(nèi)連續(xù)；且對(duì)任一周線C，只要C及其內(nèi)部全含于G內(nèi)，就有

引理4函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：在區(qū)域D內(nèi)v(x,y)是u(x,y)的共軛調(diào)和函數(shù).

引理5函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是：f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)a的鄰域內(nèi)可展成z-a的冪級(jí)數(shù).

2 函數(shù)解析另一個(gè)充要條件

函數(shù)f(z)=u+iv解析的充分必要條件fzˉ=0.

證明必要性

而f(z)是解析函數(shù)，由C.-R.得，ux-vy=0，uy+vx=0,代入(4)即fzˉ=0.

必要性:

證畢.

3 Cauchy-Riemann方程另兩種形式

3.1 極坐標(biāo)下的柯西黎曼方程為

證明若f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ) z=reiθ=r(cosθ+isinθ)=x+iy f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)

而f(z)=p(x,y)+iq(x,y)解析，C.-R.方程為px=qy；py=-qx即

3.2 Cauchy-Riemann方程的梯度形式

f(z)=u(x,y)+iv(x,y),u(x,y)v(x,y)的Cauchy-Riemann方程的梯度形式為

證明在代數(shù)形式下的柯西黎曼方程為ux=vy，uy=-vx，那么有

其中e1,e2是與x,y軸正向相同的單位矢量.

4 求解析函數(shù)的一種公式

已知調(diào)和函數(shù)v(x,y)，以v(x,y)為虛部的解析函數(shù)

證明因?yàn)関(x,y)是調(diào)和函數(shù)，共軛關(guān)系知存在u(x,y)使得f(z)=u+iv在D內(nèi)解析，取D內(nèi)任一點(diǎn)z0，那么f(z)在z0的某一鄰域內(nèi)

將(5)(6)代入(4)中有

將ε換成z得出以下結(jié)論

同理有已知u(x,y)是單連通區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，z0為D內(nèi)任一點(diǎn)，則在D內(nèi)以u(píng)(x,y)為實(shí)部的解析函數(shù)為

〔1〕鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論[M].北京：高等教育出版社，2004.

〔2〕楊綸標(biāo)，郝志峰.復(fù)變函數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

O174.5

A

1673-260X（2013）07-0007-02