干曉蓉 于鳳雪 全志勇 陳蔚

摘要 在股票價(jià)格滿足CEV且受布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程共同驅(qū)動(dòng)的模型下，對(duì)支付交易費(fèi)用的交換期權(quán)定價(jià)進(jìn)行研究，給出了期權(quán)價(jià)格滿足的偏微分方程，并發(fā)現(xiàn)定價(jià)模型中股票價(jià)格的冪指數(shù)與波動(dòng)率彈性α的選取有關(guān)，同時(shí)交易費(fèi)用受泊松強(qiáng)度參數(shù)λ的影響，且隨著λ的變大而變小.

關(guān)鍵詞 交換期權(quán)；CEV模型；布朗運(yùn)動(dòng)；泊松過程；交易費(fèi)用

1引言

1973年，Black和Scholes提出BlackScholes （以下簡稱BS）模型[1]，對(duì)股票期權(quán)的定價(jià)作了詳細(xì)的討論.但該模型的假設(shè)如：波動(dòng)率為常數(shù)、市場(chǎng)無摩擦等與實(shí)際市場(chǎng)是不符的。后來放松BS模型的假設(shè)并對(duì)其加以修正，成為期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，特別是具有交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)問題.

BS模型假設(shè)波動(dòng)率為常數(shù)，Andersen[2]，Baski[3]的實(shí)證研究表明隨機(jī)波動(dòng)率模型能夠較好地?cái)M合市場(chǎng)數(shù)據(jù)，具有較好的定價(jià)性能.Cox和Ross[4]提出常波動(dòng)率彈性（Constant Elasticity of Variance，以下簡稱CEV）下期權(quán)定價(jià)模型，特別在α=2時(shí)，可見股票價(jià)格滿足的即是幾何布朗運(yùn)動(dòng)過程.Boyle[5]，謝赤[6]采用數(shù)值方法逼近CEV過程，分別研究了回望期權(quán)、障礙期權(quán).陳剛和周玉昆[7]在CEV下討論了有交易費(fèi)用的彩虹期權(quán)定價(jià)問題.

1985年，Leland[8]第一個(gè)討論了支付交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)，并給出小額交易費(fèi)用和固定摩擦系數(shù)下歐式期權(quán)定價(jià)的解析解.Toft[9]繼Leland在修正的B-S模型下討論了支付交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià).Hoggard，Whalley和Wilmott[10]采用推導(dǎo)B-S方程的無套利均衡分析方法，給出了支付交易費(fèi)用的期權(quán)定價(jià)模型.許少敏，蔣魯敏[11]給出了支付交易費(fèi)用的衍生物的定價(jià)公式；吳永紅，葉小青[12]對(duì)支付交易費(fèi)用的歐式期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了研究.

B-S模型用布朗運(yùn)動(dòng)描述了連續(xù)市場(chǎng)信息波動(dòng)對(duì)股票價(jià)格的影響.實(shí)際市場(chǎng)中，股價(jià)還受一些時(shí)刻不確定的突發(fā)事件（如突發(fā)的戰(zhàn)爭(zhēng)，重大政治事件，金融危機(jī)等）影響. 考慮到這兩方面的因素，Li[13]構(gòu)建了波動(dòng)率服從泊松跳躍過程的期權(quán)定價(jià)模型.Wang等[14]將泊松過程引入B-S模型，假設(shè)股價(jià)滿足方程：

研究了有交易費(fèi)用的回望期權(quán)定價(jià)問題.

但對(duì)于多資產(chǎn)期權(quán)，目前仍無文獻(xiàn)從波動(dòng)率、交易費(fèi)用、紅利、突發(fā)事件影響等多個(gè)因素來考察期權(quán)定價(jià).本文將以交換期權(quán)這種多資產(chǎn)期權(quán)作為研究對(duì)象，在模型（1）下研究其定價(jià)，以期為投資者提供有應(yīng)用價(jià)值的反饋公式.

2CEV下考慮股票價(jià)格受突發(fā)事件

影響下的交換期權(quán)定價(jià)

交換期權(quán)是典型的兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)新型期權(quán)， 它賦予期權(quán)持有人在到期日有權(quán)在多個(gè)原生資產(chǎn)中取得最佳回報(bào)的權(quán)利.

3支付交易費(fèi)用的交換期權(quán)定價(jià)模型

在實(shí)際的金融市場(chǎng)中，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格是不斷變化的，為了運(yùn)用連續(xù)交易保值策略，投資者要進(jìn)行頻繁的交易，這樣不得不面對(duì)數(shù)目可觀、不可忽視的交易成本，所以在改進(jìn)B-S模型時(shí)有必要研究交易成本.本文考慮的成本以交易額的固定比例K來獲得。若假設(shè)期權(quán)存續(xù)期Δt時(shí)間內(nèi)股票S的頭寸發(fā)生了ω份的變化，則在Δt時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的交易成本為KωS（ω>0表示購買，ω<0表示出售）.

定理2設(shè)交換期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)在風(fēng)險(xiǎn)中性概率下滿足方程（2），則支付交易費(fèi)用和連續(xù)紅利的交換期權(quán)價(jià)格V（S1，S2，t）滿足偏微分方程

4結(jié)論

本文獲得了股票價(jià)格在CEV下考慮突發(fā)事件影響的交換期權(quán)定價(jià)模型.在定理1中，當(dāng)λ=0時(shí)， 得到CEV模型下交換期權(quán)的定價(jià)公式；當(dāng)λ=0，α=2時(shí)，得到標(biāo)的資產(chǎn)在幾何布朗運(yùn)動(dòng)下的交換期權(quán)的定價(jià)公式.對(duì)于定理2，當(dāng)λ=0時(shí)，得到CEV模型下支付交易費(fèi)用和連續(xù)紅利的交換期權(quán)的定價(jià)模型；得到標(biāo)的資產(chǎn)在幾何布朗運(yùn)動(dòng)下支付交易費(fèi)用和連續(xù)紅利的交換期權(quán)的定價(jià)模型.研究發(fā)現(xiàn)， CEV過程使得股票價(jià)格冪指數(shù)與波動(dòng)率彈性α的選取有關(guān)；期權(quán)費(fèi)用項(xiàng)受泊松強(qiáng)度參數(shù)λ的影響，隨λ的增大而變小，并且當(dāng)λ達(dá)到一定限度時(shí)會(huì)暫停交易，這與實(shí)際市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)管理策略是一致的.本文得到的CEV下基于布朗運(yùn)動(dòng)和泊松過程的的交換期權(quán)定價(jià)方法，容易推廣到n個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形。由于文中標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)目多，以及波動(dòng)率彈性等原因獲得閉式解是困難的，但是可利用數(shù)值模擬技術(shù)進(jìn)行計(jì)算，這也是本文可以繼續(xù)的工作之一.

參考文獻(xiàn)

[1]B SCHOLES The pricing of options and corporate liabilities [J]. Journal of Political Ecomomy， 1973， 81（2）： 635-654.

[2]T G ANDERSEN， L BENZONI， J LUND. An empirical investigation of continuous-time equity return models[J]. Journal of Finance， 2002， 57（3）： 1239-1284.

[3]G BASKI， C CAO， Z CHEN. Empirical performance of alternative option pricing models[J]. Journal of Finance， 1997， 52（5）： 2003-2049.

[4]J C COX， S A ROSS. Notes on option pricing Ⅰ： constant elasticity of variance diffusions， working paper[R]. Stanford：Graduate School of Business University， 1975.

[5]P P BOYLE， Y S TIAN. Pricing lookback and barrier options under the CEV process [J]. The Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1999， 34（2）：241-264.

[6]謝赤. CEV過程下回顧期權(quán)的定價(jià)問題研究[J]. 系統(tǒng)工程學(xué)報(bào)， 2001， 16（4）： 296-301.

[7]陳剛， 周玉昆. CEV模型下有交易費(fèi)用的彩虹期權(quán)定價(jià)模型的研究[J]. 宿州學(xué)院學(xué)報(bào)， 2008， 23（4）： 36-38.

[8]H LELAND. Option pricing and replication with transaction costs[J].The journal of finance， 1985， 8（5）： 1283 - 1301.

[9]K TOFT. On the meanvariance tradeoff in option replication with transactions costs [J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis， 1996， 31（1）： 33-263.

[10]T HOGGARD， A E WHALLEY， P WILMOTT. Hedging option portfolios in the presence of transaction costs[J]. Futures Options Res， 1994， 7（1）： 21-35.

[11]許少敏， 蔣魯敏. 有交易費(fèi)用的衍生物定價(jià)模型[J]. 華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)， 2002， 14（2）： 22-25.

[12]吳永紅， 葉小青. 有交易費(fèi)用和隨機(jī)分紅時(shí)的歐式期權(quán)定價(jià)[J]. 華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)， 2005， 33（6）： 123-124.

[13]J LI. A stochastic volatility model for option pricing[D]. Washingtou：Gorge Washington University， 1992.

[14]F WANG， X P XU， W ZHAO. European option pricing driven by the combination of Brownian motion and Poisson process[J]. Pure and Applied Mathematics， 2004， 20（1）： 79-83.

[15]任芳玲， 喬克林， 李粉香. 有交易成本且標(biāo)的資產(chǎn)在布朗運(yùn)動(dòng)和泊松運(yùn)動(dòng)共同作用下多因素期權(quán)定價(jià)[J]. 延安大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版， 2010， 29（3）： 25-27.

[16]任芳玲， 喬克林， 李粉香. CEV下有交易費(fèi)用且標(biāo)的資產(chǎn)在B-P共同作用下的回望期權(quán)定價(jià)[J]. 西南民族大學(xué)學(xué)報(bào)： 自然科學(xué)版， 2010， 36（1）： 70-73.

[17]秦洪元， 鄭振龍. CEV模型下有交易成本的期權(quán)定價(jià)[J]. 南方經(jīng)濟(jì)， 2007， 25（9）：38-45.