摘要

針對非線性BlackScholes方程，基于quasiShannon小波函數(shù)給出了一種求解非線性偏微分方程的自適應(yīng)多尺度小波精細(xì)積分法.該方法首先利用插值小波理論構(gòu)造了用于逼近連續(xù)函數(shù)的多尺度小波插值算子，利用該算子可以將非線性BlackScholes方程自適應(yīng)離散為非線性常微分方程組；然后將用于求解常微分方程組的精細(xì)積分法和小波變換的動態(tài)過程相結(jié)合，并利用非線性處理技術(shù)（如同倫分析技術(shù)）可有效求解非線性BlackScholes方程.數(shù)值結(jié)果表明了該方法在數(shù)值精度和計算效率方面的優(yōu)越性.

關(guān)鍵詞非線性BlackScholes方程；插值小波算子；精細(xì)積分法

中圖分類號O211.63 文獻標(biāo)識碼A

1引言

期權(quán)又稱為選擇權(quán)，是在期貨的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的一種衍生性金融工具.就期權(quán)其本身而言，它并不是某一獨立的證券，但它通常又是由證券衍生而來，依附于某一證券且以其為標(biāo)的資產(chǎn)，因而常稱衍生證券或金融衍生產(chǎn)品[1].因此，期權(quán)定價和標(biāo)的資產(chǎn)（股票、有價證券等）價格密切相關(guān)，而標(biāo)的資產(chǎn)價格往往遵循某種隨機過程.期權(quán)定價理論的研究具有一定的挑戰(zhàn)性，是持續(xù)近50年的研究熱點.1973年，Black和Scholes在有效市場和股票價格遵循幾何布朗運動等一系列的假設(shè)下，運用連續(xù)交易保值策略推導(dǎo)出了著名的BlackScholes期權(quán)定價模型，并建立了看漲期權(quán)定價公式[2].與此同時，Merton也發(fā)表了類似的期權(quán)定價公式[3].該成果是金融衍生證券發(fā)展史上的里程碑，為包括股票、債券、貨幣、商品在內(nèi)的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎(chǔ).該定價模型和公式的創(chuàng)新之處在于期權(quán)的價格不依賴于投資人的個人偏好，把所有投資人引向同一個以無風(fēng)險利率作為投資回報率的風(fēng)險中性世界.但BlackScholes模型設(shè)置了太多的假設(shè)，很多假設(shè)并不符合實際情況，如無稅收和交易成本，無套利機會等[4，5].因此，近20年來非線性BlackScholes模型一直是學(xué)術(shù)界研究的重點.在非線性BlackScholes模型中可以將很多實際因素如交易費用[6，7]、無保護組合投資風(fēng)險等影響股票價格、波動率、漂移率和期權(quán)價格本身的因素考慮進去[8-10].一般很難導(dǎo)出非線性BlackScholes方程的精確解析解[11].

已有的數(shù)值求解方法通常先將非線性期權(quán)定價模型變形為拋物型偏微分方程，然后采用有限差分法進行求解[11，12].事實上，非線性BlackScholes方程變形后得到的拋物型偏微分方程的解具有明顯的激波存在.因此，相對于其他方法，自適應(yīng)多尺度方法更有利于求解該非線性偏微分方程.文獻[13]給出了一種多尺度插值小波方法，論文給出的數(shù)值結(jié)果體現(xiàn)了這種方法的優(yōu)越性.近年來，筆者構(gòu)造了多尺度小波插值算子，結(jié)合求解常微分方程組的精細(xì)積分法導(dǎo)出了求解非線性偏微分方程的小波精細(xì)積分法.本文的目的是將小波精細(xì)積分法應(yīng)用于求解非線性BlackScholes方程的求解中.

2非線性BlackScholes方程

2.1模型描述

歐式看漲期權(quán)持有者有權(quán)在在期權(quán)到期日（T）以執(zhí)行價格K購買指定數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)S（t），期權(quán)售賣者也有義務(wù)按照執(zhí)行價格賣出標(biāo)的資產(chǎn).因此，期權(quán)到期后的價值可表示為：V（S，T）=（S-K）+.相反，看跌期權(quán)則是期權(quán)持有者有權(quán)將標(biāo)的資產(chǎn)按照執(zhí)行價格賣給期權(quán)售賣者，因此，看跌期權(quán)到期后的價值可表示為：V（S，T）=（K-S）+.歐式期權(quán)只能在到期日進行交易，而美式期權(quán)可以在到期日前的任意一天進行交易.這就導(dǎo)致美式期權(quán)和歐式期權(quán)的定價公式有很大區(qū)別.

BlackScholes模型的提出使得期權(quán)定價理論獲得突破.線性BlackScholes 模型的解可表示為偏微分方程：

市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

股票資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)不支付紅利及其他所得（該假設(shè)可以被放棄）；

金融市場不存在無風(fēng)險套利機會；

金融資產(chǎn)的交易可以是連續(xù)進行的；

可以運用全部的金融資產(chǎn)所得進行賣空操作.

在以上假設(shè)條件下，任何資產(chǎn)均可用市場上的其他資產(chǎn)的投資組合進行復(fù)制.通過將線性BlackScholes模型變形為熱傳導(dǎo)方程可以得到期權(quán)價格的解析解.

顯然，這些嚴(yán)格的假設(shè)并不符合實際情況.如果考慮交易費用，該模型將變?yōu)閺姺蔷€性問題，如退化對流擴散方程，漂移率和波動率同時和時間、標(biāo)的資產(chǎn)價格S以及期權(quán)價格V自身相關(guān).本研究將線性BlackScholes模型推廣為考慮交易費用的歐式期權(quán)和美式期權(quán)的非線性模型，在這些模型中漂移率為常數(shù)而波動率為

如果不支付紅利且波動率為常數(shù)，美式看漲期權(quán)和歐式看漲期權(quán)的價格相等，因此式（1）不適合用來描述美式期權(quán)的價格.式（2）中的波動率是的函數(shù)，將需要支付的紅利考慮進去，便可得到美式期權(quán)定價方程

數(shù)值求解結(jié)果如圖2所示.由此可見，自適應(yīng)小波數(shù)值方法可有效捕捉看漲期權(quán)價格演化過程中梯度變換加大的位置，在激波處自適應(yīng)增加配點數(shù).由于只是在局部增加配點，既保證了解函數(shù)在出現(xiàn)激波的位置處的逼近精度，也避免了非自適應(yīng)方法全局增加配點所帶來的計算量的增加.

此外，為驗證該方法在分析期權(quán)定價方面的有效性，將Leland模型的小波精細(xì)積分法求解結(jié)果和線性BlackScholes方程的精確結(jié)果進行了對比，其誤差如圖3所示.兩種模型得到的期權(quán)價格差異主要體現(xiàn)在執(zhí)行價格附近，隨著在執(zhí)行價格附近交易量的增大，交易費用所帶來的期權(quán)價格波動率的增大也體現(xiàn)出來.其直接結(jié)果是非線性BlackScholes模型計算得到的期權(quán)價格在執(zhí)行價格附近更符合實際結(jié)果.這也從另外一個角度驗證了本文所給出的方法的有效性.

計算結(jié)果如圖4所示，該圖只繪制了非線性模型和線性模型得到的計算結(jié)果的差異由該模型得到的結(jié)果相對于其他模型和線性模型得到的結(jié)果差值更小一些

3）風(fēng)險調(diào)整定價方法

該模型試圖尋找兩次相鄰交易時間間隔的最優(yōu)值，使交易費和無保護組合的風(fēng)險率降到最低.這種情況下的波動率可采用以下形式

計算結(jié)果如圖5所示，該圖只繪制了非線性模型和線性模型得到的計算結(jié)果的差異.由該模型得到的結(jié)果和Leland模型相差不大.

4.2計算精度和效率對比

4.2.1小波精細(xì)積分法和有限差分法

線性BlackScholes模型具有精確解析解，因此，通過對線性模型進行求解可以對比小波精細(xì)積分法和有限差分法的數(shù)值精度和計算效率.線性BlackScholes模型具有精確解析解可表示為

其中y是分紅率分別用有限差分法和自適應(yīng)小波數(shù)值方法對線性BlackScholes模型進行求解，結(jié)果如圖6所示由圖6可見，盡管兩種方法在執(zhí)行價格附近的波動都較大，但有限差分法在其他點處的誤差明顯較大有限差分法采用空間均勻離散方法，總離散點數(shù)為4 096個；自適應(yīng)小波數(shù)值方法的離散點數(shù)則在211-242之間動態(tài)變化，計算量大大低于有限差分法，充分體現(xiàn)了小波數(shù)值方法的優(yōu)越性

看漲期權(quán)和線性看漲期權(quán)的差異

小波和RungeKutta方法組合也是求解非線性偏微分方程的常用方法，為說明小波精細(xì)積分方法求解非線性常微分方程的有效性，下面對小波自適應(yīng)精細(xì)積分法和小波自適應(yīng)四階RungeKutta方法的數(shù)值結(jié)果進行對比.

采用小波精細(xì)積分法求解，誤差只出現(xiàn)在解的梯度較大執(zhí)行價格附近，其它位置的誤差幾乎為0，而RungeKutta法的誤差在其它位置也比較明顯，尤其在邊界附近比較明顯.另外注意到，即使采用精度較高的多步法，如AdamsBashforthMoulton方法，在邊界附近產(chǎn)生的誤差也非常明顯.表2給出了這三種方法的數(shù)值結(jié)果在不同時刻的最大誤差，從中可以看出，小波精細(xì)積分方法的計算精度優(yōu)于另外兩種方法.

表2Leland方程數(shù)值結(jié)果的最大誤差

5結(jié)束語

BlackScholes模型不但在期權(quán)定價方面得到廣泛應(yīng)用，在其他金融衍生產(chǎn)品如期貨、風(fēng)險投資等領(lǐng)域也得到越來越多的應(yīng)用，隨之而來的是不同的非線性期權(quán)定價模型不斷被提出.因此，高效的數(shù)值求解方法或近似解析方法具有非常重要的理論意義和實用價值.小波數(shù)值方法其實屬于一種半解析方法，充分利用了小波變換的自適應(yīng)性和精細(xì)積分方法的高精度特性.但同時注意到，非線性BlackScholes模型相對于時間參數(shù)是弱非線性方程，將弱非線性方程的處理方法（如攝動法）引入本文方法有望進一步提高方法的計算效率.

參考文獻

[1]P WILMOTT， S HOWISON， J DEWNNE. The Mathematics of Financial Derivatives[M]New York：Cambridge University Press，1995.

[2]F BLACK， M SCHOLES. The pricing of options and corporate liabilities [J]. J Polit Econ. 1973，81（3）：637-654

[3]R C MERTON. Theory of rational option pricing [J]. Bell J Econ.1973，4（1）：141-183[4]Y ZHU， X WU， I CHERN. Derivative securities and difference methods[M] New York： Springer Finance， 2004.

[5]Y KWOK. Mathematical models of financial derivatives[M].Singapore： Springer， 1998

[6]李正杰，張興永，梁巖. 支付交易費的不確定波動率的歐式看跌期權(quán)定價[J]. 徐州師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2010，28（2）：35-38

[7]張衛(wèi)國，史慶盛，肖煒麟. 考慮支付紅利的可轉(zhuǎn)債模糊定價模型及其算法[J].管理科學(xué)學(xué)報，2010，13（11）：86-93

[8]H E LELAND. Option pricing and replication with transactions costs [J]. J Finance， 1985，40（5）：1283-1301

[9]P BOYLE， T VORST. Option replication in discrete time with transaction costs [J]. J Finance 1992，47（1）：271-93

[10]G BARLES， H M SONER. Option pricing with transaction costs and a nonlinear BlackScholes equation [J]. Finance Stoch. 1998，2（4）：369-397

[11]A JULIA， E MATTHIAS. On the numerical solution of nonlinear BlackScholes equations [J]. Computers and Mathematics with Applications ， 2008，56（3）： 799-812

[12]蹇明，宜娜，張春曉.BlackScholes期權(quán)定價模型的五點式混合差分方法.經(jīng)濟數(shù)學(xué)[J]，2011，28（4）：66-70

[13]賈尚暉，李華.BlackScholes期權(quán)定價方程的自適應(yīng)小波算法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識， 2010，40（10）：193-200

[14]梅樹立， 陸啟韶， 張森文. 求解非線性偏微分方程的自適應(yīng)小波精細(xì)積分法[J].計算物理， 2004，21（6）：523-530.

[15]張詢安， 姜節(jié)勝. 結(jié)構(gòu)非線性動力學(xué)方程的精細(xì)積分算法[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2000，17（4）：164-168.