黃益生,羅飛來
(三明學(xué)院信息工程學(xué)院,福建三明365004)
矩陣空間Mn(F)上一類線性變換的不動點
黃益生,羅飛來
(三明學(xué)院信息工程學(xué)院,福建三明365004)
討論由數(shù)域F上的一個n階方陣A所決定的線性變換DA∶Mn(F)→Mn(F),X→AX-XA的不動點。主要結(jié)果如下:(1)由DA的全體不動點組成的集合構(gòu)成矩陣空間Mn(F)的一個子空間,并且這個子空間中的每一個矩陣都是冪零矩陣;(2)如果A是可對角化矩陣,那么由DA的不動點組成的子空間,其維數(shù)不超過ψ(n),這里n≥2,并且當(dāng)n為奇數(shù)時,ψ(n)=1/4(n2-1),當(dāng)n為偶數(shù)時,ψ(n)=1/4n2;(3)如果m=p1q1+p2q2+…+psqs且p1+q1+p2+q2+…+ps+ qs≤n,那么存在一個一個n階方陣A,使得由DA的不動點組成的子空間,其維數(shù)等于m,這里p1,q1,p2,q2,…,ps,qs都是正整數(shù);(4)如果DA是矩陣空間Mn(C)上的線性變換,那么DA有非零不動點當(dāng)且僅當(dāng)存在A的兩個特征值,其差等于1,這里n≥2,并且C表示復(fù)數(shù)域。
線性變換;不動點;矩陣方程;冪零矩陣
高等代數(shù)教材中一道習(xí)題可以敘述為[1]設(shè)A是復(fù)數(shù)域F上的一個n階方陣,令DA是下列映射:
則DA是矩陣空間Mn(F)上的一個線性變換,并且下列公式成立:
這里Mn(F)表示數(shù)域F上全體n階方陣組成的集合。這個公式類似于微積分中的導(dǎo)數(shù)公式
由此線性變換DA應(yīng)該具有一些性質(zhì)。例如,在微積分中有萊布尼茲公式
由此稱DA為數(shù)域F上由方陣A所決定的萊布尼茲變換。
從上面的分析不難看出,探討萊布尼茲變換是有意義的。但是經(jīng)查閱各種文獻(xiàn),未發(fā)現(xiàn)有關(guān)這類變換的資料,因此本文嘗試討論這類變換的不動點,這里DA的一個不動點X0指的是使等式DA(X)=X成立的數(shù)域F上的一個n階方陣X0。本文主要結(jié)果如下:
(1)由DA的全體不動點組成的集合構(gòu)成矩陣空間Mn(F)的一個子空間,并且這個子空間中每一個矩陣都是冪零矩陣;
(2)如果A是可對角化矩陣,那么有DA的不動點組成的子空間,其維數(shù)不超過ψ(n),這里n≥2,并且當(dāng)n為奇數(shù)時,ψ(n)=1/4(n2-1),當(dāng)n為偶數(shù)時,ψ(n)=1/4n2;
(3)如果m=p1q1+p2q1+…+psqs且p1+q1+p2+q2+…+ps+qs≤n,那么存在一個n階方陣A,使得由DA的不動點組成的子空間,其維數(shù)等于m,這里p1,q1,p2,q2…ps,qs都是正整數(shù);
(4)如果DA是矩陣空間Mn(C)上的線性變換,那么DA由非零不動點當(dāng)且僅當(dāng)存在A的兩個特征值,其差等于1,這里n≥2,并且C表示復(fù)數(shù)域。
本文討論中引用文獻(xiàn)[1]中一些熟知的術(shù)語和結(jié)論,不再另加說明。首先證明命題1。命題1隨意選取n個復(fù)數(shù)x1,x2,…xn(n≥2),可以構(gòu)造一個數(shù)表如下:
表中可能有一些數(shù)等于1,而且當(dāng)x1,x2,…xn變化時,表中出現(xiàn)1的那些數(shù)的個數(shù)也會發(fā)生變化。令ψ(n)表示表中出現(xiàn)1的個數(shù)的最大值,則
證明:顯然ψ(n)的開頭幾個值為ψ(2)=1,ψ(3)=2,ψ(4)=4等。當(dāng)n為奇數(shù)時,由
有ψ(n-1)<ψ(n)。類似地,當(dāng)n為偶數(shù)時,也有ψ(n-1)<ψ(n)。
下面對n作數(shù)學(xué)歸納法。當(dāng)n=2時,表中只有1行1列。取x1=1且x2=0,有x1-x2=1,所以ψ(2)= 1,結(jié)論成立。假定n>2,并且對n-1的情形結(jié)論成立。下面考慮n的情形。顯然上面的數(shù)表一共有n-1行n-1列。如果表中最后一列不全為1,那么表中出現(xiàn)1的個數(shù)與前n-2列中出現(xiàn)1的個數(shù)相同。根據(jù)歸納假定,表中出現(xiàn)1的個數(shù)不超過ψ(n-1),因而不超過ψ(n)。假定最后一列出現(xiàn)1,不妨假定這一列前k個數(shù)都是1,其余的都不是1(這樣假定不會失去一般性,因為x1,x2,…xn這n個數(shù)可以隨意選?。?,那么x1=x2=…=xk,并且xk+1,xk+2,…xn-1都不等于x1。于是前k-1列中的數(shù)都是零,因而這個數(shù)表可以改寫如下:
注意到x1-xn=x2-xn=…=xk-xn=1,因此前k行中一共出現(xiàn)k×(n-k)個1。再注意到xk+1,xk+2,…xn-1都不等于x1,如果讓xk+1,xk+2,…,xn-1都等于xn,那么后(n-1)-k行中不出現(xiàn)1。令f(k)表示表中出現(xiàn)1的個數(shù),則
現(xiàn)在容易看出,若n是奇數(shù),則當(dāng)k=1/2(n-1)或k=1/2(n+1)時,f(k)達(dá)到最大值1/4(n2-1)。若n是偶數(shù),則當(dāng)k=1/2n時,f(k)達(dá)到最大值1/4n2。另一方面,如果xk+1,xk+2,…,xn-1中有一個不等于xn,比如說,xn-1≠xn,那么不論k取何值,除第n-2列外,表中其余的列與上一步中相應(yīng)的列是一樣的,而第n-2列中前k個數(shù)都不是1,后(n-2)-k個數(shù)都是1,因此表中出現(xiàn)1的個數(shù)為
顯然,這個數(shù)不超過1/4(n2-1)或1/4n2。如果xk+1,xk+2,…xn-1中有多個不等于xn,仿照上面的討論可證表中出現(xiàn)1的個數(shù)也不超過1/4(n2-1)或1/4n2。因此表中出現(xiàn)1的最大值為
上面的表中可能出現(xiàn)一些數(shù)等于-1。此時,只需改變x1,x2,…,xn的下標(biāo)編號,也就是對這n個數(shù)進(jìn)行重新排列,就可以保證表中的數(shù)都不等于-1。事實上,在實數(shù)的范圍內(nèi),如果這n個數(shù)按從大到小的順序進(jìn)行排列,那么表中就不會出現(xiàn)負(fù)數(shù),因而不出現(xiàn)-1。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi),注意到兩個數(shù)的差為實數(shù)時,這兩個數(shù)的虛部必相同,因此只需考慮x1,x2,…,xn這n個數(shù)的實部,讓實部大的數(shù)排在實部小的數(shù)的前面。如果其中有兩個數(shù),它們的實部相同,但虛部不同,那么可以隨意選取其中的一個排在另一個的前面。容易看出,按照這樣的方法對這n個數(shù)進(jìn)行重新排列后,可以保證表中的數(shù)不出現(xiàn)-1。再注意到xi-xj與xj-xi只相差一個符號。根據(jù)命題1,推論1成立。
推論1設(shè)x1,x2,…,xn是n個復(fù)數(shù)(n≥2)。令aij=xi-xj,i,j=1,2,…,n,并令A(yù)=(aij),則矩陣A的n2個元素中不超過ψ(n)個1,這里當(dāng)n為奇數(shù)時,ψ(n)=1/4(n2-1);當(dāng)n為偶數(shù)時ψ(n)=1/4n2。
本節(jié)討論萊布尼茲變換的不動點。設(shè)A是數(shù)域F上的一個n階方陣。根據(jù)本文開頭的說明,由A所決定的萊布尼茲變換DA是Mn(F)上的線性變換。已知每一個線性變換都把零向量變成零向量,那么DA(O)=O,所以n階零矩陣O是DA的一個不動點。為了便于敘述,DA的其余不動點(如果存在的話)稱為非零不動點。
令X0是DA的一個不動點,則DA(X0)=X0。因為DA是下列映射:
所以DA(X0)=AX0-X0A,因此AX0-X0A=X0,故X0是數(shù)域F上的矩陣方程AX-XA=X的一個解。反之,如果X0是該矩陣方程的一個解,容易驗證它是DA的一個不動點。這就得到:
命題2設(shè)A是數(shù)域F上的一個n階方陣。令DA是由A所決定的萊布尼茲變換,則由DA的全體不動點組成的集合就是矩陣方程AX-XA=X的解集。特別地,DA有非零不動點當(dāng)且僅當(dāng)這個矩陣方程有非零解。
根據(jù)命題2,可以把討論萊布尼茲變換DA的不動點問題,轉(zhuǎn)向討論矩陣方程AX-XA=X的解的相應(yīng)問題。不難看出,這樣的矩陣方程是數(shù)域F上的一個n2元齊次線性方程組,因而它的解集構(gòu)成矩陣空間Mn(F)的一個子空間,稱為矩陣方程AX-XA=X的解空間。這個事實可以用不動點的語言敘述如下:由DA的全體不動點組成的集合構(gòu)成Mn(F)的一個子空間,稱為DA的不動點空間。
命題3設(shè)A,B∈Mn(F)。如果A相似于B,那么矩陣方程AX-XA=X有非零解當(dāng)且僅當(dāng)矩陣方程BY-YB=Y有非零解,并且這兩個矩陣方程的解空間有相同的維數(shù)。
證明:已知A相似于B,那么存在數(shù)域F上的一個n階可逆矩陣T,使得B=T-1AT。設(shè)矩陣方程AX-XA=X有一個非零解X0,則AX0-X0A=X0,所以
令Y0=T-1X0T,則Y0≠0,并且由B=T-1AT,得到BY0-Y0B=Y0,因此Y0是矩陣方程BY-YB=Y的一個非零解。類似地,可以證明,如果Y0是矩陣方程BY-YB=Y的一個非零解,那么X0是矩陣方程AXXA=X的一個非零解,這里X0=TY0T-1。這就證明了命題3的前半部分。
下面證明命題3的后半部分。根據(jù)前面的討論,如果矩陣方程AX-XA=X只有零解,那么矩陣方程BY-YB=Y也只有零解,因此這兩個矩陣方程的解空間的維數(shù)都等于零。不妨設(shè)AX-XA=X有非零解,并設(shè)X1,X2,…,Xr是它的解空間W的一個基。令Yi=T-1XiT,其中i=1,2,…,r。根據(jù)前面的討論,Y1,Y2,…,Yr是矩陣方程BY-YB=Y的r個解。設(shè)
分別用T和T-1去左乘和右乘上式兩邊,得
已知Yi=T-1XiT,那么Xi=T-1YiT(i=1,2,…,r),所以
又已知X1,X2,…,Xr是它的解空間W的一個基,那么k1,k2,…,kr只能全為零。另一方面,設(shè)Y0是矩陣方程BY-YB=Y的一個解。根據(jù)前面的討論,TY0T-1是矩陣方程AX-XA=X的一個解,因而它可以由解空間W的基X1,X2,…,Xr線性表示,即存在a1,a2,…,ar∈F,使得
分別用T-1和T去左乘和右乘上式兩邊,得
從而由Yi=T-1XiT(i=1,2,…,r),有
即Y0可由向量組Y1,Y2,…,Yr線性表示。這就證明了Y1,Y2,…,Yr是矩陣方程BY-YB=Y的解空間的一個基,因此所給兩個矩陣方程的解空間,其維數(shù)都等于r。
根據(jù)命題3的證明和命題2,可以求出萊布尼茲變換的不動點空間。
再解線性方程組(2I-A)x→=-η2(這里x→=(x1,x2,x3,x4)′),即
的解為k1E23+k2E41,k1,k2∈F,這里Eij表示第i行第j列元素為1,其余元素全為零的4階方陣。根據(jù)命題3的證明,矩陣方程AX-XA=X的解為T(k1E23+k2E41)T-1,k1,k2∈F。根據(jù)命題2,DA的不動點空間為{T(k1E23+k2E41)T-1│k1,k2∈F},即
對于可對角化的n階方陣,萊布尼茲變換具有下列性質(zhì)。
命題4設(shè)A是數(shù)域F上的一個n階方陣(n≥2)。令W是由A所決定的萊布尼茲變換DA的不動點空間。如果A是可對角化的,那么
(1)DA有非零不動點當(dāng)且僅當(dāng)存在A的一對特征值,其差等于1;
(2)W的維數(shù)等于A的特征值中,差為1的特征值的對數(shù);
(3)W的維數(shù)不超過ψ(n),這里當(dāng)n為奇數(shù)時,ψ(n)=1/4(n2-1);當(dāng)n為偶數(shù)時,ψ(n)=1/4n2。
證明:已知A是可對角化的,那么A的特征值多項式的n個根λ1,λ2,…,λn恰好是它的全部特征值。于是A(在數(shù)域F上)相似于對角矩陣D,這里D=diag{λ1,λ2,…,λn}。下面考慮方程DY-YD=Y。令Y=(yij),則這個矩陣方程可以改寫成
由此可見,矩陣方程DY-YD=Y滿足下列n2元齊次線性方程組:
反過來,以這個方程組的解作為元素的矩陣也滿足上述矩陣方程。
現(xiàn)在,容易看出,下列兩個結(jié)論同時成立:當(dāng)且僅當(dāng)存在A的一對特征值,比如說λi0與λj0,使得λi0-λj0-1=0(即λi0與λj0之差等于1)時,矩陣方程DY-YD=Y有非零解;上述線性方程組的自由未知量個數(shù),也就是矩陣方程DY-YD=Y的解空間的維數(shù),等于A的特征值中,差為1的特征值的對數(shù)。其次,根據(jù)推論1,下列結(jié)論也成立:矩陣方程DY-YD=Y的解空間的維數(shù)不超過ψ(n)。于是,由命題2和命題3可見,命題4的3個結(jié)論都成立。
命題5設(shè)m是一個正整數(shù),如果存在正整數(shù)p1,q1,p2,q2,…,ps,qs,使得m=p1q1+p2q2+…+psqs且p1+ q1+p2+q2+…+ps+qs≤n,那么存在數(shù)域F上的一個n階方陣A,使得DA的不動點空間的維數(shù)等于m。
證明:為了便于書寫,只證存在兩對正整數(shù)p1,q1與p2,q2的情形。類似的方法可證一般情形。已知m=p1q1+p2q2且p1+q1+p2+q2≤n,那么可設(shè)λ1=λ2=…=λp1=1,λp1+1=…=λp1+q1=0,λp1+q1+1=…=λp1+q1+p2=4,λp1+q1+p2+1=…=λp1+q1+p2+q2=3,λp1+q1+p2+q2+1=…=λn=6(當(dāng)p1+q1+p2+q2<n)。于是當(dāng)1≤i≤p1且p1+1≤j≤p1+q1時,有λi-λj=1-0=1。這樣的差一共有p1×q1個。當(dāng)p1+q1+1≤i≤p1+q1+p2且p1+q1+p2+1≤j≤p1+q1+p2+ q2時,有λi-λj=4-3=1。這樣的差一共有p2×q2個。容易看出,其余的每一個差λi-λj只能是下列12個數(shù)之一:0,-1,±2,±3,±4,±5,±6。令A(yù)=diag{λ1,λ2,…,λn},則A是數(shù)域F上的一個n階可對角化矩陣們并且它的n個特征值為λ1,λ2,…,λn。根據(jù)上面的討論,這n個特征值中,差為1的特征值對數(shù)為p1×q1+p2×q2個。注意到m=p1q1+p2q2,因此差為1的特征值對數(shù)為m。根據(jù)命題4,DA的不動點空間的維數(shù)等于m。
設(shè)n≥2。并且當(dāng)n為奇數(shù)時,ψ(n)=1/4(n2-1),即ψ(n)=(n-1)/2×(n+1)/2。顯然,(n-1)/2與(n+1)/2都是正整數(shù),并且(n-1)/2×(n+1)/2≤n。又已知當(dāng)n為偶數(shù)時,ψ(n)=1/4n2,即ψ(n)=n/2×n/2。顯然n/2是正整數(shù),并且n/2+n/2≤n。因此作為命題5的特殊情形,存在數(shù)域F上的一個n階對角化矩陣,使得DA的不動點空間的維數(shù)等于ψ(n)。
例2容易計算除11外,介于1和12之間的每一個正整數(shù)m,或者可以分解成一對正整數(shù)的p1,q1的乘積p1q1,其中p1+q1≤7,或者可以分解成兩隊正整數(shù)p1,q1和p2,q2的乘積之和p1q1+p2q2,其中p1+q1+p2+q2≤7。計算結(jié)果如下:
表中Δ代表m的分解式,Σ代表分解式中的所有因數(shù)之和,根據(jù)命題5,由數(shù)域F上的7階方陣所決定的萊布尼茲變換,其不動點空間(含零空間)可能的維數(shù),至少有12種。
在文獻(xiàn)[2]中,作者證明了冪零矩陣的一個等價條件,即“復(fù)數(shù)域上的一個n階方陣A是冪零的當(dāng)且僅當(dāng)存在復(fù)數(shù)域上的一個n階方陣B,使得等式AB-BA=A成立”。顯然,如果A是冪零的,那么-A也是冪零的,反之亦然。令X=-A,并令B=A,則上面的等式變成AX-XA=X,這表明,復(fù)數(shù)域上滿足最后一個等式的每一個n階方陣X是一個冪零矩陣。如果最后一個等式中的A和X都是復(fù)數(shù)域F上的n階方陣,由于數(shù)域F上的矩陣也可以看作復(fù)數(shù)域上的矩陣,因此X仍然是一個冪零矩陣。于是由命題2得到命題6。
命題6設(shè)A是數(shù)域F上的一個n階方陣,則DA的每一個不動點是一個冪零矩陣。
由命題5和命題6立即得到推論2。
推論2設(shè)m=p1q1+p2q2+…+psqs,其中p1,q1,p2,q2,…,ps,qs都是正整數(shù)。如果p1+q1+p2+q2+…+ps+ qs≤n,那么存在矩陣空間Mn(F)的一個m維子空間W,使得W中的每一個矩陣都是冪零的。
命題7設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個n階方陣(n≥2),則DA有非零不動點當(dāng)且僅當(dāng)存在A的兩個特征值,其差等于1。
證明:設(shè)A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為J=diag{J(λ1,r1),J(λ2,r2),…,J(λs,rs)},其中J(λi,ri)表示主對角線上元素全為λi的ri階約當(dāng)塊,即
那么r1+r2+…+rs=n,并且每一個λi是A的一個特征值。為了便于書寫,把J(λi,ri)簡記為Ji。已知A相似于J。根據(jù)命題2和命題3,只需證明,矩陣方程JY-YJ=J有非零解當(dāng)且僅當(dāng)存在A的兩個特征值,其差等于1。事實上,把Y表示成s個塊行s個塊列的分塊矩陣(Yij),其中每一個Yij是一個ri×rj型小矩陣(i,j=1,2,…,s),那么上述矩陣方程就是
由此可見,矩陣方程JY-YJ=J等價于s2個矩陣方程組組成的方程組:JiYij-YijJj=Yij,i,j=1,2,…,s。
現(xiàn)在,假定存在A的兩個特征值ri0≤rj0,使得λi0-λj0=1,并假定約當(dāng)塊Ji0的階數(shù)ri0不超過Jj0的階數(shù)rj0,即ri0≤rj0。構(gòu)造一個分塊矩陣Y0如下:其階數(shù)等于n,分法與上述分塊矩陣Y的分法一致,其中的小矩陣,除Yi0j0外,其余的全為零矩陣,而Yi0j0=(Iri0,0),這里Iri0是ri0階單位矩陣,0是ri0×(rj0-ri0)型零矩陣;當(dāng)ri0=rj0時,Yi0j0就是單位矩陣Iri0。顯然,Y0≠0,我們斷言Y0是矩陣方程JY-YJ=Y的一個非零解。事實上,根據(jù)Y0的構(gòu)造,當(dāng)i≠i0或j≠j0時,Y0中的小矩陣Yij是零矩陣。此時等式JiYij-YijJi=Yij當(dāng)然成立。下面證明等式Ji0Yi0j0-Yi0j0Jj0=Yi0j0也成立。令B1是由Jj0的前ri0行組成的小矩陣,B2是由剩下的行組成的小矩陣,那么由B1的前ri0列組成的小矩陣就是主對角線上元素全為λj的ri0階約當(dāng)塊,并且剩下的rj0-ri0列元素全為零,所以B1=(J(λj0,ri0),0)。于是,由Yi0j0=(Iri0,0),有
注意到Ji0=J(λi0,ri0)且B1=(J(λj0,ri0),0),因此(Ji0,0)-B1=(J(λi0,ri0),0)-(J(λj0,ri0),0)=((λi0-λj0)Iri0,0)。再加上λi0-λj0=1且(Iri0,0)=Yi0j0,得到((λi0-λj0)Iri0,0)=Yi0j0,由此可見,等式Ji0Yi0j0-Yi0j0Jj0=Yi0j0成立。這就證實了上述斷言,即Y0是矩陣方程JY-YJ=J的一個非零解。
其次,假定對A的任意兩個特征值λi和λj,等式λi-λj=1都不成立(i,j=1,2,…,s)。為了便于書寫,把小矩陣Yij中的第k行第l列元素記作ykl(k=1,2,…,ri;l=1,2,…,rj),并把Yij的行數(shù)ri和列數(shù)rj分別記作p和q,那么矩陣方程JiYij-YijJj=Yij可以改寫成
上式等號左邊等于
考察等號兩邊第1行元素,不難看出,下列q個等式都成立:(λi-λj)y11-y11=y11,…,(λi-λj)y1,q-1-y1q=y1,q-1, (λi-λj)y1,q=y1,q。因為λi-λj≠1,由最后一個等式,有y1,q=0,從而由倒數(shù)第二個等式,得y1,q-1=0。如此依次往前推,Yij的第1行元素全為零,這樣一來,又可以推出Yij的第2行元素全為零。重復(fù)這種方法,最終可以推出,小矩陣Yij是零矩陣。這就證明了,矩陣方程JiYij-YijJj=Yij只有零解(i,j=1,2,…,s),因此矩陣方程JY-YJ=Y也只有零解。
綜上所述,矩陣方程JY-YJ=Y有非零解當(dāng)且僅當(dāng)存在A的兩個特征值,其差等于1。
例3設(shè)A是復(fù)數(shù)域上的一個3階方陣。如果A可對角化,那么DA的不動點空間的維數(shù)只能為0,1或2;如果A不可對角化,那么DA的不動點空間的維數(shù)只能為0或1。
事實上由于A是復(fù)數(shù)域上的3階方陣,它的特征值多項式的3個根都是特征值。這3個特征值中,有可能任意一對的差都不等于1,也有可能只有一對或者兩對的差等于1。由于ψ(3)=2,根據(jù)推論1,不可能有超過兩對的差等于1。根據(jù)命題4,如果A可對角化,那么DA的不動點空間的維數(shù)只能為0,1,或2。其次,如果A不可對角化,那么它的特征多項式的3個根不可能都是單根,所以A
由此可見y11=y23=y22=y33=y32=0,并且(λ-μ)y12-y13=y12,(λ-μ)y13=y13,(μ-λ)y21=y21,y21+(μ-λ)y31=y31。
現(xiàn)在,如果λ-μ=1,容易看出y13=y21=y31=0,所以只有y12是自由未知量,因此矩陣方程JY-YJ=Y的解為kE12,k∈C。如果μ-λ=1,同樣的方法可以求出,這個矩陣方程的解為kE31,k∈C。這就證明了,矩陣方程JY-YJ=Y的解空間的維數(shù)等于1。根據(jù)命題2和命題3,DA的不動點空間的維數(shù)也等于1。
[1]張禾瑞,郝鈵新.高等代數(shù)[M].4版.北京:高等教育出版社,1999.
[2]黃益生,黃真珠.冪零矩陣的一個等價條件[J].三明學(xué)院學(xué)報,2012,29(4):1-5.
Fixed Points of a Class of Linear Transformations on Space Mn(F)of Matrices
HUANG Yi-sheng,LUO Fei-lai
(School of Information Engineering,Sanming College,Sanming 365004 China)
In this paper,we discuss the fixed points of the linear transformation DA∶Mn(F)→Mn(F),X→AX-XA determined by a square matrices A with order n over a number field F.The main results are ai follews:(1)the set consisting of the whole fixed points of DAis a subspace of the Mn(F)of matrices,and every matrix in such a subspace is nilpotent;(2)if A is a diagonalizable matrix,the dimension if the subspace consisting of the fixed points of DAis not more than ψ(n)where n≥2,and ψ(n)=1/4(n2-1)if n is odd,and ψ(n)=1/4n2if n is even;(3)if m=p1q1+p2q2+…+psqsand p1+q1+p2+q2+…+ps+ qs≤n,there is a square matrix A with order n,such that the dimension of the subspace consisting of the fixed points of DAis equal to m,where p1,q1,p2,q2,…,ps,qsare positice integers;(4)if DAis a linear transformation on the space Mn(C)of matrices, DAhas nonzero fixed points if and only if there are two eigenvalues of A,whose difference is equal to 1,where n≥2,and C denotes the field of complex numbers.
linear transformation;fixed point;matrix equation;nilpotent matrix
O241.6
A
1673-4343(2013)06-0017-09
2013-08-20
福建省教育廳高等學(xué)校教學(xué)質(zhì)量工程資助項目(ZL0902/TZ(SJ))
黃益生,男,福建龍巖人,教授。研究方向:代數(shù)。