傅建紅

摘 要：函數(shù)值域問題是高中數(shù)學(xué)中的重要問題，但由于其方法眾多，學(xué)生往往難以理清頭緒，不知以何種方法作為思維的起點，本文探析此類問題的思維路線。

關(guān)鍵詞：函數(shù)值域；思維；路線

值域問題是函數(shù)中的重要內(nèi)容，其思想和應(yīng)用滲透于高中數(shù)學(xué)的各個章節(jié).然而由于基本初等函數(shù)的種類繁多，由其所構(gòu)造的復(fù)合函數(shù)更是“千姿百態(tài)”，這就使得函數(shù)值域問題的求法具有多樣性（比如配方法、分離常數(shù)法、判別式法、換元法、導(dǎo)數(shù)法、函數(shù)單調(diào)性法、圖象法等），而正是這種多樣性，導(dǎo)致了學(xué)生在面對具體問題時，方法上難以抉擇，思想上難以理清，不知以何種方法作為思維的起點？這里就涉及了求函數(shù)值域時的思維路線問題.細(xì)心的讀者也許會發(fā)現(xiàn)，這些方法其實可分兩類，一類只是針對某些特定函數(shù)時的特殊方法（如配方法、分離常數(shù)法、判別式法），而另一類是適合于所有函數(shù)的通法（如函數(shù)單調(diào)性法和圖象法）；至于換元法和導(dǎo)數(shù)法，筆者以為，它們只是求函數(shù)值域的必要手段和工具，其本身并不能單獨求出函數(shù)值域.那么，如何構(gòu)建函數(shù)值域問題的思維路線呢？

我們知道，單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，只要了解了一個函數(shù)的單調(diào)性，就可求出其值域.同樣，了解了一個函數(shù)的單調(diào)性，即可作出函數(shù)的大致圖象，由圖象法求其值域.因此，這兩種方法均可作為求函數(shù)值域的通法，只是對于單調(diào)函數(shù)來說，作圖已經(jīng)沒有必要，直接由單調(diào)性法求值域更為輕松，而對于非單調(diào)函數(shù)來說，雖然也可由單調(diào)性法解決，但圖象法往往更為簡單.因此，筆者認(rèn)為，可將判斷函數(shù)的單調(diào)性作為思維的起點，將作出函數(shù)的圖象作為思維的終點，而將換元法和導(dǎo)數(shù)法作為溝通起點或終點之間的“使者”，以此來構(gòu)建函數(shù)值域問題的思維路線.具體步驟為：首先判斷函數(shù)y=f（x）（x∈D）在D（可以是函數(shù)的定義域，也可以是定義域的某個子區(qū)間）上是否單調(diào)，若是，則用函數(shù)單調(diào)性法求解；若不是，對于基本初等函數(shù)或通過換元可轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，用圖象法解決，而對于無法通過換元轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，則先用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，然后再由圖象法求解.下面筆者先介紹有關(guān)方法，然后舉例佐證。

[?] 預(yù)備知識

1.函數(shù)單調(diào)性法求值域的依據(jù)

（1）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D=[a，b]（a

（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間D=[a，b]=[a，c]∪[c，b]（a

2.基本初等函數(shù)按單調(diào)性分類

透徹了解基本初等函數(shù)的單調(diào)性和圖象是運用函數(shù)單調(diào)性法和圖象法求值域的前提.筆者將基本初等函數(shù)按其連續(xù)性和單調(diào)性分為如下兩類：

（1）定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)：如一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）、無理根式函數(shù)y=、指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0且a≠1）、 對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0且a≠1）；

（2）定義域內(nèi)的不單調(diào)函數(shù)：①連續(xù)且不單調(diào)函數(shù)：如二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）、絕對值函數(shù)y=x、正弦函數(shù)y=sinx、余弦函數(shù)y=cosx；②不連續(xù)且不單調(diào)函數(shù)：如反比例函數(shù)y=（k≠0），正切函數(shù)y=tanx。

說明：定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)均為連續(xù)函數(shù)，定義域內(nèi)的不單調(diào)函數(shù)可能連續(xù)可能不連續(xù).特別指出，定義域內(nèi)的不單調(diào)函數(shù)在定義域的某個子區(qū)間上仍可能是單調(diào)函數(shù)，例如類反比例y=+b（k≠0）在不含有a的連續(xù)區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)；二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）在不含有-的連續(xù)區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)；絕對值函數(shù)y=x在不含有0的連續(xù)區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)等。

3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)

（1）函數(shù)y=f[g（x）]的單調(diào)性：“同增異減”，即f與g單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；f與g單調(diào)性相反，則復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).

（2）函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）的單調(diào)性：“同增為增，同減為減；一增一減，單調(diào)不定”，即f與g同為增（減）函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)為增（減）函數(shù)，f與g一個增函數(shù)一個減函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)單調(diào)性不能判定（可能是增函數(shù)，可能是減函數(shù)，也可能一部分增一部分減）。

4.圖象法求值域的依據(jù)和方法

由于函數(shù)y=f（x）（x∈D）的圖象可理解為動點M（x，f（x））（x∈D）的集合，因此，函數(shù)的值域即為當(dāng)自變量x遍取D內(nèi)每個數(shù)時，函數(shù)值f（x）的取值范圍，從圖象上看即為動點縱坐標(biāo)的取值范圍.因此，將函數(shù)圖象正投影到y(tǒng)軸上所得到的區(qū)間即為函數(shù)的值域。

[?] 舉例說明

例1 求函數(shù)f（x）=（x-1）2-+2在x∈（1，6]上的值域。

解：容易判斷函數(shù)y=（x-1）2、y= -以及y=2在x∈（1，6]上均為增函數(shù)，又f（1）=-7，f（6）=32，所以函數(shù)f（x）的值域為（-7，32]。

說明：按照思維路線，起點是判斷函數(shù)的單調(diào)性，而本題函數(shù)的單調(diào)性極易判斷，因此直接由單調(diào)性法即可輕松解決.特別指出，盡管y=（x-1）2及y= -在其自身定義域上并非單調(diào)函數(shù)，但在給定區(qū)間（1，6]上卻為單調(diào)函數(shù).本題的求解告訴我們，對于單調(diào)函數(shù)來說，單調(diào)性法是求值域的最簡單方法。

例2 求函數(shù)f（x）=分別在x∈[1，2]和x∈

上的值域。

解：函數(shù)可變形為f（x）==+，易知它在區(qū)間[1，2]、

均為減函數(shù)。又f（1）=2，f（2）=1，f（-1）=0，當(dāng)x→

說明：按照思維路線，先判斷單調(diào)性.但觀察發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的單調(diào)性不能直接判斷，因此須將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，看看變形之后的函?shù)是否單調(diào).本題中，分離常數(shù)之后即可輕松判斷單調(diào)性.本題的求解告訴我們，當(dāng)一個函數(shù)表面看不出單調(diào)性時（并不意味著函數(shù)一定不單調(diào)），則應(yīng)將函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，以暴露其單調(diào)性.特別指出，運用單調(diào)性法求分式函數(shù)值域時，常會用到如下性質(zhì)：=0（k為常數(shù)），=+∞、= -∞（c為正常數(shù)），其中的0+和0-分別表示在數(shù)軸上從0的右側(cè)和左側(cè)無窮趨向于0的實數(shù)，它們像∞一樣只代表一種趨勢，并非確定的實數(shù)，因此其值域的邊界均無法取到。

例3 求函數(shù)y=在x∈[3，18）上的值域。

解：函數(shù)可變形為y==7-+。令t=，則y=t2-t+7。易知函數(shù)t=在x∈[3，18）上為減函數(shù)，所以t∈

上不是單調(diào)函數(shù)，此時由拋物線圖象可知，當(dāng)t=時，ymin=；當(dāng)t=1時，ymax=7，所以函數(shù)的值域為

說明：本題的關(guān)鍵是變形和換元，對分式函數(shù)來說，分離常數(shù)是常用的變形手段.變形的目的是為了換元，而換元的目的是將復(fù)合函數(shù)轉(zhuǎn)化為初等函數(shù)（二次函數(shù)），然后通過圖象法加以解決.另外，本題換元后也可用單調(diào)性法求解：設(shè).本題的求解告訴我們，當(dāng)一個函數(shù)較為復(fù)雜時，常用換元法將其分解為幾個初等函數(shù)，然后用單調(diào)性法或圖象法各個擊破。

解一：函數(shù)可變形為y=，令t=sinx+cosx，則sinx·cosx=，故原函數(shù)可轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)y=g（t）=。在t=sinx+cosx=sin

中，再設(shè)m=x+，則t=sinm.又m是關(guān)于x的增函數(shù)，由x∈

，從而由t=sinm的圖象可知t∈（1，]（對不單調(diào)的初等函數(shù)來說，圖象法比單調(diào)性法更簡單）.將g（t）=的分子分母同除以t得g（t）=，至此可以判斷g（t）在t∈（1，]上為減函數(shù).又g（1）===+∞，g（）==2，故函數(shù)的值域為解二：求導(dǎo)并整理得y′=，易知當(dāng)x∈

說明：本題的解答告訴我們，在函數(shù)單調(diào)性難以判斷的情況下，換元和求導(dǎo)發(fā)揮了至關(guān)重要的作用，它們像是通往函數(shù)單調(diào)途中的橋梁，起到了很好的溝通效果.解法一中，通過換元，使得單調(diào)性不明朗的函數(shù)變得明朗；解法二中，通過求導(dǎo)，同樣確定了函數(shù)的單調(diào)性，從而為用圖象法求解鋪平道路。

綜上分析可知，以此思維路線，即可將函數(shù)值域問題依次納入先判斷單調(diào)性，后作函數(shù)圖象的軌道，從而有效地降低了思維的難度.但是判斷一個函數(shù)的單調(diào)性有時也并不輕松，尤其是在函數(shù)復(fù)雜、求導(dǎo)不易的情況下，此時變形和換元就像是一套“組合拳”，它們在通往函數(shù)單調(diào)性的途中功不可沒。