摘 要：隨著新課改的深入，探究性命題正逐漸被高考命題者所青睞，而且往往作為壓軸性試題出現(xiàn). 作為一線教師，對探究性命題的教學顯得尤其重要，筆者以“探—拓—變”的方式對探究性命題的教學作以下嘗試.

關鍵詞：探究；拓展；變式

隨著新課改的深入，探究性命題正逐漸被高考命題者所青睞，而且往往作為壓軸性試題出現(xiàn). 作為一線教師，對探究性命題的教學則顯得尤其重要，筆者從“探—拓—變”的方式對探究性命題的教學作以下嘗試，供參閱.

引例：已知橢圓方程為x2+2y2=1，設A為橢圓長軸的左端點，過A作互相垂直的兩直線AB，AC分別交橢圓與B，C兩點，則直線BC是否過定點？若過定點，求出定點；不過定點，則說明理由.

[O][x][y][C][A][B]

[?] 策略探究

探究1：從特殊做起，歸納、猜想、證明

解析：取直線AC的斜率為1，則直線AB的斜率為-1，求出直線BC方程：x= -，再取直線AC斜率為2，則直線AB斜率為-，求出直線BC方程：y= -x-，得兩直線交點為

，猜測直線BC恒過

. 下面證明過

的直線交橢圓B，C兩點，恒有AB⊥AC.

代入韋達定理可得kABkAC=-1，則AB⊥AC，得證.

探究2：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化

解析：由圖形的對稱性可知，若過定點，則此定點必在x軸上，問題轉(zhuǎn)化為過x軸上一定點的直線交橢圓于B，C兩點，恒有AB⊥AC. 設定點為（m，0）， B（x1，y1），C（x2，y2），直線BC的方程為y=k（x-m），聯(lián)立x2+2y2=1，消去y，得（2k2+1）x2-4k2mx+2k2m2-1=0，得x1+x2

探究3：題后反思，優(yōu)化解答

解析：設B（x1，y1），C（x2，y2），設BC的方程為x=my+t，由x=my+t，

評注：英國數(shù)學家休厄爾有句名言：“若無某種大膽的猜測，一般是作不出知識的進展.” 探究性命題從特殊做起，歸納、猜想、證明是較常用的方法，數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想也是解決問題的重要手段，問題的解決更需要題后反思，優(yōu)化策略，從而為我們今后碰到類似問題不再束手無策做好準備.

[?] 命題拓展

由以上策略探究過程中的kAB·kAC= -1，得以下拓展：

拓展1：已知橢圓方程為x2+2y2=1，設A為橢圓長軸的左端點，過A作兩直線AB，AC分別交橢圓與B，C兩點，直線AB，AC的斜率乘積為1，則直線BC是否過定點？若過定點，求出定點；若不過定點，則說明理由. （類似探究3可得定點（-3，0））

拓展2：已知橢圓方程為x2+2y2=1，設A為橢圓長軸的左端點，過A作兩直線AB，AC分別交橢圓與B，C兩點，直線AB，AC的斜率乘積為p

p≠

，則直線BC是否過定點？若過定點，求出定點；若不過定點，則說明理由. （類似探究3可得定點

）.

拓展3：已知圓錐曲線方程，設A為圓錐曲線上一定點，過A作直線AB，AC分別交圓錐曲線與B，C兩點，直線AB，AC的斜率乘積為某一常數(shù)，一般情況下，直線BC過定點. （證略）

[?] 變式應用

變式1：已知橢圓方程為x2+2y2=1，設A為橢圓長軸的左端點，過A作互相垂直的兩直線AB，AC分別交橢圓與B，C兩點，過A作AD⊥BC，垂足為D，試求點D的軌跡方程. （提示：BC過定點P

， 又AD⊥BC，故點D在以AP為直徑的圓上（去掉點A）， 故點D的軌跡方程為

變式2：已知A（-2，0）是橢圓C：+=1（a>b>0）與圓F：（x-c）2+y2=9的一個交點，且圓心F是橢圓的一個焦點. （1）求橢圓C的方程；（2）過F的直線交圓于P，Q兩點，連結(jié)AP，AQ，分別交橢圓于M，N兩點，試問直線MN是否過定點？若過定點，請說明理由. （提示：第2小題數(shù)形結(jié)合可看出，實質(zhì)與引例類似，可得過

變式3：已知定點M（x0，y0）在拋物線m：y2=2px（p>0）上，動點A，B∈m且·=0. 求證：弦AB必過一定點. （提示：類似引例探究，可得定點為（x0+2p，-y0））

變式4：已知橢圓+=1（a>b>0）的離心率為，且有一個頂點的坐標為（0，1）. （1）求該橢圓的方程；（2）如圖，過點P

的直線l交橢圓于A，B兩點，是否存在定點Q，使以AB為直徑的圓恒過這個定點？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由. （提示：第2小題考查的實質(zhì)是先探后證的思想，可得定點（0，1））

[O][x][y][P][A][B]

變式5：（2012福建省高考）橢圓E：+=1（a>b>0）的左焦點為F1，右焦點為F2，離心率e=. 過F1的直線交橢圓于A，B兩點，且△ABF2的周長為8. （1）求橢圓E的方程；（2）設動直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P，且與直線x=4相交于點Q. 試探究：在坐標平面內(nèi)是否存在定點M，使得以PQ為直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由. （提示：第2小題也可類比探究一、探究二的思想方法可得M（1，0））

筆者感悟：隨著第一輪課改的深入，高考數(shù)學卷在考查學生雙基的同時，多處滲透著探究性學習的思維模式.特別是探究性學習必備的思想（歸納、猜想，等價轉(zhuǎn)化，特值探究，分類討論，數(shù)形結(jié)合）在壓軸性試題探究中頻頻出現(xiàn)，相信此類試題也是今后高考數(shù)學命題的一種必然趨勢. 新一輪的課改又開始了，作為一線教師，在課堂上多關注探究性命題的“探究性教學”是當務之急；作為學生，對“探——拓——變”思維做一定的訓練是必須的.