馬兆金

摘 要：本文從教育心理學(xué)“前科學(xué)概念”及其與學(xué)習(xí)新知的關(guān)系的角度，指出學(xué)習(xí)“幾何概型”遇到的思維障礙，重點(diǎn)剖析一道近年高中數(shù)學(xué)涉及物理過(guò)程的“幾何概型”問(wèn)題，概括指出“幾何概型”教學(xué)中要注意的關(guān)鍵事項(xiàng)。

關(guān)鍵詞：幾何概型；前科學(xué)概念；概率；事件集合；幾何變量

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，“概率統(tǒng)計(jì)”是值得關(guān)注的必學(xué)內(nèi)容。 它不僅是升學(xué)考試的必考內(nèi)容，更是當(dāng)代社會(huì)公民素養(yǎng)必不可少的內(nèi)容。 從生活中的柴米油鹽，到交通旅游，再到普通工業(yè)農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、金融衛(wèi)生、高尖科技等各方面，“概率統(tǒng)計(jì)”的知識(shí)方法無(wú)處不在，運(yùn)用“概率統(tǒng)計(jì)”的數(shù)學(xué)思想解決的問(wèn)題比比皆是。

現(xiàn)階段高中數(shù)學(xué)“概率統(tǒng)計(jì)”部分的教學(xué)，古典概型、幾何概型兩類概型的分析與運(yùn)用是學(xué)生頗感有難度的內(nèi)容之一。 其中，幾何概型貌似簡(jiǎn)單，其實(shí)學(xué)生解決問(wèn)題時(shí)很容易誤判，比如下例：

例1 如圖1，邊長(zhǎng)的正方形ABCD的頂點(diǎn)A與坐標(biāo)原點(diǎn)O恰重合，AB，AD恰與x軸、y軸重合。 直線OP繞O點(diǎn)以 rad/s的角速度從與x軸重合位置逆時(shí)針開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，至與y軸重合后，立即以同樣大小的角速度順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)至與x軸重合的位置，再重新逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)…，直線OP交對(duì)角線BD于點(diǎn)K，正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為Q，==，試求轉(zhuǎn)動(dòng)中K點(diǎn)位于MN之間的概率。

筆者發(fā)現(xiàn)，一道貌似簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，課堂教學(xué)中竟讓眾多數(shù)學(xué)高手“翻船”，學(xué)生所得解答往往是：K點(diǎn)只能在BD之間來(lái)回運(yùn)動(dòng)，而所求概率事件中K點(diǎn)對(duì)應(yīng)的位置范圍是=，所以概率是。 然而，這道題的正確答案卻是。

事實(shí)上，許多“幾何概型”問(wèn)題，學(xué)習(xí)狀況中等的學(xué)生極易做錯(cuò)。 為何“幾何概型”問(wèn)題學(xué)生極易誤判導(dǎo)致出錯(cuò)？筆者認(rèn)為需要對(duì)此進(jìn)行教學(xué)剖析。

從教育心理學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)概念習(xí)得有一個(gè)“前科學(xué)概念”的階段。 高中數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)也是如此。 學(xué)生對(duì)“概率”與“事件”早在童年時(shí)已有模糊認(rèn)識(shí)，自發(fā)觀察生活中大量現(xiàn)象，對(duì)事件“分類”、“統(tǒng)計(jì)”，自發(fā)歸納，隨著年齡增長(zhǎng)，對(duì)“同一事件”或 “同類事件”的出現(xiàn)頻率逐漸有較為精細(xì)的體驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生對(duì)生活事件發(fā)生的可能性大小的自發(fā)的經(jīng)驗(yàn)式預(yù)估、驗(yàn)證，產(chǎn)生對(duì)“統(tǒng)計(jì)與概率”早期的模糊認(rèn)識(shí)，在知識(shí)系統(tǒng)中產(chǎn)生“概率”的前科學(xué)概念。 前科學(xué)概念對(duì)學(xué)習(xí)有一定影響，雖然在新知學(xué)習(xí)的引入過(guò)程中，有時(shí)前科學(xué)概念有好的心理定向誘導(dǎo)作用，但在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，絕大多數(shù)前科學(xué)概念其實(shí)會(huì)產(chǎn)生一定的學(xué)習(xí)障礙。 因?yàn)閿?shù)學(xué)來(lái)自于生活與生產(chǎn)實(shí)踐，但經(jīng)哲學(xué)意義上的理性思維的抽象，更專注于本質(zhì)的歸納、本質(zhì)關(guān)系的推究與論證，具體事物一經(jīng)抽象為科學(xué)概念，不再局限在狹隘經(jīng)驗(yàn)范圍，新概念必在內(nèi)涵、外延上突破原有經(jīng)驗(yàn)。 早期對(duì)“概率”與“事件”的認(rèn)識(shí)中，學(xué)生能夠領(lǐng)悟或作出思維反應(yīng)的過(guò)程一般是自然發(fā)生的離散過(guò)程，涉及的數(shù)學(xué)變量是離散的小范圍、小數(shù)值數(shù)學(xué)變量，過(guò)程往往反復(fù)發(fā)生，且數(shù)學(xué)變量能直觀感知，如個(gè)數(shù)、天數(shù)、次數(shù)等。 在其后的過(guò)程，包括高中數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生首先學(xué)習(xí)且也先習(xí)慣的是離散變量統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題。 如“古典概型”，涉及變量一般離散，“事件集合”基數(shù)有限，“事件”可能性有限可數(shù)，分類過(guò)程簡(jiǎn)單，可用組合學(xué)的公式和原理進(jìn)行計(jì)算，并且計(jì)算結(jié)果有時(shí)可直觀檢驗(yàn)。 “古典概型”屬于能與學(xué)習(xí)者已有學(xué)習(xí)經(jīng)歷密切聯(lián)系的新知，大多數(shù)學(xué)生能很好理解“古典概型”，并能運(yùn)用其解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。 但從高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀看，學(xué)習(xí)“古典概型”時(shí)處理離散型變量的經(jīng)驗(yàn)，雖為導(dǎo)入“幾何概型”的學(xué)習(xí)創(chuàng)造數(shù)學(xué)教學(xué)的學(xué)科背景，但由于處理的數(shù)學(xué)對(duì)象不同，也會(huì)給連續(xù)型變量的學(xué)習(xí)形成不利心理定式，即使“幾何概型”是最簡(jiǎn)單的連續(xù)型變量的統(tǒng)計(jì)與概率問(wèn)題。 因此，相當(dāng)多的高中學(xué)生學(xué)習(xí)“幾何概型”時(shí)有著明顯的思維障礙。

首先，處理的變量由離散型過(guò)渡為連續(xù)型。 “幾何概型”有兩顯著特點(diǎn)：一是某一次試驗(yàn)中，事件可能性具有無(wú)限性，而其基本事件集基數(shù)無(wú)限；二是每一基本事件發(fā)生的可能性均等，事件之間具有等可能性。 學(xué)生學(xué)習(xí)“幾何概型”的過(guò)程中，通過(guò)課堂學(xué)習(xí)，能知道“幾何概型”，但理解幾何概型的數(shù)學(xué)意義，并進(jìn)而運(yùn)用幾何概型的思想方法解決問(wèn)題則存在困難。 在每一個(gè)涉及“幾何概型”的問(wèn)題中，學(xué)生要面臨一系列的問(wèn)題：“基本事件”是問(wèn)題中的哪個(gè)事件？與“基本事件的集合” 對(duì)應(yīng)的幾何變量是哪些變量？事件發(fā)生的概率與構(gòu)成該“事件集合”中的事件對(duì)應(yīng)的幾何變量，如長(zhǎng)度、面積或體積等幾何量，兩者之間有何種確定的數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)關(guān)系？這種數(shù)量關(guān)系往往不像古典概型那樣可以進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)，而且絕大多數(shù)幾何變量（如長(zhǎng)度、質(zhì)量、面積等）是連續(xù)型變量，有時(shí)需聯(lián)系問(wèn)題實(shí)際背景，綜合運(yùn)用所學(xué)的基本函數(shù)知識(shí)、平面與立體幾何關(guān)系、不等式、數(shù)列、方程和解析幾何的知識(shí)方法。由離散變?yōu)檫B續(xù)，固然是認(rèn)識(shí)的一大飛躍，但由此帶來(lái)的知識(shí)綜合性與方法運(yùn)用復(fù)雜性也形成學(xué)生學(xué)習(xí)中的思維障礙。

其次，長(zhǎng)期生活和學(xué)習(xí)中，處理連續(xù)型變量問(wèn)題，學(xué)生最習(xí)慣的相關(guān)關(guān)系是正比例關(guān)系。 學(xué)習(xí)古典概型時(shí)他們發(fā)現(xiàn)，事件發(fā)生的概率正比于頻率。 在處理相當(dāng)多的“幾何概型”問(wèn)題中，往往因抓不住事件發(fā)生過(guò)程中的帶根本性的核心變量，有時(shí)簡(jiǎn)單認(rèn)為，某事件發(fā)生的概率與“該事件集合”對(duì)應(yīng)的任一幾何變量值取值的區(qū)間長(zhǎng)度都成正比。 例1列舉的那道常見(jiàn)易錯(cuò)題中，伴隨著直線OP的旋轉(zhuǎn)，會(huì)引起一系列幾何量的改變，比如點(diǎn)K的位置變化，向量，，等的位置變化，這些量的變化其實(shí)是直觀的，引起這些幾何量變化的根源是直線本身的轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，直線的轉(zhuǎn)速才是核心的量。 轉(zhuǎn)速的大小決定了確定的時(shí)刻直線所處的具體位置、確定時(shí)刻K點(diǎn)的位置。 所以K點(diǎn)位置的變化范圍及其對(duì)應(yīng)的幾何量其實(shí)應(yīng)該轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)階段的時(shí)段的時(shí)長(zhǎng)。K點(diǎn)位置對(duì)應(yīng)的幾何量選擇OP與x軸的夾角就十分方便，位置的變化范圍對(duì)應(yīng)角度的變化范圍，位置的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)動(dòng)角度的概率問(wèn)題，因?yàn)橹本€OP勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度的概率隨時(shí)間等概率分布，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為涉及時(shí)間的等概率分布問(wèn)題。 用一句話說(shuō)，就是相等時(shí)間必然轉(zhuǎn)過(guò)相等的角度，直線在相等角度里也即相等時(shí)間段里出現(xiàn)的概率相等。 由正方形ABCD邊長(zhǎng)為，==，不難求出∠MOQ=30°，∠MON=60°，而∠BOD=90°，所以K點(diǎn)位于MN之間的概率為=。

值得關(guān)注的是，近年高中數(shù)學(xué)涉及物理過(guò)程的“幾何概型”問(wèn)題越來(lái)越多，學(xué)生感到有一定難度，往往因?yàn)閱?wèn)題涉及的某些變量的取值區(qū)間長(zhǎng)度并不與事件的概率成正比，而學(xué)生往往誤用，比如下面一道題：

例2 如圖2，點(diǎn)S處有一光源向四周發(fā)光，點(diǎn)E位置與點(diǎn)S位置關(guān)于過(guò)A點(diǎn)的直線AD對(duì)稱，小球P從A點(diǎn)出發(fā)沿直線在點(diǎn)D和點(diǎn)A之間來(lái)回往復(fù)做勻速運(yùn)動(dòng)，P在A點(diǎn)時(shí)投下的影子在E點(diǎn)，P在B點(diǎn)時(shí)投下的影子在F點(diǎn)，P在C點(diǎn)時(shí)投下的影子在G點(diǎn)，P在D點(diǎn)時(shí)投下的影子H恰在D點(diǎn)，∠PHE=∠SEH=∠SBA=60°，∠SFH=90°，∠SGE=75°，∠SDA=30°，試求P的影子出現(xiàn)在FG之間的概率。

這道題中關(guān)鍵條件是“勻速運(yùn)動(dòng)”，而P在AD之間的勻速運(yùn)動(dòng)并不導(dǎo)致影子在EH上勻速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)檫@是一個(gè)中心投影而非平行投影。 “P的影子出現(xiàn)在FG”這樣一個(gè)事件相當(dāng)于“在EH之間取一個(gè)區(qū)間”，而在EH之間取一個(gè)區(qū)間，長(zhǎng)度與概率不成正比，因此，不能用在EH之間的幾何線度作為概率的測(cè)度。 但是，“P在D，A之間來(lái)回往復(fù)的勻速運(yùn)動(dòng)”導(dǎo)致可以很方便地取在AD之間的幾何線度作為概率的測(cè)度，這時(shí)AD之間的幾何線度與P出現(xiàn)的區(qū)間的概率成正比。 由題中已知條件不難求出：∠SCA= 45°，設(shè)SA=h，AD=，BC=-，“P的影子出現(xiàn)在FG之間”的概率也即“P出現(xiàn)在BC之間”的概率，為=。

總之，學(xué)習(xí)“幾何概型”，一定要在教學(xué)中讓學(xué)生領(lǐng)悟到“等概率的基本事件”在研究的問(wèn)題中究竟是哪個(gè)事件，它與題中要求概率的那個(gè)事件之間有什么關(guān)系，此時(shí)概率究竟跟哪個(gè)幾何量成正比，這是正確解決“幾何概型”問(wèn)題一定要注意的關(guān)鍵。