季畫 李素玲 邢雪寧

摘要：本文將MATLAB仿真軟件應用于《自動控制原理》課程根軌跡分析法的教學過程中，通過軟件仿真驗證得到結論：增加位置適當?shù)拈_環(huán)零點，能夠顯著增加控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。為實際工程設計中根軌跡法校正提供了理論依據(jù)。

關鍵詞：自動控制原理；根軌跡分析法；MATLAB；開環(huán)零點

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2013）52-0116-02

自動控制原理是電氣自動化、機械工程等專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎課，同時也是各高校相關專業(yè)研究生考試的專業(yè)課之一。該課程主要研究自動控制系統(tǒng)的一般規(guī)律，要求學生掌握兩方面的任務：控制系統(tǒng)分析和控制系統(tǒng)設計?？刂葡到y(tǒng)分析是在建立系統(tǒng)數(shù)學模型的基礎上，利用各種系統(tǒng)分析方法得到系統(tǒng)的運動規(guī)律及運動性能，包括定性分析和定量計算?？刂葡到y(tǒng)設計就是要尋找一個能夠實現(xiàn)所要求性能的控制系統(tǒng)。其中，控制系統(tǒng)的三大分析方法：時域分析法、根軌跡分析法和頻域分析法貫穿于整個自動控制原理的教學當中。課程內(nèi)容具有較強的理論性和抽象性，同時涉及到的數(shù)學知識較多，計算繁雜，使學生學習時難于理解，容易產(chǎn)生厭學情緒。目前最流行的MTALAB仿真軟件可以方便地完成控制系統(tǒng)建模、系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設計中各種復雜的數(shù)學計算，實現(xiàn)控制系統(tǒng)的仿真運行。因此，我們將其引入到課堂教學過程中，通過實際控制工程案例的MATLAB仿真，大大激發(fā)了學生學習的興趣，從而提高了自動控制原理的課堂教學質(zhì)量。作為三大分析方法之一的根軌跡分析法是分析和設計線性定常控制系統(tǒng)的圖解方法，在控制工程中得到了廣泛的應用?？刂葡到y(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點決定了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時系統(tǒng)的瞬態(tài)響應的基本特征也是由閉環(huán)極點起主導作用。根軌跡法根據(jù)反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與其閉環(huán)特征方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出了一種簡單實用的求取閉環(huán)特征根的圖解方法：即已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，當其中某一個參數(shù)進行變化時，繪制閉環(huán)極點在復平面上所走過的軌跡。根據(jù)繪制根軌跡的八條基本法則，我們能很容易的繪制出系統(tǒng)相應的根軌跡圖，這是進行根軌跡分析的前提條件，要求根軌跡圖的繪制必須要準確無誤。接下來的工作就是通過根軌跡法來分析系統(tǒng)的性能。我們知道，在經(jīng)典控制理論中，控制系統(tǒng)的性能，即控制系統(tǒng)設計的重要評價取決于系統(tǒng)的階躍響應?？刂葡到y(tǒng)閉環(huán)極點的分布決定著階躍響應的類型，而閉環(huán)零點的分布影響著階躍響應的形狀。因此根軌跡分析法首先進行的是閉環(huán)零、極點分布與階躍響應的定性分析。同時，由根軌跡的繪制法則可知，系統(tǒng)根軌跡的形狀、位置完全取決于系統(tǒng)的開環(huán)零、極點的分布。因此可通過增加開環(huán)零、極點的方法來改造根軌跡。本文主要借助于MATLAB仿真軟件，通過增加控制系統(tǒng)開環(huán)零點的方法來分析其對根軌跡及系統(tǒng)性能的影響。使用MATLAB的根軌跡繪圖函數(shù)rlocus，不僅可以使控制系統(tǒng)的根軌跡作圖清楚準確，而且非常方便。

例1：一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk（s）■。

繪制常規(guī)根軌跡如圖1（a）所示。此時系統(tǒng)起始于坐標原點的兩條根軌跡始終位于右半S平面，原系統(tǒng)不穩(wěn)定。

分別增加開環(huán)零點z=-2、z=-0.5和z=0，增加的開環(huán)零點從負實軸方向依次向坐標原點靠近，相應的根軌跡如圖1（b）、（c）、（d）所示。從圖中可以看出，增加開環(huán)零點，改變了實軸上根軌跡的分布，使根軌跡的走向向左偏移，提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，而且所增加的零點越靠近原點，這種作用越大。

由于控制系統(tǒng)的動態(tài)性能取決于系統(tǒng)的階躍響應，因此使用MATLAB繪制系統(tǒng)單位階躍響應函數(shù)step繪制出（c）和（d）兩種穩(wěn)定情況下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，如圖2所示。

從圖2中可以看出，增加開環(huán)零點，能夠改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。而且，（d）系統(tǒng)與（c）系統(tǒng)相比，明顯調(diào)節(jié)時間減小，超調(diào)量降低。因此，文獻[1]中指出，增加系統(tǒng)開環(huán)零點對改善系統(tǒng)動態(tài)性能的作用隨著其本身接近坐標原點的程度而加強。但筆者認為此結論適合例1系統(tǒng)，但不能推廣到任意系統(tǒng)中。為了進行驗證，再看一個實例。

例2：一單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk（s）■，分別增加開環(huán)零點：z=-3、z=-1.5和z=-0.5，用MATLAB繪制出四種情況下系統(tǒng)的根軌跡圖如圖3所示。

從圖3中可以看出增加開環(huán)零點提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，從原來條件穩(wěn)定的系統(tǒng)改善為完全穩(wěn)定的系統(tǒng)，而且所增加的零點越靠近原點，這種作用越大。此結論與例1得出的結論一致。使用MATLAB/simulink得到（b）、（c）、（d）三種穩(wěn)定情況下系統(tǒng)的單位階躍響應曲線，如圖4所示。從圖中可以看出，（c）系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間最短，超調(diào)量最小，因此動態(tài)性能最優(yōu)，但對應的所增加的開環(huán)零點卻不是離原點最近的情況。

因此，通過MATLAB仿真軟件的驗證，我們可以得出這樣的結論：只要增加位置適當?shù)拈_環(huán)零點，就能使閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能得到顯著的增加。此結論為實際工程設計中如何合理地設計校正裝置，使系統(tǒng)的性能能夠滿足技術上的要求提供了理論依據(jù)。

參考文獻：

[1]胡壽松.自動控制原理[M].第四版.北京：科學出版社，2001.

[2]李素玲，胡建，王敏.自動控制原理[M].西安：西安電子科技大學出版社，2005.

[3]孫亮.MATLAB語言與控制系統(tǒng)仿真[M].北京：北京工業(yè)大學出版社，2006.

[4]薛定宇.控制系統(tǒng)計算機輔助設計—MATLAB語言與應用[M].北京：清華大學出版社，2006.

作者簡介：季畫（1977-），山東青島人，講師，從事自動化方面的研究與教學工作。