周小青

《數學課程標準》（2011年版）課程總目標圍繞關鍵詞“問題”，在原來分析問題和解決問題的基礎上，增加了發(fā)現問題和提出問題的能力。這就要求教師更加重視學生的問題意識培養(yǎng)，在教學中讓學生經歷問題解決的過程，體驗解決問題策略的多樣性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，不斷提高解決問題的能力。我以下面一道題為例談談此方面自己的體會。

一、問題描述

在一次畢業(yè)班考試題中有道題：“圖書館共進兩批書。第一批圖書本數比第二批多10%，如果從第一批拿80本到第二批，這時第一批本數與第二批本數之比是3∶4，圖書館這兩批圖書共進了多少本？”學生的解題錯誤率高，出現了各種各樣的錯誤解法：

（1）解：設第二批圖書進了x本。

x+10%x-+80=

（2）1.1x-+80=

（3）80×3+2=242（本） 80×2+60=220（本）

242+220=462（本）

（4）80÷（-）=500（本）

（5）解：設第二批為x本。

80÷10%=800（本）

800：x=3：4

3x=4×800

x=3200÷3

x=1066

（6）80÷（4-3）×4=320（本） 80÷（4-3）×3=240（本）

320+240=560（本）

這些錯誤解法的背后暴露了學生在遇到綜合性問題時存在的障礙，即學生無法理清數量間的關系，即使認真閱讀題目后還是無從下手；也暴露了教師在教學中存在的問題，即教師習慣就題講題，指導時不夠重視學生審題、解題方法指導及自我反思能力的培養(yǎng)，學生解題思路較為單一，喜歡套用公式機械地解答，看不到條件與問題間最本質的聯系，對于條件間的聯系不能靈活進行轉化。

二、原因何在

此題綜合性強、表達方式與平時不太相同，需要學生具備較強的發(fā)現問題和解決問題的能力。當學生在審題時，數學問題與自己的圖式知識相匹配時，也就是自己所熟悉的題目，學生能很快借助已有知識結構進行解答；當數學問題與自己的圖式不相匹配時，學生解題就發(fā)生了困難，往往束手無策，無從下手。需要學生對已有解題思路進行調整，這一過程中學生的分析問題與解決問題的能力影響了學生是否順利完成結構的重組。一般對學生造成解題的障礙主要有：隱藏條件、條件與問題之間的關系較為復雜、多余條件的干擾、題目表述方式的改變、條件中過多無用信息的干擾，學生無法準確找到有用的信息等。

此題學生無法理清數量間的關系、認真閱讀題目后還是無從下手。具體表現在：

（1）數量關系復雜，學生無法簡單地用第一批圖書數量加第二批圖書數量求出圖書總數；無法簡單地從兩批圖書數量的關系中找到兩批圖書的數量；關系結構不是學生熟悉的表達方式，給學生的解答帶來了困難：想用方程解答，找不到相等關系；想用“比”來解答，不知道第一批和第二批的數量如何表示；想用算術解，找不到相對應的關系。

（2）不知該設什么為單位“1”。此題中設不變量為單位“1”較為簡單，而平時老師教學中不是讓學生根據題目中的具體情況找到單位“1”，而是機械性地歸納為在含有分數或百分數的句子中找、比字后面的那個量看做單位“1”設為x，第一批圖書本數比第二批多10%，把第二批看做單位“1”，而又難以找到數量間的關系。

（3）不知該從何下手進行解答。在分數解決問題中，學生喜歡套用從題中給的具體數量入手，找到相應的分數，單位“1”的量是已知的，用乘法列式；單位“1”的量未知的就是用除法或方程；對于數量關系簡單的題目學生能快速解答，而此題中數量關系較為復雜，學生一下子找不到數量之間的關系，更不知從何下手。

三、解決對策

基于以上的問題與分析，我認為在小學數學解決問題的教學過程中，要重視學生分析問題、解決問題時的方法指導。

1.尋找解題的突破口

（1）重視關鍵句，幫助學生理解題意。在學生找不到方法時，再把關鍵句讀一遍，關鍵句往往是解題的突破口。比如此題中的圖書館共進兩批書，對第一批圖書本數比第二批多10%、第一批本數與第二批本數之比是3∶4進行重點思考，找到第一批、第二批、總數之間的聯系，進而找到第一批（或第二批）變化前后之間的聯系。

（2）重視畫圖，幫助理清數量關系。畫線段圖是最常用、實用的方法。利用畫圖，可化抽象為具體，化難為易，幫助學生逐步形成數形結合思想。比如，此題通過線段圖能把第一批、第二批及總數之間的關系較好地顯示出來。

（3）題目分解，找準切入點。從條件入手，分解成幾道簡單的題目，從而找到問題與條件之間的關系。解決問題中，往往是由幾個知識點組成的綜合題目，解題時可以還原成簡單題目。比如：

第一，從圖書館共進兩批書，判斷不變量為總數，第一批圖書本數比第二批多10%，學生找到單位“1”為總數，第一批、第二批各用了總數的幾分之幾。

第二，這時第一批本數與第二批本數之比是3∶4，由比轉化為分數。

第三，再把前后兩者的變化與“如果從第一批拿80本到第二批”聯系起來，學生抓住知識間的關系，很快就找到了解題思路。教師要有意識地在幾個知識點的聯系處進行點撥，幫助學生找到相關知識聯結點。

（4）進行聯想，轉化解題方向。數學解題的思維過程實質上是已知和未知之間一系列的聯想過程。上題中由購進兩批圖書，聯想到：第一，不管圖書怎么放，總數不變，可設不變量為單位“1”，這也是解題的關鍵。第二，由第一批比第二批多10%聯想到第一批與第二批的比是11：10，進而得出第一批、第二批各占了總數的、。同理，變化后第一批與第二批的比是3∶4，想到第一批、第二批各占總數的、。第三，由第一批原來占總數的變成現在占總數的（或第二批為原來的變?yōu)楝F在占總數的），與第一批拿80本給第二批聯系起來，找到相對應的關系。

總之，此題可以利用聯想找到分數、比之間的關系并進行轉化。

2.教師重視平時的對比教學，在教學中培養(yǎng)思維靈活性

教師在平時的教學中，要充分預設學生在解題中的困難及點撥的方式，特別是練習或講評時要能加強對比練習，講評時不能就題講題，應在比較中突出本質。比如一套課桌180 元，桌子比椅子貴，桌子和椅子單價各是多少錢？學生用了各種解法：方程解、算術解、轉化成比的應用。講評完后可進行比較歸納：此題有什么特點？三種方法的解題思路是怎么找到的？這樣學生就能把關注點再次落在關鍵句上：桌子比椅子貴，可轉化為桌子和椅子的比是5：4；桌子價格與椅子價格分別占了一套桌椅價格的、。此外，教師還可再問：在不改變桌子和椅子的價格關系時，這句關鍵句還可怎么改？這樣的一道題借助發(fā)現問題與提出問題兩個抓手幫助學生抓住本質，加強知識間的聯系，達到一題多練，拓展了學生的思路，培養(yǎng)了學生思維的靈活性。

3.重視進行多種方式的基本訓練

在解題時，數學審題的過程就是弄清楚數學問題的已知條件，這些條件之間有什么樣的聯系，運用數學語言替換文字信息，以及數學題目中的字、詞、句、數學符號、圖表等信息本身的含義和隱藏的含義，所需解答的問題能用數學語言將其表達出來。審題的過程是學生把文本翻譯成數學符號為主的語言。解題過程是一個綜合的思維過程，教師對于題中的重點問題可設計有針對性的訓練?？稍O計如下訓練：

（1）說的訓練，提高解讀能力。數學解題實際上就是數學語言的轉化過程，教師可進行單方面的練習。比如行程問題、分數問題等，通過所出示的圖或表，讓學生說出題意，幫助學生看清數量間的本質聯系，增強表象。

（2）建立數學模型，獲得數學基本思想。2011年版課標提出使學生獲得數學思想是數學課程的重要目標。教學中要抓住本質，逐步幫助學生建立起數學模型，獲得數學基本思想。比如簡化的思想、方程的思想、優(yōu)化的思想、對應思想等。利用數學模型幫助學生較快地找到了解決問題的方法。

（3）多角度思考問題，培養(yǎng)問題意識。教師平時可結合具體題目，單從問題入手，讓學生進行思維發(fā)散，提出解題的思路，給出相關條件，讓學生提出問題。這樣的訓練，有利于培養(yǎng)學生的問題意識，培養(yǎng)學生創(chuàng)新思維和解決問題的靈活性。

總之，將文字語言、符號語言轉化為圖像語言，有利于用圖像的直觀性來找到簡捷的解題途徑；將符號語言轉換成文字語言，有利于弄清其實質。在審題中，對最初的數學問題空間的表征進行判斷，當此種表征難以解決問題或繁雜時，則轉換或選擇另一種表征形式。教師要重視學生良好審題習慣的培養(yǎng)，做到認真審題，抓住關鍵句，注意挖掘隱含條件，學會尋找解決問題的突破口，利用各種方式幫助理解題意，并學會從不同角度發(fā)現問題、思考問題，從而更好地解決問題，提高學生的問題解決能力，提高學生的數學素養(yǎng)。