柳曉燕

【摘要】初中數學中，方程和函數是密切相關的，解方程f（x）=0就是求函數y=f（x）當函數值為零時自變量x的值；求綜合方程f（x）=g（x）的根或根的個數就是求函數y=f（x）與y=g（x）的圖象的交點或交點個數；合參數的方程f（x， y，t）=0和參數方程更是具有函數因素，屬能隨參數的變化而變化的動態(tài)方程。它所研究的數學對象已經不是一些孤立的點，而是具有某種共性的幾何曲線。正是這些聯(lián)系，促成了函數與方程思想在數學解題中的互化互換，豐富了數學解題的思想寶庫。本文通過探討初中數學中的函數與方程思想，并結合具體數學實例說明方程函數思想中的應用。

【關鍵詞】方程 函數 初中數學

在初中數學中，方程與函數是很重要的知識，對各種方程和函數作系統(tǒng)的學習研究對初中數學的學習是至關重要的。方程函數思想是解決現(xiàn)實生活中數量關系和變化規(guī)律的重要思維方式。函數思想在中考中的應用主要是函數的概念，性質及圖象的應用，包括顯化、轉換、構造、建立函數關系解題四個方面。

方程思想是從問題的數量關系出發(fā)，運用數學語言將問題中的條件轉化為方程、不等式或它們的混合組，通過解方程（組）、不等式（組）或其混合組使問題獲解。包括待定系數法、換元法、轉換法和構造方程法四個方面。

例1：

已知函數y=x3的圖象，求解方程x3-x2+1=0。

分析：由于題目中的方程式出現(xiàn)x三次方和平方并存的局面，同時沒有x，單純運用方程式理論對于初中生來說不易解決，而如果可以將已知條件中的函數圖象與方程結合出來，卻完全可以達到事半功倍的效果。

錯誤解法：完全運用方程的思想。

x3-x2+1=0 → x2（x-1）+1=0 → x2（x-1）=-1

進行初步分析，當x=0時，-1不等于0，此式不成立，而等式的右邊是-1，左邊出現(xiàn)了x2這個目前完全大于0的數，所以可以得出：

X=0不成立，x2>0 → x-1=-1 → x=0 ？ 這里你沒有看錯，先前我們假定x不等于0的條件現(xiàn)在卻被我們證明了其等于0，這必然證明了我們的結論是錯誤的。但是問題出在哪里了呢？此刻我們應當收拾心情，仔細觀察一下，將函數的思想帶入其中。

正確解法：

同樣，將方程式布局整理一番。

x3-x2+1=0 → x3= x2-1，這時我們運用函數的思想。將等式兩邊的x3，x2-1同時設為函數式y(tǒng)= x3，y= x2-1。我們便得到兩個函數式，根據已知中我們得知的y= x3的圖像，在坐標圖上作出y= x2-1的圖象，取兩個圖象的交點，即為問題的答案。不僅方便，而且直觀形象，也大大降低了解題的風險。這里，我們可以清楚地看出方程函數思想結合的優(yōu)勢。

例2：

某城市生產運營用水和居民家庭用水的總和為5.8億立方米，其中居民家庭用水比生產運營用水的3倍還多0.6億立方米，問生產運營用水和家庭用水各多少立方米？

分析：這是一道簡便通俗的題目。本題中所涉及的是等量關系，可以運用方程，也可以運用基本函數知識來解答。本題的設置是旨在培養(yǎng)學生的思維定性，培養(yǎng)方程函數相結合的思想。

解法一：設生產運營用水x億立方米，則居民家庭用水（5.8-x）億立方米，依題意，可得

5.8-x=3x-0.6 解得x=1.3 5.8-x=4.5

答：生產經營用水為1.3億立方米，而居民家庭用水為4.5億立方米。

解法二：設生產經營用水x億立方米，居民家庭用水y立方米，依題意，可得

x+y=5.8→y=5.8 - x

y=3x+0.6→y=3x+ 0.6

通過作出兩個一次函數的圖象，然后取其圖象的交點，得出結論。

從以上幾個小例子可以觀察出，方程與函數的思想在初中數學中占據著極其重要的地位，但是只要我們用心抓住題目中的數量關系，弄清楚方程與函數的區(qū)別和聯(lián)系，靈活運用，問題都會迎刃而解。

綜上所述，函數思想指導我們運用函數的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想則是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型，然后通過解方程或不等式來使問題獲解，實現(xiàn)函數與方程的互相轉化、接軌，達到解決問題的目的。笛卡爾的方程思想是：實際問題→數學問題→代數問題→方程問題。

我們知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值問題是通過解方程來實現(xiàn)的。方程函數思想是初中數學的核心內容，也是打好數學基礎的關鍵，函數和方程相輔相成、共同促進人們對數學知識的深入了解和掌握，學好數學，我們始終都要掌握這樣一種融合各種知識、各類方法的意識能力，教師努力思考，不斷理解演練，才能在教學道路上教出特色，方能激發(fā)初中學生學習數學的興趣。

參考文獻：

[1]李繼超.函數與方程思想在教學解題中的應用[J].考試周刊.2010（19）.

[2]董海瑞.函數思想在教學分析中的應用[J].太原教育學院學報.2005（04）.