楊益華

摘 要：科學(xué)性和文化性被稱為數(shù)學(xué)價值的主要體現(xiàn)，而培養(yǎng)學(xué)生擁有數(shù)學(xué)思想，則是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目標(biāo). 數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)也是當(dāng)代教育發(fā)展的需求，是實現(xiàn)高中生全面發(fā)展的重要基礎(chǔ). 本文將對蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5中的“數(shù)列”進(jìn)行探討，借助教科書中的實例分析，說明其與數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)之間的內(nèi)在聯(lián)系.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思想

在很長的一段時間之內(nèi)，人們對數(shù)學(xué)教學(xué)的理解都是使學(xué)生掌握一定的數(shù)學(xué)知識，擁有科學(xué)素養(yǎng)，但是很少直接性地提出數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)思想是使學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)理念和對數(shù)學(xué)知識運用的意識. 在新課標(biāo)中蘇教版的數(shù)學(xué)教材中，蘊涵的許多內(nèi)容都是以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想為目的，從數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，是一種從知識到能力的提升過程，需要學(xué)生積極主動的探索與感悟. 因此，在教學(xué)中對數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)就需要教師能夠準(zhǔn)確地把握教材中的關(guān)鍵點，并將其有計劃、有目的、準(zhǔn)確地引入平時的課堂教學(xué)之中.

[?] 在最平常的數(shù)學(xué)教學(xué)中展現(xiàn)最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想具有很強的邏輯性，是以數(shù)學(xué)知識和文化為背景發(fā)展起來的思維模式，同時以數(shù)學(xué)課程內(nèi)容與數(shù)學(xué)教學(xué)過程為載體. 高中數(shù)學(xué)的教學(xué)已經(jīng)不再是單純的數(shù)學(xué)知識的傳授，必須要將課程中的數(shù)學(xué)思想層層分解，打破基本科學(xué)知識對學(xué)生知識獲取的束縛，引導(dǎo)開發(fā)學(xué)生體會數(shù)學(xué)知識中的科學(xué)思想，體現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的思想價值.

問題情境的創(chuàng)設(shè)是保證數(shù)學(xué)思想從數(shù)學(xué)知識中體現(xiàn)的途徑，比如從社會生活、生產(chǎn)實踐、數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中或者其他學(xué)科能提取素材.問題情境的創(chuàng)設(shè)不但可以激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，還可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識的真實性和思想性，將其自身的切身生活體會主動地聯(lián)系到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中. 這里的“問題”并非局限于數(shù)學(xué)問題或者說不能只是單純的數(shù)學(xué)問題，而是社會生活中普遍存在的與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題，最好是具有較大的應(yīng)用范圍的問題.

例如，蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5中數(shù)列的開篇：

“……人們在1740年發(fā)現(xiàn)了第一顆彗星，并計算出這顆彗星的出現(xiàn)周期為83年，如果從首次發(fā)現(xiàn)彗星的時間開始，它出現(xiàn)的時間應(yīng)該為1740年，1823年，1906年，1989年，2072年；……存在這樣一種細(xì)胞，其每個細(xì)胞每分鐘能夠分裂成為2個，它每過一分鐘，1個細(xì)胞分裂的個數(shù)為1，2，4，8，16，……”章頭在講解數(shù)列概念時，引入了天文、生物等方面的文化作為思想基礎(chǔ)，使學(xué)生通過觀察和思考去找出問題的共同點，使學(xué)生能夠在進(jìn)行實際問題的思考中初步建立一列數(shù)的次序排列思想，讓學(xué)生感知到萬事萬物都和數(shù)學(xué)存在著微妙的聯(lián)系，引起學(xué)生對數(shù)學(xué)知識深入探索的熱情. 數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)方法的出現(xiàn)和發(fā)展都是有據(jù)可依的，不是莫名其妙地強加于人. 高中生的身心發(fā)展趨于成熟，也已經(jīng)具有一定的思維能力和水平，在這個時期如果能夠?qū)?shù)學(xué)的概念和發(fā)展過程與其實際加以聯(lián)系，就能輕松地引導(dǎo)其產(chǎn)生更加嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思想，同時展現(xiàn)數(shù)學(xué)所獨有的思維特征.

[?] 在具體的例題中給學(xué)生以數(shù)學(xué)思想的展示

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通常將數(shù)學(xué)簡單地看做是由無數(shù)的符號、概念、定理、公式、預(yù)算法則與方法等組成的抽象集合. 在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中將數(shù)學(xué)知識的傳授放于首位，而忽略了數(shù)學(xué)課程中所蘊涵的更深層次的數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng). 新課標(biāo)對數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)進(jìn)行了強調(diào)，且提出了幾點具體要求，目的在于讓學(xué)生在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識的過程中，實現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).

例1 世界奧林匹克運動會于1896年再希臘的首都雅典首次舉辦，之后每4年舉辦一次，若因故沒能如期舉行，其屆數(shù)仍然計算. （1）請根據(jù)題意說出由奧林匹克運動會的舉辦年份組成的數(shù)列的通項公式；（2）2008年的北京奧運會應(yīng)該是第幾屆？2050年會舉辦奧運會嗎？

這是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5《等差數(shù)列的通項公式》中的一個例題，這個例題將奧運會的舉辦年份當(dāng)做背景，創(chuàng)設(shè)了有關(guān)等差數(shù)列通項公式與項數(shù)的問題.與此有關(guān)的還有人口增長、銀行儲蓄等問題，這一類問題將數(shù)學(xué)與社會實際進(jìn)行了更加具體的聯(lián)系，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維在生活實際問題的引導(dǎo)下更加深入，使學(xué)生在進(jìn)行問題的思考中，感受數(shù)學(xué)思想的具體性，并使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與生活中的各個方面之間的聯(lián)系.

例2 作出一個等邊三角形，然后將等邊三角形的三條邊分別等分，以每條邊上中間的一段作為新的邊，向原三角形之外做新的等邊三角形，并將中間的一段抹掉，得到一個新的圖形，以此類推，得到一個新的不規(guī)則圖形，求出第n個圖形的邊長和面積.

這是蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5的《等比數(shù)列通項公式》中的一個例題，本例中所引為“雪花曲線模型”，這個圖形的面積有限，但是周長卻是無限的，數(shù)理之中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的微妙之所在. 這一數(shù)學(xué)背景顯然使學(xué)生深深地融入數(shù)學(xué)思想之中，感受數(shù)學(xué)與社會實際生活聯(lián)系之外的另一種神奇，激發(fā)學(xué)生深處的思維靈魂，使學(xué)生在感受數(shù)學(xué)思維之美的同時，獲取數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)升學(xué)之外的無限能量.

[?] 在數(shù)學(xué)解題之中感悟領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想

雖然目前大多數(shù)高中數(shù)學(xué)教學(xué)都摒棄了題海戰(zhàn)術(shù)的做法，但是解題教學(xué)仍然是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點. 解題能夠幫助學(xué)生鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，鍛煉技巧，同時蘊涵了豐富的數(shù)學(xué)思想. 如果從數(shù)學(xué)知識背景的角度來講，解題過程也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識運用、方法和策略綜合鍛煉形成數(shù)學(xué)思想的過程，而且解題是從數(shù)學(xué)知識升華成為數(shù)學(xué)思想的必然過程. 這種教學(xué)方法曾經(jīng)被全盤否定，但是其本身的科學(xué)性并沒有使其最終消失在數(shù)學(xué)教學(xué)中.

蘇教版的高中數(shù)學(xué)教科書將課后練習(xí)詳細(xì)地劃分為練習(xí)、感受與理解、思考和運用、拓展并探究四個能力層次，為不同知識掌握程度的高中生提供了不同的知識鞏固訓(xùn)練需求，促使學(xué)生學(xué)習(xí)形式的多樣化.

例1 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5在《等比數(shù)列前n項和》的練習(xí)中，有根據(jù)詩歌內(nèi)容探究其中的數(shù)列問題. “遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？”此問題屬于練習(xí)層次的數(shù)學(xué)問題，解題思路主要是依據(jù)等比數(shù)列的求和公式，對學(xué)生的目標(biāo)要求是能夠準(zhǔn)確地理解題目中包含的數(shù)學(xué)思想，然后運用數(shù)學(xué)知識解決問題.

例2 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修5的數(shù)列部分聯(lián)系題中，有森德拉姆在20世紀(jì)三十年代發(fā)現(xiàn)的正方形篩子（限于篇幅，略去具體形式）. 問題主要分為兩部分，其一，“篩子”的每一行和每一列中各存在什么樣的特征？其二，“篩子”的第100行中的第100個數(shù)是多少？

在這個練習(xí)題中，首先要求學(xué)生對整個表中的數(shù)字進(jìn)行觀察，找出其中的特征，接著是讓學(xué)生在數(shù)字特征的基礎(chǔ)上運用數(shù)列的知識對其進(jìn)行具體的計算，整個題目都需要學(xué)生主動的探索和思考，數(shù)學(xué)課堂成為學(xué)生思考的環(huán)境，是學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想的最優(yōu)平臺.

[?] 在閱讀中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想

我們不應(yīng)當(dāng)將數(shù)學(xué)簡單地看成數(shù)學(xué)知識的簡稱，而是一種有著自己獨特文化和發(fā)展歷史的科學(xué)，高中階段的學(xué)生也不應(yīng)當(dāng)為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步從知識學(xué)習(xí)中提煉數(shù)學(xué)思想，并通過數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，內(nèi)化成為個體的能力. 本文所引蘇教版數(shù)學(xué)教材中，在有些知識點中設(shè)置了旁白、閱讀與鏈接等內(nèi)容，其中部分來自古代或者現(xiàn)代數(shù)學(xué)素材，在數(shù)列章節(jié)中就設(shè)計了斐波那契數(shù)列的閱讀鏈接內(nèi)容. 問題以趣味問題的形式引入：有一對新出生的小兔，在一個月后將長成大兔，這對大兔再過一個月就會生出一對新的小兔，并且之后每個月都會生出一對小兔，在不考慮死亡的情況下，要求根據(jù)數(shù)列知識，求解一對小兔一年內(nèi)總共能夠繁殖兔子的對數(shù)？

除此之外，教材還提到了樹木每個年份的枝丫數(shù)，密封在六角蜂房爬行時的路線等于斐波那契數(shù)列的有關(guān)應(yīng)用. 這些聯(lián)系的引用不僅能夠開拓學(xué)生的知識面，而且能在潛移默化中逐漸提高學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在不同的生活背景下行成獨特的數(shù)學(xué)思想體系. 另外，此類知識在課堂教學(xué)中的引入，還能夠帶給學(xué)生思維上的生動感，將學(xué)生的數(shù)學(xué)思想逐漸具體化、生活化.

[?] 總結(jié)

本文主要對蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書中的數(shù)列章節(jié)進(jìn)行了分析，找出了其中與數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)有關(guān)的部分內(nèi)容，并加以分析. 筆者認(rèn)為，蘇教版高中數(shù)學(xué)教科書中設(shè)有以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想為目的的內(nèi)容，值得教師的深入研究和學(xué)習(xí).