崔香蘭

[摘 要]：一般化與特殊化是人類(lèi)認(rèn)識(shí)事物的兩個(gè)重要側(cè)面，也是解題的兩種基本策略，他們相輔相成，是辯證的統(tǒng)一.在多數(shù)場(chǎng)合，特殊問(wèn)題簡(jiǎn)單、直觀，容易認(rèn)識(shí)，容易把握.但是，也有一些場(chǎng)合，特殊問(wèn)題的個(gè)別特性可能會(huì)掩蓋事物的本質(zhì)屬性，給解題帶來(lái)困難，而直接求解相應(yīng)的一般性問(wèn)題，反而來(lái)得簡(jiǎn)便、明快、奇巧。

[關(guān)鍵詞]：特殊問(wèn)題一般化 數(shù)學(xué)思想 解題方法 數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)

一、引言

特殊問(wèn)題一般化方法是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。其特點(diǎn)是運(yùn)用了以退為進(jìn)、先森林后樹(shù)木、特殊蘊(yùn)于一般的數(shù)學(xué)思想。由于特殊化問(wèn)題的構(gòu)成要素較簡(jiǎn)單，不能很好地反映出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)或全貌，若將其一般化，利用一般性問(wèn)題蘊(yùn)含著特殊問(wèn)題，只要一般性問(wèn)題獲得解決，則所給的特殊問(wèn)題就立刻獲得解決。

通過(guò)特殊問(wèn)題一般化方法解題，不但使原問(wèn)題獲得解決，也使得原問(wèn)題得到了進(jìn)一步的推廣或引申，而且能更好地揭示原問(wèn)題的內(nèi)涵和外延，開(kāi)闊了解題者的視野，思維獲得到了鍛煉和培養(yǎng)。

本文通過(guò)舉例，分類(lèi)闡述這一重要的解題策略在數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。

二、特殊問(wèn)題一般化的解題策略

1、構(gòu)造數(shù)學(xué)模型策略

數(shù)學(xué)模型方法是對(duì)現(xiàn)實(shí)原型實(shí)質(zhì)問(wèn)題通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。由于數(shù)學(xué)模型方法易于認(rèn)識(shí)和求解，因而是數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的重要數(shù)學(xué)思想方法之一。構(gòu)造函數(shù)模型在實(shí)際生活中，有關(guān)用料最省、造價(jià)最低、利潤(rùn)最大、容積（面積）最大等問(wèn)題，往往可以通過(guò)分析、聯(lián)想，建立“函數(shù)模型”，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題.

例：某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件，市場(chǎng)調(diào)查反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣(mài)出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)出20件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？

讀者可以試著做一做以下兩道題目：

1、用長(zhǎng)為8m的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，問(wèn)窗框的寬和高各是多少米時(shí)，窗戶(hù)的透光面積最大？最大面積是多少？

2、有一座拋物線(xiàn)型拱橋，在正常水位AB時(shí)，水面寬20米，水位上升3米，就達(dá)到警戒線(xiàn)CD，這時(shí)水面寬為10米。（1）求拋物線(xiàn)型拱橋的解析式。

（2）若洪水到來(lái)時(shí)，水位以每小時(shí)0.2米的速度上升，從警戒線(xiàn)開(kāi)始，在持續(xù)多少小時(shí)才能達(dá)到拱橋頂？

（3）若正常水位時(shí)，有一艘寬8米，高2.5米的小船能否安全通過(guò)這座橋？

2、化歸轉(zhuǎn)化的策略

當(dāng)我們遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題不易或不能用構(gòu)造已有的數(shù)學(xué)模型解決時(shí)，可考慮轉(zhuǎn)化策略。轉(zhuǎn)化與化歸是中學(xué)數(shù)學(xué)最基本的數(shù)學(xué)思想之一，數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程的思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化；分類(lèi)討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，所以以上三種思想也是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體呈現(xiàn)。

但是轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化要求在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中前因和后果是充分的也是必要的；不等價(jià)轉(zhuǎn)化就只有一種情況，因此結(jié)論要注意檢驗(yàn)、調(diào)整和補(bǔ)充。轉(zhuǎn)化的原則是將不熟悉和難解的問(wèn)題轉(zhuǎn)為熟知的、易解的和已經(jīng)解決的問(wèn)題，將抽象的問(wèn)題轉(zhuǎn)為具體的和直觀的問(wèn)題；將復(fù)雜的轉(zhuǎn)為簡(jiǎn)單的問(wèn)題；將一般的轉(zhuǎn)為特殊的問(wèn)題；將實(shí)際的問(wèn)題轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)的問(wèn)題等等使問(wèn)題易于解決。常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方法有直接轉(zhuǎn)化法、換元法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、特殊化方法、構(gòu)造法、坐標(biāo)法。

其余乘法公式也照此給學(xué)生做換元的滲透。

在初一數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常地滲透一些換元思想，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，而且能培養(yǎng)學(xué)生的換元意識(shí)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)中的困難，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，這對(duì)大面積提高教學(xué)質(zhì)量有一定的作用。

3、歸納演繹的策略

對(duì)所給的特殊問(wèn)題，首先看清問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，揭示問(wèn)題一般化的普遍規(guī)律，從整體考慮，從而發(fā)現(xiàn)解題思路。從具體到抽象，再?gòu)囊话愕教厥?，使?wèn)題獲得解決。這種解題思想就是歸納演繹的解題策略。

例：如果三角形兩邊不等，那么這兩邊所對(duì)的角不等，大邊所對(duì)的角較大。已知△ABC，AB>AC，求證：∠ACB>∠ABC

證明：在AB邊上截取AD=AC

∵△ADC是等腰三角形，∴∠ADC=∠ACD，又∵∠ACB>∠ACD，∴∠ACB>∠ADC

又∵∠ADC是△DBC中∠BDC的外角，∴∠ADC>∠ABC

又∵∠ACB>∠ADC，∠ADC>∠ABC，∴∠ACB>∠ABC.

這個(gè)證明過(guò)程實(shí)際上是由下面五個(gè)演繹推理組成的：

第一個(gè)推理：等腰三角形的底角相等（大前提）。

△ADC是以DC為底的等腰三角形（小前提），所以△ADC的底角∠ADC=∠ACD（結(jié)論）。

第二個(gè)推理：全量大于分量（大前提），∠ACD是∠ACB的一部分（小前提），

所以∠ACB>∠ACD（結(jié)論）。

第三個(gè)推理：，∠ACB>∠ACD也大于和∠ACD相等的角（大前提），

∠ADC=∠ACD（小前提），所以∠ACB>∠ACD（結(jié)論）

第四個(gè)推理：三角形一個(gè)外角大于和它不相鄰的內(nèi)角（大前提）。

∠ADC是∠BDC的外角，∠ABC是∠ADC不相鄰的內(nèi)角（小前提），

所以∠ADC>∠ABC（結(jié)論）

第五個(gè)推理：甲量大于乙量，乙量大于丙量。那么甲量大于丙量（大前提），

現(xiàn)在∠ACB>∠ADC，∠ADC>∠ABC（小前提），所以∠ACB>∠ABC（結(jié)論）.

從這個(gè)證明過(guò)程可以看出，它是以定理的題設(shè)出發(fā)，找出了等量公理、等腰三角形性質(zhì)、外角定理等為依據(jù)，經(jīng)過(guò)五個(gè)推理，其中前一個(gè)推理的結(jié)論作為后一個(gè)推理的前提，連貫進(jìn)行，直到最后判明命題成立，從而揭示出命題成立的立足理由。

三、結(jié)語(yǔ)

“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟”。問(wèn)題的解決是數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，是數(shù)學(xué)理論的一種外化，是由已知的數(shù)學(xué)事實(shí)導(dǎo)出待求數(shù)學(xué)事實(shí)的一種思維過(guò)程。通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的教學(xué)，充分揭示問(wèn)題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生解題的技能技巧，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法不斷發(fā)展和完善，提高學(xué)生解題的熱情和能力，繼而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí)和創(chuàng)造能力。

特殊問(wèn)題一般化正是一種培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造意識(shí)行之有效的教學(xué)好方法。教學(xué)中，如果能把特殊化與一般化的解題策略相結(jié)合，利用以退為進(jìn)、進(jìn)退結(jié)合的思維方式，就能使學(xué)生解題的思路更加開(kāi)闊，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力，因此，教師應(yīng)重視數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)。

參考文獻(xiàn)：

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