矩陣是代數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容之一，變換是幾何中的基本內(nèi)容之一，是新課標(biāo)選修42的內(nèi)容，要求理科選學(xué)的學(xué)生掌握，在高考附加題中出現(xiàn)，考試題型為一道解答題，分值為10分．主要的考查矩陣的運(yùn)算與變換．本文試通過典型例題的分析給同學(xué)們分析以指導(dǎo)．

一、有關(guān)矩陣的運(yùn)算

例1 已知矩陣A=100－1，B=12－323212，求矩陣（AB）－1．

分析：途徑1：先運(yùn)算AB，后求新矩陣AB的逆運(yùn)算（AB）－1；途徑2：運(yùn)用逆矩陣的性質(zhì)（AB）－1=B－1A－1，先求各自的逆矩陣，后運(yùn)算逆矩陣的積運(yùn)算．

解法一：

AB=100-112－323212=12－32-32-12，

得（AB）－1=12－32-32-12－1=12-32－32-12．

解法二：A-1=100－1-1=100－1，B-1=12－323212-1=1232-3212

（AB）－1=B－1A－1=1232-3212100-1=12-32-32-12．

點(diǎn)評(píng)：矩陣運(yùn)算可以看成是矩陣之間的一些最基本的關(guān)系，包含二階矩陣與平面列向量的乘法、二階矩陣與二階矩陣的乘法以及矩陣的逆矩陣的運(yùn)算等．

①二階矩陣與平面向量的乘法abcd xy=ax+bycx+dy；

②二階矩陣與二階矩陣的乘法abcd efgh=ae+bgaf+bhce+dgcf+dh；

③矩陣的逆矩陣運(yùn)算A=abcd，|A|≠0，則A－1=dad－bc－bad－bc－cad－bcaad－bc．

二、由變換求新曲線方程

例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓4x2+y2=1在矩陣2001對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程．

分析：平面圖形（方程）在矩陣的作用變換下得到新的平面圖形（方程），既可以利用一般性的轉(zhuǎn)移法，即設(shè)點(diǎn)、找關(guān)系、消元；也可以充分利用矩陣變換的幾何意義巧妙的解決問題．

解法一：設(shè)P（x0，y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P（x0，y0）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)

P′（x′0，y′0） 則有 x0′y0′=2001x0y0，即x′0=2x0y′0=y0，所以x0=x′02y0=y′0

又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，故4x20+y20=1，從而（x′0）2+（y′0）2=1，

所以，曲線F的方程是 x2+y2=1．

解法二：因?yàn)榫仃?001是y軸上的點(diǎn)保持不變，x軸上的點(diǎn)變?yōu)樵瓉淼?倍，所以得到曲線F的方程是 x2+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：變換是指平面幾何中關(guān)于點(diǎn)的變換，即曲線上的點(diǎn)x0y0在矩陣變換：恒等變換、伸壓變換、反射變換、旋轉(zhuǎn)變換、投影變換、切變變換中得到新的點(diǎn)x′y′，從而得到新、舊兩點(diǎn)間的關(guān)系式，從而由已知曲線方程來得到新的曲線方程．

三、由變換求矩陣

例3 設(shè)a，b∈R，若矩陣A=a0－1b把直線l：y=2x－4變換為直線l′：y=x－12，求矩陣A．

分析：通過二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換把平面上的直線變成直線．既可以通過一般性的設(shè)點(diǎn)求解，也可以在直線上取兩個(gè)特殊點(diǎn)，建立方程組來求解．

解析：在直線l取兩點(diǎn)P（0，-4），Q（2，0），設(shè)P、Q在矩陣A的作用下得到P′、Q′，

由a0－1b0－4=0－4b，a0－1b20=2a－2，即把P′（0，－4b），Q′（2a，－2）代入直線l′：y=x－12得－4b=－12－2=2a－12，即a=5，b=3，A=50－13．

點(diǎn)評(píng)：一般地，把平面內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)變成同一個(gè)平面內(nèi)的和它相應(yīng)的唯一的一點(diǎn)，平面內(nèi)的每一點(diǎn)都是由某一個(gè)相應(yīng)的點(diǎn)變成的，這就是平面內(nèi)的點(diǎn)的一個(gè)變換．因?yàn)榫仃嘇中僅有兩個(gè)未知量，所以只要選擇兩個(gè)點(diǎn)來作對(duì)應(yīng)變換即可．

四、特征值、特征向量的概念與運(yùn)算

例4 已知A=1221，β=17，計(jì)算A5β．

分析：列出二階矩陣的特征多項(xiàng)式，求出特征值與對(duì)應(yīng)的特征向量；再計(jì)算A5β；

解析：矩陣A的特征多項(xiàng)式為f（λ）=λ－1－2－2λ－1=λ2－2λ－3．

令f（λ）=0，得λ1=3，λ2=－1，從而求得對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為α1=11，α2=1－1

令β=mα1+nα2，所以求得m=4，n=－3，

A5β=A5（4α1－3α2）=4A5α1－3A5α2=4λ51α1-3λ52α2

=4×351－1－3×（－1）51－1=975969．

點(diǎn)評(píng)：（1）求矩陣A=abcd的特征值：f（λ）=λ－a－b－cλ－d=（λ－a）（λ－d）－cb，令f（λ）=0，解得特征值λ1，λ2；

（2）求特征值對(duì)應(yīng)的特征向量：由λ值去解方程組（a－λ）x+by=0cx+（d－λ）y=0（a－λ）x+by=0，取x=1或者y=1等，寫出相應(yīng)的向量α1，α2；

（3）令β=mα1+nα2，求出m，n的值；

（4）計(jì)算多次變換后向量：Anβ=m（λn1α1）+n（λn2α2）．

五、矩陣的簡(jiǎn)單應(yīng)用

1．二階矩陣與二元一次方程組

例5 用矩陣方法、行列式求二元一次方程組3x－2y=43x+y=7 的解．

分析：把方程組改寫成矩陣的形式，利用逆矩陣、行列式的基本知識(shí)求解．

解析：利用矩陣：已知方程組可以寫為：3－231xy=47

令M=3－231， 其M－1=1929－1313， xy=M－147=1929－131347=21

故該方程組的解為x=2y=1；

利用行列式：

D=3－231=9，Dx=4－271=18，Dy=3437=9于是x=DxD=2，y=DyD=1，

故該方程組的解為x=2y=1．

點(diǎn)評(píng)：①利用矩陣的方法，即逆矩陣：方程組ax+by=mcx+dy=n 可以表示成abcdxy=mn，簡(jiǎn)寫成AX=B，A－1AX=A－1BX=A－1B；

②利用行列式D=abcd=ad－bc；Dx=mbnd；Dy=amcn，則x=DxD；y=DyD．

2．有關(guān)數(shù)列方面的實(shí)際應(yīng)用

例6 當(dāng)兔子和狐貍處于同一棲息地時(shí)，若忽略其他因素，只考慮兔子數(shù)量和狐貍數(shù)量的相互影響，兩個(gè)種群的變化有如下規(guī)律：

①由于自然繁殖，兔子數(shù)每年增長(zhǎng)10%，狐貍數(shù)每年減少15%；

②由于狐貍吃兔子，兔子數(shù)每年減少狐貍數(shù)的015倍，狐貍數(shù)每年增加兔子數(shù)的0．1倍；

③第n年時(shí)，兔子數(shù)量用Rn表示，狐貍數(shù)量用Fn表示；

④初始時(shí)刻（即第0年），兔子數(shù)量有R0=100只，狐貍數(shù)量有F0=30只．

請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)解決如下問題：

（1）列出兔子與狐貍的生態(tài)模型；

（2）求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式；

（3）討論：當(dāng)n越來越大時(shí)，兔子與狐貍的數(shù)量是否能達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，說明你的理由．

分析：列出數(shù)列{Fn}、{Rn}關(guān)聯(lián)的關(guān)系式，構(gòu)造矩陣模型，通過特征值、特征向量的意義去求解．

解析：（1）Rn=1.1Rn－1－0.15Fn－1Fn=0.1Rn－1+0.85Fn－1；

（2）設(shè)an=RnFn，M=1.1－0.150.10.85，

∴an=Mna0；

又矩陣M的特征多項(xiàng)式

f（λ）=λ－1.10.15－0.1λ－0.85=λ2－1.95λ+0.95．

令f（λ）=0，得λ1=1，λ2=0.95，從而求得對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為α1=32，α2=11

a0=10030=70α1－110α2

an=Mna0=70×1n32－110×0.95n11 =210－110×0.95n140－110×0.95n．

∴Rn=210－110×0.95n， Fn=140－110×0.95n．

（3）當(dāng)n越來越大時(shí)，0.95n越來越接近于0，Rn、Fn分別趨向于常量210，140．即隨著時(shí)間的增加，兔子與狐貍的數(shù)量逐漸增加，當(dāng)時(shí)間充分長(zhǎng)后，兔子與狐貍的數(shù)量將達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定的平衡狀態(tài)．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意得到Rn、Fn的關(guān)系式，因?yàn)閧Fn}、{Rn}相互關(guān)聯(lián)，很難直接求出Rn、Fn關(guān)于n的關(guān)系式，所以利用矩陣，從矩陣的特征值、特征向量的意義角度去解題，并能從幾何變換的角度理解二者的幾何意義．

（作者：沈書龍，江蘇省江陰長(zhǎng)涇中學(xué)）