石建彬

2010年和2011年佛山市的中考題中有同一類問題引起了我的注意。

（2010年）研究“擲一個圖釘，釘尖朝上”的概率，兩個小組用同一個圖釘做實(shí)驗(yàn)進(jìn)行比較，他們的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下，請你估計(jì)第一小組和第二小組所得的概率分別是多少？

（2011年）在1-9中隨機(jī)選取3個整數(shù)，若以這3個整數(shù)為邊長構(gòu)成三角形的情況如下表：請你根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)構(gòu)成鈍角三角形的概率是多少？（精確到百分位）

此類通過試驗(yàn)用頻率估計(jì)概率的問題，學(xué)生通常會有以下一些解答方式：（以2011年試題為例）

方法一：選擇試驗(yàn)次數(shù)最多的一次，用計(jì)算所得頻率估計(jì)概率。

方法二：累積所有試驗(yàn)次數(shù)和所研究事件發(fā)生的次數(shù)，用計(jì)算所得頻率估計(jì)概率。

∴P（構(gòu)成鈍角三角形）≈0.22。

方法三：計(jì)算每一次試驗(yàn)所研究事件發(fā)生的頻率，取所有頻率的平均值估計(jì)概率。

方法四：計(jì)算每一次試驗(yàn)所研究事件發(fā)生的頻率，根據(jù)頻率變化的趨勢估計(jì)概率。

下面分析四種方法背后學(xué)生對于頻率與概率關(guān)系不同的理解方式：

學(xué)生之所以將概率看作頻率的極限，其主要原因是研究隨機(jī)現(xiàn)象時錯誤地運(yùn)用了研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)方法，結(jié)果混淆了隨機(jī)變量序列依概率收斂與函數(shù)序列收斂之間的重大區(qū)別。

根據(jù)以上分析，不難得出以下結(jié)論：無論一次試驗(yàn)中試驗(yàn)次數(shù)有多大，用一個頻率值去估計(jì)概率是不準(zhǔn)確的，正確的方法應(yīng)該計(jì)算多個頻率，觀察隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率的變化趨勢，進(jìn)而估計(jì)概率值。所以方法一、二均不準(zhǔn)確。

同理，方法三中以多個頻率的算數(shù)平均數(shù)估計(jì)概率雖然在前半部分計(jì)算了各組的頻率，但是計(jì)算平均數(shù)的方法并未體現(xiàn)出頻率的變化趨勢，因而也不準(zhǔn)確。

綜上所述，方法四的解法最準(zhǔn)確地理解了頻率與概率的關(guān)系，是能夠得到全分的方法。

參考文獻(xiàn)：

劉華林.頻率與概率.中國統(tǒng)計(jì)，1996（4）.

（作者單位 廣東省佛山市順德一中德勝學(xué)校）