徐芬

高中數(shù)學(xué)立體幾何新教材體系中，有的概念直接運(yùn)用公理來(lái)定義概念的教學(xué)方法，被教材和廣大教師所默認(rèn)。最近，在一堂“直線與平面垂直的判定”公開(kāi)課后，我們數(shù)學(xué)教研組對(duì)以此課中涉及到的公理定義概念及后續(xù)的判定定理的教學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行了研究與討論，現(xiàn)整理如下，與同行一起探討。

一、運(yùn)用公理定義“直線與平面垂直”概念的思考

對(duì)于直線與平面垂直定義的教學(xué)，大多教師會(huì)演示課本上的實(shí)例，旗桿與地面的位置關(guān)系，讓學(xué)生觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子。并指出旗桿所在的直線與地面內(nèi)任意一條過(guò)交點(diǎn)的直線垂直（和不過(guò)交點(diǎn)的直線也垂直）。

有些教師也會(huì)借助于使用多媒體CAI，展示在現(xiàn)實(shí)世界中大量存在的直線與平面位置關(guān)系中的這種很特殊的情形，對(duì)學(xué)生增強(qiáng)直觀的直線與平面垂直形象課堂容量進(jìn)行演示。

在教師的誘導(dǎo)下，學(xué)生會(huì)利用知識(shí)的遷移，自然而然聯(lián)想到平面內(nèi)兩條直線互相垂直和空間兩條直線相互垂直的知識(shí)，猜想總結(jié)出這種特殊位置關(guān)系應(yīng)該稱為“直線與平面垂直”關(guān)系。此時(shí)，有的教師認(rèn)為下定義的時(shí)機(jī)已經(jīng)成熟，或者引導(dǎo)學(xué)生自己去給出準(zhǔn)確的定義，或者直接給出教材中的概念：“一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直”。我們研討認(rèn)為這種教學(xué)方法有值得思考的地方。

是不是我們一定要用“如果一條直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”來(lái)定義？當(dāng)然我們也可用“如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則稱這條線與平面垂直”來(lái)加以定義（如圖）。我們知道，這里的兩種不同的條件實(shí)際上是等價(jià)的，可以互相推出，所以本來(lái)這兩種選擇都可以作為定義的。

既然二種關(guān)系原來(lái)都可以定義概念，那我們?yōu)槭裁匆玫谝环N方法來(lái)定義？

在數(shù)學(xué)體系中，各個(gè)名詞是預(yù)先已經(jīng)用公理定義的概念，這樣的公理系統(tǒng)是一個(gè)實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng)。因?yàn)橐榷x概念，所以就要有一些原始的概念作為定義其他概念的出發(fā)點(diǎn)。一般來(lái)說(shuō)當(dāng)幾種公理都可作為定義某一要領(lǐng)時(shí)，特別是有的概念在下定義時(shí)，本來(lái)就可以有多種選擇的情況下，數(shù)學(xué)體系中往往會(huì)把簡(jiǎn)單的公理留著作為判定定理。比如在初中教材中，平行線的定義與判定定理就是如此。在此，我們就容易理解了數(shù)學(xué)體系中用第一種方法來(lái)定義直線與平面垂直概念，而不是用第二種方法來(lái)定義直線與平面垂直概念的理由了。

通過(guò)我們以上的教學(xué)，讓我們的學(xué)生知道了“如果一條直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”與“如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則稱這條線與平面垂直”從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是等價(jià)的道理，為后面的判定定理的學(xué)習(xí)與運(yùn)用，埋下了伏筆。

二、從定義引入到判定定理教學(xué)的思考

接下來(lái)，我們?cè)偎伎剂硪粋€(gè)問(wèn)題，就是在學(xué)了“直線與平面垂直定義”后，如何引入“直線與平面垂直的判定定理”的問(wèn)題？大多教師會(huì)按照教材的思路進(jìn)行這樣的引入教學(xué)：“要證明一條直線和一個(gè)平面垂直，若每次都要證明這條直線和平面上每一條直線都垂直，顯然是很麻煩也不必要的”。

這樣的引入值得我們教師進(jìn)行認(rèn)真的思考了，注意這里教師的引導(dǎo)語(yǔ)“很麻煩也不必要”可能會(huì)給學(xué)生帶來(lái)二個(gè)誤處。

誤處一：“很麻煩”導(dǎo)致學(xué)生在不善于直接從定義去思考問(wèn)題，

誤處二：“不必要”導(dǎo)致學(xué)生誤認(rèn)為遇到有關(guān)直線與平面垂直的判定問(wèn)題時(shí)，根本不用去想用定義去證明。

這種誤處，學(xué)生一旦形成，對(duì)所有的定義的理解和運(yùn)用，特別是對(duì)學(xué)生的思維活動(dòng)是非常有害的制約。

實(shí)際上，有許許多多的題，完全可以應(yīng)用定義判定直線與平面垂直，例如：“如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于同一個(gè)平面”，既可以用后面的判定定理證明，也可以用定義來(lái)證明。我們也可以運(yùn)用定義來(lái)發(fā)散思維證題，例如：根據(jù)直線與平面垂直的定義，如果平面內(nèi)存在一條直線與平面的一條交線b不垂直，則可以斷定此平面與直線b不垂直。

所以說(shuō)，定義不是沒(méi)有用，而是看我們?cè)趺慈ビ?。有時(shí)用定義去判定比用判定定理更容易解決問(wèn)題。但大多數(shù)情況下，用定義去判定直線與平面垂直確實(shí)非常困難，要告訴學(xué)生，因?yàn)槠矫鎯?nèi)直線的無(wú)限性，一條直線與平面內(nèi)的所有直線都要判定與此垂直，既不現(xiàn)實(shí)，也難以操作，所以必須去尋找一種能夠避免逐一確定無(wú)限條直線與此直線垂直的問(wèn)題，從而引入到判定定理的教學(xué)中。

三、對(duì)教材中的判定定理的思考

對(duì)直線與平面垂直判定定理，過(guò)去大多教師會(huì)這樣引入：“讓我們先來(lái)看看木工師傅是如何判斷一根立柱是否和板面垂直的方法，用曲尺（注：曲尺，是指木工及鉗工常用的一邊長(zhǎng)一邊短的直角尺）檢查兩次，只要兩次，但曲尺靠板面的尺，兩次不能在同一條直線上，如果立柱、板面都和曲尺的兩條邊完全吻合，便可斷定立柱和板面垂直。從中你能得到判定直線和平面垂直的方法嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行猜想推測(cè)，從而引入判定定理。

有的教師也會(huì)按照教材P65圖2.3-4探究的折紙方法引入直線與平面垂直判定定理。但教材也好，老師也好，不管怎么引入判定定理，最后都沒(méi)有給予確切的嚴(yán)格證明，教材中只提出了二個(gè)思考問(wèn)題作為運(yùn)用時(shí)必須注意的問(wèn)題——定理中兩條相交直線不可忽視（P65），就算把判定定理概念教學(xué)告一段落，接下去就直接進(jìn)行如何運(yùn)用判定定理了。

這種沒(méi)有嚴(yán)格證明的“判定定理”，我們認(rèn)為教材處理不妥會(huì)讓學(xué)生有些迷茫。迷茫有三：

1.我們說(shuō)，數(shù)學(xué)中的命題，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明是正確的，才能成為定理。如果象教材上的實(shí)例引入，確實(shí)是對(duì)的，那也只是是用實(shí)驗(yàn)的方法驗(yàn)證了這確實(shí)是“正確”的。這種沒(méi)有經(jīng)過(guò)嚴(yán)格證明的“判定定理”真的是正確的嗎？

2.剛剛前面說(shuō)過(guò)，用定義判定直線與平面垂直不現(xiàn)實(shí)也難操作，所以要引入容易判定的直線與平面垂直的判定定理，而現(xiàn)在引入了判定定理卻又不給證明，這“判定定理”到底是對(duì)還是錯(cuò)？

3.教師說(shuō)，這定理以后可以借助空間向量等方法怎么怎么地來(lái)證明，如果以后確實(shí)可以證明了，那繞了一大圈，學(xué)生會(huì)不會(huì)說(shuō)原來(lái)也可能是個(gè)數(shù)學(xué)怪圈？是否會(huì)產(chǎn)生循環(huán)論證之類的錯(cuò)誤呢？用今天尚未證明的“判定定理”A推出B，再用B去推出C……，C推出A。

4.就算以后能證明是對(duì)的，又有多少學(xué)生以后會(huì)有這種機(jī)會(huì)和興趣去證明？學(xué)生此時(shí)的知識(shí)求知和探索科學(xué)的欲望將得不到滿足。

我們說(shuō)，定理包括判定定理，只有從真命題（公理或其他已被證明的定理）出發(fā)，經(jīng)過(guò)受邏輯限制的演繹推導(dǎo)，證明為正確的結(jié)論的命題或公式，才能成為定理。定理能描述事物之間內(nèi)在關(guān)系，具有內(nèi)在的嚴(yán)密性，不能存在邏輯矛盾。證明定理是我們數(shù)學(xué)教學(xué)的中心活動(dòng)，那些相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)只能敘述為猜想，不完全地歸納充其量只能是猜想而非定理。

（責(zé)任編輯 易 凡）