何龍

摘 要：作為解決實(shí)際應(yīng)用問題的主要能力——建模能力也逐漸被高中數(shù)學(xué)教學(xué)所重視，對建模能力的研究日漸深入。這里以“貨幣時間價值模型”的建立為例，分析數(shù)學(xué)建模能力的三個層次，探討在高中教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

關(guān)鍵詞：三個層次；培養(yǎng)；建模能力

高中數(shù)學(xué)教學(xué)加強(qiáng)應(yīng)用能力的培養(yǎng)已獲得全社會的共識，教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識作為課程的基本理念之一，要求高中數(shù)學(xué)大力加強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用和聯(lián)系實(shí)際，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識，擴(kuò)展學(xué)生的視野。作為解決實(shí)際應(yīng)用問題的主要能力——建模能力也逐漸被高中數(shù)學(xué)教學(xué)所重視，對建模能力的研究日漸深入。這里我們以“貨幣時間價值模型”的建立為例，分析數(shù)學(xué)建模能力的三個層次，探討在高中教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。

一、數(shù)學(xué)建模能力的三個層次

數(shù)學(xué)建模能力指對問題做相應(yīng)的數(shù)學(xué)化，構(gòu)建適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，并對該模型求解返回到原問題中檢驗(yàn)，最終將問題解決或作出解釋的能力。需要說明的是，問題可以是現(xiàn)實(shí)的應(yīng)用問題，也可以是純數(shù)學(xué)問題；可以是常規(guī)，也可以是非常規(guī)的；可以是封閉的，也可以是開放的。荷蘭著名數(shù)學(xué)家漢斯·弗洛登塔爾認(rèn)為，公理化、形式化以及模型化等這些發(fā)展數(shù)學(xué)的過程統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)化，即數(shù)學(xué)化就是運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法來分析和研究客觀世界的種種現(xiàn)象，并加以整理和組織的過程。數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實(shí)世界當(dāng)中某一類運(yùn)動變化過程及結(jié)構(gòu)，一種模擬性的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，是對現(xiàn)實(shí)模型理想化，是一種科學(xué)的抽象過程。

為了探索數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次，我們設(shè)計(jì)了構(gòu)建貨幣的時間價值模型逐層深入的3個問題在我校（地級市一中）的高一、高二、高三各選2個班級加以測試。

1.問題1：初始本金a元，年利率為x，試探求n年后本利和An公式。

高一年級2個班108人中正確導(dǎo)出復(fù)利公式（模型）有96人，正確率為88.8%。在課本沒有涉及金融投資知識，教師也沒有講過該公式的前提下，能有這么高的正確率出乎筆者的意料。通過座談發(fā)現(xiàn)一部分學(xué)生是通過課外閱讀記憶獲取該模型公式；另一部分人則通過存款觀察并通過對本問題思維運(yùn)算獲得的。而沒有得出公式的學(xué)生既有語言理解能力上的不足，也有缺乏想象創(chuàng)造力的錯誤，當(dāng)然也有數(shù)學(xué)抽象歸納能力上的欠缺。筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模能力是有結(jié)構(gòu)層次的，初層結(jié)構(gòu)是由觀察力、閱讀力、想象力、思維能力等基本能力組成，其中以思維能力為核心。

2.為了探索建模能力是否存在第二層次，對問題1進(jìn)行深化處理得到問題2：如果利息不是一年結(jié)算一次，而是一年結(jié)算多次，初始本金a元，年利率為x，試探求n年后本利和Bn公式。

高二年級2個班111人中正確導(dǎo)出一年結(jié)算m次，有52人，正確率為46.8%。其中較為典型的解法是，首先對實(shí)際問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化處理，令利息一年結(jié)算m次，n年后共結(jié)算mn次，再進(jìn)行建模解模的探析，聯(lián)想每年結(jié)算一次復(fù)利公式，得到初始猜想，在賦值上發(fā)現(xiàn)錯誤，對照有，從而將模型調(diào)整為，并由數(shù)學(xué)歸納證明結(jié)論正確。由此可以看出，正是在初層結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，學(xué)生通過數(shù)學(xué)化達(dá)到構(gòu)建模型和求解模型的，將實(shí)際問題歸結(jié)為數(shù)學(xué)模型，因而筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)建模能力有第二層次，即中層結(jié)構(gòu)（具體能力層）問題的數(shù)學(xué)能力，建模解模的實(shí)踐能力。

3.為了繼續(xù)探求數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次，筆者對問題2進(jìn)行抽象形式化處理得到問題3：試對問題2進(jìn)行分析，從中你能得到什么樣的投資結(jié)論。

高三年級2個班109人，僅16人能基本回答正確，正確率約為14.7%，這從一定程度上說明當(dāng)前的高中學(xué)生缺乏應(yīng)用問題的訓(xùn)練，尤其是問題的數(shù)學(xué)模型不止一個時就會束手無策，教學(xué)中應(yīng)加大數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)力度。典型的解法是立足于問題2的模型，又構(gòu)建了問題的新模型——二項(xiàng)式模型，展開

通過逐項(xiàng)比較不難得出，即ym隨m單調(diào)遞增，又得到結(jié)論：m越大，越大，即每年結(jié)算利息的次數(shù)越多，銀行付出的本利和越多，對儲戶越有利（銀行應(yīng)避免該狀況發(fā)生）。學(xué)生對上述問題的解決是在中層結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，交叉運(yùn)用了邏輯思維和運(yùn)算分析最終上升為一種問題解決的綜合能力。這應(yīng)該是數(shù)學(xué)建模能力的歸宿——高層次結(jié)構(gòu)。

二、從三個層次在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力

1.既然數(shù)學(xué)建模能力基礎(chǔ)（初層）是由諸多能力因素構(gòu)成的，因此日常教學(xué)中就要有意識地進(jìn)行針對性的滲透培養(yǎng)。構(gòu)建系列有相當(dāng)針對性的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用問題供建模教學(xué)使用，當(dāng)然問題一方面要體現(xiàn)建模過程的特點(diǎn)，即問題的數(shù)學(xué)化，抽象簡化，建模求解，檢驗(yàn)修改（循環(huán)迭代）的過程；另一方面要避免傳統(tǒng)文字應(yīng)用題的通病——已將數(shù)學(xué)化過程甚至建模過程完成，問題不含多余干擾信息，條件不多不少，目標(biāo)指向清楚，只需設(shè)出未知數(shù)列等式或不等式就可得到問題的解。

我們?nèi)砸浴柏泿艜r間價值模型”為例，教學(xué)中通過下面系列問題訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力的基礎(chǔ)。

（1）以每股8.15元購進(jìn)股票10萬股，一年后以9.05元拋售，該年銀行月利率為0.2%，按月計(jì)算得利，請判斷該投資行為是否合理？

（2）某人將全年固定收入的結(jié)余部分，每年年終存入銀行，銀行年利率為3.8%（計(jì)復(fù)利），計(jì)劃五年后不再工作，而儲蓄所得利息恰等于現(xiàn)在每年的開支，問所存金額為其年收入的百分比。

（3）某人年初向建行貸款20萬用于購房，年利率為7%，按復(fù)利計(jì)算，若這筆貸款分15次等額歸還，每年還1次，15年還清并以貸款后次年初開始?xì)w還，問每年應(yīng)還多少錢？

（4）某公司為了增加流動資金推出新的促銷方式，將原售價50萬元的房產(chǎn)用新方式出售，即該公司與買方簽訂有銀行擔(dān)保的書面合同，買方一次性支付該公司60萬元，不但能得到房產(chǎn)權(quán)，而且該公司履行滿15年一次性返還買方60萬元，試問買方的在新的促銷方式中可少支付多少萬元，按銀行五年期存款的年利率為5%作計(jì)算基準(zhǔn)，15年可以連續(xù)存三個五年期。

需要注意：數(shù)學(xué)建模中的模型背景要盡量簡化，專業(yè)術(shù)語要較少，問題要有趣味性，應(yīng)易激發(fā)學(xué)生的好奇心和興趣，利于學(xué)生主體參與和創(chuàng)造意識的培養(yǎng)?，F(xiàn)行課本中有許多現(xiàn)成模型需要挖掘重視，如，等比數(shù)列求和公式（上述問題中有諸多涉及），只要教學(xué)中充分挖潛，作不同的導(dǎo)向，就可演變成一個好的建模問題，這是建模教學(xué)中寶貴的問題源，要高度重視。

2.應(yīng)該承認(rèn)數(shù)學(xué)建模能力中層結(jié)構(gòu)的地位是決定性的，它既聯(lián)系著初層結(jié)構(gòu)，又影響高層次結(jié)構(gòu)的完成，教學(xué)處理極為關(guān)鍵。筆者認(rèn)為在教學(xué)中應(yīng)注意兩個方面：（1）突破閱讀理解關(guān)?，F(xiàn)實(shí)應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)化和建模過程取決于學(xué)生能通過閱讀理解將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)量關(guān)系并自覺將應(yīng)用問題的數(shù)學(xué)化過程按理解的深度與廣度結(jié)合體的感覺、知覺、記憶、思維等特點(diǎn)，組成一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體——應(yīng)用問題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)時才能合理完成。這里閱讀理解往往在很大程度上制約數(shù)學(xué)化的過程。美國閱讀心理學(xué)家史密斯認(rèn)為閱讀心理有四個逐步深入的層次——字面的理解、解釋、批判性閱讀、創(chuàng)造性閱讀，這里實(shí)質(zhì)也是數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的一個組成部分，教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生具有較高的閱讀聯(lián)想、閱讀思維、閱讀情感素質(zhì)。（2）加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算（特別是近似計(jì)算）能力的培養(yǎng)。構(gòu)建模型帶有很大的靈活性和實(shí)用性，需要較高的運(yùn)算素養(yǎng)。教學(xué)中應(yīng)力戒將問題的模型構(gòu)建完畢就不屑一顧的做法，對學(xué)生而言有時候解模往往會力不從心。例如，對前面列舉的問題3，有學(xué)生這樣獲取模型：設(shè)貸款b，每年等額歸還a元，第一年后欠款b-a，第二年后欠款，第15年后欠款。筆者在高二年級2個班111人中能正確運(yùn)算得到結(jié)果只72人，不能合理運(yùn)算已阻礙學(xué)生建模能力的形成，教學(xué)中要下大力氣突破。

3.數(shù)學(xué)建模能力的終極是一種綜合的問題解決能力，因而建模教學(xué)中要注重學(xué)生思維活動的發(fā)散性和創(chuàng)造性的培養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生在同化——順應(yīng)的整合過程中形成合理的新建模結(jié)構(gòu)，突出學(xué)生的多種思維指向作用，而不是一味地納入教師的思維框架中，避免抑制學(xué)生建模能力中創(chuàng)造能力與主體意識的培養(yǎng)。由于建模能力形成的長周期和培養(yǎng)點(diǎn)為多角度、多渠道、多觀點(diǎn)、多層次，尋求建模能力的解決點(diǎn)，以完成知識為載體、思維為核心、能力為體現(xiàn)的三者和諧統(tǒng)一。例如，從問題1出發(fā)鼓勵學(xué)生思維觸角立體式搜索，完成問題（1）～（4）的解決，并可將問題遷移到債券的價值問題得到系列模型：設(shè)n年期債券，存款年息利率為x，每年付利息a元，面值為A元，則債券價值為Y=a+A，其中，為使債券面值與現(xiàn)值一建立數(shù)學(xué)模型不完全是為了解決模型的原問題，更有意義的還在于解決具有原型特征的其他許多實(shí)際問題，例如上述模型，我們可以建設(shè)性解決以下幾類問題：現(xiàn)值Y、利率x、面值A(chǔ)的確定等，這樣教學(xué)才會有利于學(xué)生形成建模能力的最高層次。

數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次是相互聯(lián)系的，下層為上層基礎(chǔ)的同一體，層次上有時不能絕對區(qū)分，是相互滲透的，但只有搞清楚數(shù)學(xué)建模能力的結(jié)構(gòu)層次，教學(xué)中才能有的放矢地培養(yǎng)，學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力才能從本質(zhì)上得到提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭慶全，汪文龍，田玉杰.數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模：培養(yǎng)創(chuàng)新能力的內(nèi)容載體和實(shí)踐載體.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2010（12）.

[2]葉其孝.中學(xué)數(shù)學(xué)建模.湖南教育出版社，1998-09.

（作者單位 福建省南平第一中學(xué)）