陶彥敏

在一次專(zhuān)家講座中有幸聆聽(tīng)了關(guān)于“雞兔同籠”的圖形表征觀點(diǎn)闡述，這樣的表示方法運(yùn)用在教學(xué)實(shí)踐中能取得更好的效果嗎？為此我們進(jìn)行了一些有益的探索，大膽進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐，發(fā)現(xiàn)圖形表征手段可以較好地促進(jìn)學(xué)生對(duì)方法的理解。

一、“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)路徑

對(duì)于這一課時(shí)的教學(xué)路徑設(shè)計(jì)，我們基本按照教材意圖，走教材體現(xiàn)的路徑，僅僅將“列表法”替換為“畫(huà)腳法”，其余素材基本不變。第一步，從“雞兔同籠”的例題引入，認(rèn)識(shí)到這是我們面臨的一個(gè)新問(wèn)題。第二步，研究問(wèn)題的方式是多樣的，為了方便研究，對(duì)例題數(shù)據(jù)進(jìn)行簡(jiǎn)化處理。第三步，提供基本的圖片，進(jìn)行一些必要的解釋?zhuān)?qǐng)學(xué)生“畫(huà)一畫(huà)、劃一劃”，并發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。第四步，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的基礎(chǔ)上，獨(dú)立探究新方法。在此基礎(chǔ)上，組織學(xué)生交流，并領(lǐng)會(huì)同伴的方法。第五步，鞏固練習(xí)，解決《孫子算經(jīng)》上的原題。

二、“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)片段摘記

片段一：“畫(huà)一畫(huà)、劃一劃”開(kāi)始部分

生1：老師，我不會(huì)畫(huà)雞，更不會(huì)畫(huà)兔。

生2：不用畫(huà)雞，也不用畫(huà)兔，只要簡(jiǎn)單畫(huà)雞頭雞腳和兔頭兔腳就可以了。

師：你的簡(jiǎn)單法是怎樣的呢？

生2：圓圈表示頭，雞下面畫(huà)兩豎表示兩只腳，兔下面畫(huà)四豎表示四只腳。

師：（出示圖a）這個(gè)圖片表示什么？誰(shuí)能看懂？

生3：6個(gè)正方形。

生4：6只雞或兔，一個(gè)正方形表示一只雞或兔。

生5：應(yīng)該是表示一只雞和一只兔，左邊一列表示一只雞，2個(gè)正方形表示雞有兩只腳，右邊一列表示一只兔，4個(gè)正方形表示兔有四只腳。

師：（出示圖b和圖c）這兩個(gè)圖片又分別表示什么，誰(shuí)能看懂？

生6：圖b表示8只兔有32只腳，圖c表示8只雞有16只腳。

生7：我不完全同意你的觀點(diǎn)，我認(rèn)為虛線表示“不確定”，這兩個(gè)圖表示的就是例題1，雞兔共8只，但腳還沒(méi)有畫(huà)好。

師：那怎樣才算畫(huà)好？

生8：圖b顯然腳數(shù)大大超過(guò)26只，要?jiǎng)澣ヒ恍瑘Dc顯然腳數(shù)不足26只，要再畫(huà)上幾只。

……

我的理解：以上教學(xué)事實(shí)說(shuō)明，學(xué)生可以通過(guò)這樣的圖形去理解“雞兔同籠”的問(wèn)題，這樣的圖形比用圓圈和線段表示的方法更簡(jiǎn)單，凌亂的線段之“腳”顯然不如連成一片的方框之“腳”，這樣的“腳”顯然更富數(shù)學(xué)意義；這樣的圖形更能說(shuō)明問(wèn)題，學(xué)生可清晰地知道，一只雞與一只兔的轉(zhuǎn)換，腳數(shù)改變2，這樣的“畫(huà)一畫(huà)、劃一劃”的方法具有現(xiàn)實(shí)的教學(xué)意義與價(jià)值。我堅(jiān)信，二年級(jí)學(xué)生適用的直觀手段，對(duì)于五年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，適用性是值得懷疑的，是需要改進(jìn)的。

片段二：其他方法的自主探究后的交流之一

生1：我是從雞兔各半的情況開(kāi)始想的，3×8=24只腳，26-24=2只兔，兔比雞多兩只，所以雞有（8-2）÷2=3只，兔有5只。

師：3×8=24只腳，哪種動(dòng)物有3只腳？（生大笑，以為該同學(xué)說(shuō)錯(cuò)了）

生1：沒(méi)錯(cuò)啊，我說(shuō)雞兔各半的話，把兔子4只腳中的一只腳看做對(duì)應(yīng)的一只雞的腳，這樣這對(duì)雞和兔就各3只腳。題中雞兔共26只腳，多了2只腳，說(shuō)明這兩只兔子沒(méi)有對(duì)應(yīng)的雞，沒(méi)有借出自己的1只腳，所以兔比雞多2只。

師：你們聽(tīng)明白了嗎？我們一起來(lái)畫(huà)個(gè)圖（見(jiàn)前，圖略，教師在畫(huà)出圖形后，進(jìn)一步提出“三腳法”的另一種情況：按1頭3腳計(jì)算，腳數(shù)比已知腳數(shù)多。面對(duì)老師的圖形表示，學(xué)生驚嘆：哇，原來(lái)是這樣的?。?/p>

……

我的理解：想不到“三腳法”被第一個(gè)提出，為什么？我和那些語(yǔ)文老師交流這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，語(yǔ)文老師一般也是從雞兔各半或很接近的情況開(kāi)始的，難道是中庸之類(lèi)的哲學(xué)影響在發(fā)揮作用？ 通過(guò)畫(huà)圖，為學(xué)生展示了這種方法的幾何意義，學(xué)生更能接受這種方法。

片段三：其他方法的自主探究后的交流之二

生1：我們剛學(xué)過(guò)方程，所以我選用方程的方法。

解：設(shè)雞有x只，則兔有（8-x）只，根據(jù)題意得：2x+4（8-x）=26，但是這個(gè)方程我解不好。

師：誰(shuí)能幫幫他？

生2：第一步去括號(hào)，2x+32-4x =26，交換2x與32的位置，得32+2x -4x =26，加2x減4x相當(dāng)于減2x……

師：還可以怎樣列方程？每人做一做……

生3：我的方程是4x+2（8-x）=26，我發(fā)現(xiàn)這樣列方程比較容易解。

師：好的，原來(lái)把腳數(shù)多的動(dòng)物只數(shù)設(shè)為未知數(shù)，解方程比較方便，我們能把這個(gè)方程用圖形來(lái)表示一下嗎？（略，見(jiàn)前。）

……

我的理解：方程法應(yīng)該是本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)，但用方程法解決問(wèn)題時(shí)學(xué)生解方程的能力，往往被教師疏忽。我之所以要讓全體同學(xué)用方程的方法練一練，不僅要求每個(gè)學(xué)生掌握這種方法，而且要讓學(xué)生明白，把腳多的動(dòng)物只數(shù)設(shè)為未知數(shù)，解方程時(shí)可以避免出現(xiàn)學(xué)生現(xiàn)有知識(shí)水平難以支撐甚至不能支撐的情況，這種方法應(yīng)該是“雞兔同籠”問(wèn)題教學(xué)的重點(diǎn)方法。通過(guò)畫(huà)圖的方法，學(xué)生明白了兩個(gè)不同的方程表達(dá)的意義，明白如何設(shè)未知數(shù)可以給自己解決問(wèn)題帶來(lái)方便。

片段四：《孫子算經(jīng)》的論戰(zhàn)

師：今天我們學(xué)習(xí)了“雞兔同籠”問(wèn)題，讓我們看看《孫子算經(jīng)》原題“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四腳，問(wèn)雞兔各幾何”，你能用現(xiàn)在的話來(lái)表述嗎？

生：雞兔35頭，94腳，雞、兔各幾只？

師：你會(huì)幾種方法？你喜歡什么方法？

生1：我會(huì)假設(shè)法和方程法，我喜歡方程法。解：設(shè)兔有x只，則雞有（35-x）只，方程是4x+2（35-x）=94。

生2：方程書(shū)寫(xiě)麻煩，我還是喜歡“三腳法”，3×35=105只，105-94=11只，說(shuō)明雞多11只，（35+11）÷2=23只，兔有12只。

生3：方程書(shū)寫(xiě)麻煩，我也還是喜歡假設(shè)成“全部是雞”，比實(shí)際少多少腳就換相應(yīng)的兔。35×2=70（只），94-70=24（只），24÷2=12（只），兔12只，雞23只。

生4：我還是喜歡畫(huà)圖法的。

師：你準(zhǔn)備畫(huà)35列正方形方框？

生4：那也不必，用省略號(hào)表示一下也可以。我看題目中的頭數(shù)與腳數(shù)，我估計(jì)雞多兔少，我先省略20只雞，5只兔，共60只腳，余下10頭35腳，這樣也可以畫(huà)出來(lái)。

師：你對(duì)畫(huà)圖的方法進(jìn)行了改進(jìn)，老師覺(jué)得你很有創(chuàng)造精神。就使用是否方便的角度而言，你覺(jué)得選用什么方法比較方便？這個(gè)問(wèn)題每個(gè)同學(xué)自己想一想。

……

我的理解：從哪里來(lái)，到哪里去，我們回到了課的出發(fā)點(diǎn)。但是，這時(shí)的學(xué)生不僅能解決這一問(wèn)題，而且能選用自己喜歡的方法解決，這是一個(gè)更高的學(xué)習(xí)出發(fā)點(diǎn)。學(xué)生嘴上的選擇，出于多種原因，有時(shí)候不一定與真實(shí)的選擇相符，這就需要老師的引導(dǎo)，盡量使學(xué)生走上“通式通法”之路。有一定創(chuàng)新的畫(huà)圖法是好的，有一定古典人文價(jià)值的假設(shè)法也是好的，但我認(rèn)為就是學(xué)生認(rèn)為“書(shū)寫(xiě)麻煩”的方程法，才是學(xué)生最應(yīng)該掌握的方法。

三、“雞兔同籠”問(wèn)題的教學(xué)思考

以新的圖形表征方法為依托，這一問(wèn)題的一次教學(xué)嘗試獲得了一定的成功，我還希望在下次的教學(xué)中能繼續(xù)用這一方法，其他老師也能采用這一方法。

在“畫(huà)腳法”這一環(huán)節(jié)中，我們發(fā)現(xiàn)，與原來(lái)用圓圈與線段表示的方法相比，用正方形小方格列表示這一方法更具可操作性，更富數(shù)學(xué)化傾向，若一定要選用“畫(huà)腳法”，則可以思考我們的方法。

在所有的方法中，方程法是學(xué)生應(yīng)該掌握的基本方法。通過(guò)圖形表征可以使學(xué)生進(jìn)一步明白兩種方程的意義，并樂(lè)意將腳多的動(dòng)物只數(shù)設(shè)為未知數(shù)。要使學(xué)生體會(huì)到，就思考過(guò)程而言，這種方法最簡(jiǎn)單。

無(wú)論是什么方法，都適用于所有情況，并都是可以實(shí)現(xiàn)圖形表征的。通過(guò)圖形表征，可以促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)、掌握這一方法。學(xué)生樂(lè)意用哪種方法，就用哪種方法，并通過(guò)圖形表征，形成比較清晰的認(rèn)識(shí)。

預(yù)設(shè)的方法沒(méi)有為學(xué)生所發(fā)現(xiàn)，我們可以提供該種方法，并進(jìn)行圖形表征。選擇放棄也是一種恰當(dāng)?shù)男袨椋覀冃枰獙W(xué)生掌握的是以方程法為基礎(chǔ)的一兩種具有“通式通法”性質(zhì)的基本方法。?