章少川

隨機(jī)抽樣

（★★★★）必做1 某校有4000名學(xué)生，各年級(jí)男、女生人數(shù)如下表，已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到高一男生的概率是0.2，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取100名學(xué)生，則應(yīng)在高二抽取的學(xué)生人數(shù)為_______.

精妙解法 依表知x+y+z=4000-2000=2000，=0.2，于是x=800，故高二的學(xué)生人數(shù)為y+z=1200，那么在高二抽取的學(xué)生人數(shù)為1200×=30名.

極速突擊 進(jìn)行分層抽樣時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）分層抽樣中分多少層，如何分層要視具體情況而定，總的原則是：層內(nèi)樣本的差異要小，兩層之間的樣本差異要大，且不重疊；（2）為了保證每個(gè)個(gè)體等可能入樣，所有層中每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性要相同；（3）在每層抽樣時(shí)，應(yīng)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法.

（1）常見的隨機(jī)抽樣方法有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣，都是不放回抽樣，它們之間的聯(lián)系和區(qū)別如表2所示.

（2）解決有關(guān)隨機(jī)抽樣問題，首先要深刻理解各種抽樣方法的特點(diǎn)和實(shí)施步驟，其次要熟練掌握系統(tǒng)抽樣中被抽個(gè)體號(hào)碼的確定方法及分層抽樣中各層人數(shù)的計(jì)算方法；抽樣方法經(jīng)常交叉起來使用，如分層抽樣，若每層中的個(gè)體數(shù)量仍很大，則可輔之以系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)中的每一均衡的部分，又可采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.

用樣本估計(jì)總體

（★★★）必做2 某商場(chǎng)調(diào)查旅游鞋的銷售情況，隨機(jī)抽取了部分顧客的購(gòu)鞋尺寸，整理得如下頻率分布直方圖，其中直方圖從左至右的前3個(gè)小矩形的面積之比為1∶2∶3，則購(gòu)鞋尺寸在[39.5，43.5）內(nèi)的顧客所占百分比為________.

[0.0875][0.0375][頻率

組矩] [35.5][37.5][39.5][41.5][43.5][45.5][尺寸]

圖1

精妙解法：后兩個(gè)小組的頻率為（0.0375+0.0875）×2=0.125×2=0.25，所以前3個(gè)小組的頻率為1-0.25=0.75.

又前3個(gè)小組的面積比為1∶2∶3，所以第三小組的頻率為×0.75=0.375，第四小組的頻率為0.0875×2=0.175，所以購(gòu)鞋尺寸在[39.5，43.5）的頻率為0.375+0.175=0.55=55%.

極速突擊 （1）在頻率分布表中，頻數(shù)的和等于樣本容量，頻率的和等于1；（2）每一小組的頻率等于這一組的頻數(shù)除以樣本容量；（3）在頻率分布直方圖中，小矩形的高等于每一組的頻率除以組距，它們與頻數(shù)成正比，小矩形的面積等于這一組的頻率.

變量的相關(guān)性

（★★★）必做3 某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn). 根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)（如下表），由最小二乘法求得回歸方程[^][y]=0.67x+54.9.

表3

[零件個(gè)

數(shù)x（個(gè)）＼&10＼&20＼&30＼&40＼&50＼&加工時(shí)

間y（min）＼&62＼&＼&75＼&81＼&89＼&]

現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為________ .

精妙解法 由已知可得==30，代入[^][y]=0.67x+54.9，得=75，設(shè)模糊數(shù)據(jù)為m，由=75，得m=68.

極速突擊 線性回歸方程過點(diǎn)（，）.

（★★★★）必做4 一場(chǎng)“厲行節(jié)約，反對(duì)浪費(fèi)”的“光盤行動(dòng)”悄然展開，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤行動(dòng)”，得到如下的列聯(lián)表：

表4

[＼&做不到＼&能做到＼&男＼&45＼&10＼&女＼&30＼&15＼&]

表5

[P（K2≥k）＼&0.10＼&0.05＼&0.025＼&k＼&2.706＼&3.841＼&5.024＼&]

附：K2=

參照附表，得到的正確結(jié)論是

（ ）

A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤行動(dòng)與性別有關(guān)”

B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤行動(dòng)與性別無關(guān)”

C. 有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤行動(dòng)與性別有關(guān)”

D. 有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到‘光盤行動(dòng)與性別無關(guān)”

精妙解法 由已知條件可得K2==3.030，因?yàn)?.030>2.706，所以有90%的把握認(rèn)為“市民性別與支持該活動(dòng)有關(guān)系”，故選C.

（1）求線性回歸直線方程的步驟是：作出散點(diǎn)圖，判斷兩個(gè)變量是否線性相關(guān)；如果是，利用公式求出[a][^]與[b][^]的值，寫出回歸直線方程；再利用求出的方程進(jìn)行估計(jì).

（2）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)可以考查兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并能較為準(zhǔn)確地給出這種判斷的可信度，具體做法是：根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)，計(jì)算由公式K2=所給出的檢驗(yàn)隨機(jī)值k，并且k的值越大，說明“兩個(gè)變量有關(guān)系”的可信度越大.

古典概型

（★★★）必做5 甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（ ）

A. B.

C. D.

精妙解法 設(shè)正方形的4個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D，從中任選兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種不同選法，故甲、乙各從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任選兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，共有基本事件6×6=36個(gè).

設(shè)甲、乙兩人各取兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，所得兩條直線互相垂直的事件為M，則M所包含的基本事件如下表：

表6

[甲＼&AB＼&BC＼&CD＼&AD＼&AC＼&BD＼&乙＼&BC＼&AD＼&AB＼&CD＼&AD＼&BC＼&AB＼&CD＼&BD＼&AC＼&]

共包含10個(gè)基本事件，所以P（M）==，故選C.

極速突擊 對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中包含的結(jié)果數(shù)m，再利用公式P（A）=求出事件的概率. 對(duì)一些情景較為簡(jiǎn)單、基本事件個(gè)數(shù)不是太大的概率問題，計(jì)數(shù)時(shí)只需要用枚舉法即可計(jì)算隨機(jī)事件所包含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率，但應(yīng)特別注意，計(jì)算時(shí)要嚴(yán)防遺漏，絕不重復(fù).

（★★★★）必做6 設(shè)函數(shù)f（x）=ax+，若a是從1，2，3三個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，b是從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)，則f（x）>b恒成立的概率是________.

[牛刀小試]

精妙解法 f（x）=ax+=ax++1=a（x-1）++1+a≥2+1+a=（+1）2，

所以f（x）min=（+1）2，于是f（x）>b恒成立就轉(zhuǎn)化為（+1）2>b成立.

設(shè)事件A：“f（x）>b恒成立”，則基本事件總數(shù)為12個(gè)，即（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5）；

事件A包含事件：（1，2），（1，3）；（2，2），（2，3），（2，4），（2，5）；（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），共10個(gè)，由古典概型得P（A）==.

（★★★★）必做7 從一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)，則以這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成直角三角形的概率為

（ ）

A. B. C. D.

[牛刀小試]

精妙解法 法1：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)有C=56種取法，可構(gòu)成的三角形有56種可能，正方體有6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面，它們都是矩形（包括正方形），每一個(gè)矩形中的任意3個(gè)頂點(diǎn)可構(gòu)成4個(gè)直角三角形，共有12×4=48個(gè)直角三角形，故所求的概率P==，選D.

法2：從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取3個(gè)有C=56種取法，可構(gòu)成的三角形有56種可能，所有可能的三角形分為直角三角形和正三角形兩類，其中正三角形有8種可能（每一個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)），故所求的概率P==，選D.

極速突擊 對(duì)于某些稍復(fù)雜的事件的古典概型問題，一般要把復(fù)雜事件分解為若干個(gè)互相排斥或相互獨(dú)立、既不重復(fù)又不遺漏的簡(jiǎn)單事件解決，同時(shí)通過排列、組合知識(shí)完成計(jì)算，這也是考查同學(xué)們分析問題、解決問題能力的重要環(huán)節(jié).

幾何概型

（★★★★）必做8 在長(zhǎng)度為1的線段內(nèi)任取兩點(diǎn)，將線段分成三段，則它們可以構(gòu)成三角形的概率為________.

精妙解法 設(shè)線段被分成的三段長(zhǎng)分別為x，y，1-x-y，則0

符合條件的點(diǎn)表示平面區(qū)域M=（x，y）0

0

0

，

0

極速突擊 解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概型問題. 關(guān)鍵在于將問題如何轉(zhuǎn)化為二維測(cè)度面積之比.

（★★★★）必做9 設(shè)A={（a，c）

0

A. B.

C. D.

[牛刀小試]

精妙解法 方程ax2+2x+c=0有實(shí)根，所以Δ=4-4ac≥0，即ac≤1，結(jié)合a，c的限制條件，作出線性規(guī)劃圖.

如圖2，S陰影=S矩形OABE+S曲邊四邊形ABCD=×2+da=1+2ln2，

[O][c][a][A][D][C][F][B][E][圖2]

所以關(guān)于x的方程ax2+2x+c=0有實(shí)根的概率為

P==.

相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)及互斥事件的概率

（★★★★）必做10 乒乓球單打比賽在甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員之間進(jìn)行，比賽采用7局4勝制（即先勝4局者獲勝，比賽結(jié)束），假設(shè)兩人在每一局比賽中獲勝的可能性相同，則（1）甲以4比1獲勝的概率為______；（2）乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局的概率是______.

精妙解法 由已知，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員在每一局比賽中獲勝的概率都是.

（1）記“甲以4比1獲勝”為事件A，則P（A）=C

=.

（2）記“乙獲勝且比賽局?jǐn)?shù)多于5局”為事件B.

因?yàn)橐乙?比2獲勝的概率為P1=C

=，

乙以4比3獲勝的概率為P2=C

=，所以 P（B）=P1+P2=.

極速突擊 用相互獨(dú)立事件的乘法公式解題的步驟：

（1）用恰當(dāng)字母表示題中有關(guān)事件；（2）根據(jù)題設(shè)條件，分析事件之間的關(guān)系；（3）將需要計(jì)算概率的事件表示為所設(shè)事件的乘積或若干個(gè)乘積之和（相互乘積的事件之間必須滿足相互獨(dú)立）；（4）利用乘法公式計(jì)算概率.

（★★★★）必做11 某果園要用三輛汽車將一批水果從所在城市E運(yùn)至銷售城市F，已知從城市E到城市F有兩條公路. 統(tǒng)計(jì)表明：汽車走公路I堵車的概率為，不堵車的概率為；走公路II堵車的概率為，不堵車的概率為. 若甲、乙兩輛汽車走公路I，第三輛汽車丙由于其他原因走公路II運(yùn)送水果，且三輛汽車是否堵車相互之間沒有影響，則三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率是_______.

[牛刀小試]

精妙解法 記“汽車甲走公路Ⅰ堵車”為事件A，“汽車乙走公路Ⅰ堵車”為事件B，“汽車丙走公路Ⅱ堵車”為事件C. 于是甲、乙、丙三輛汽車中至少有兩輛堵車的概率為P=P（A·B·）+P（A··C）+P（·B·C）+P（A·B·C）=××+××+××+××=.

極速突擊 在解此類題時(shí)，要明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的含義，以免混淆. 理解事件的相互獨(dú)立性并熟練運(yùn)用公式是解此類問題的關(guān)鍵.

（★★★）必做12 某一批花生種子，如果每一粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是________.

[牛刀小試]

精妙解法 本題是獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)B4

，，P（k=2）=C

2

2=.

極速突擊 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn). 在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.

（★★★★）必做13 設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格，從中任意取2件，試求在所取得的產(chǎn)品中發(fā)現(xiàn)有一件是不合格品的條件下，另一件也是不合格品的概率是（ ）

A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5

精妙解法 記事件A為“有一件是不合格品”，事件B為“另一件也是不合格品”，

n（A）=CC+C=30，n（AB）=C=6，所以P（B|A）==0.2.

極速突擊 條件概率問題是高中新課程新增知識(shí)，同時(shí)也是一個(gè)冷點(diǎn)，復(fù)習(xí)時(shí)一定要引起注意.

（1）在解決互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率問題時(shí)，首先要注意互斥事件與相互獨(dú)立事件的區(qū)別和運(yùn)用場(chǎng)合. 善于將復(fù)雜的事件分解為互斥事件的和與獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.

（2）如果一個(gè)問題包含的正面情況比較多，反面情況比較少，則一般利用對(duì)立事件求解，即先求出欲求概率事件的對(duì)立事件的概率，再得到欲求事件的概率，一般地，“至少”“至多”等問題往往會(huì)用到這種方法求解.

離散型隨機(jī)變量的分布列、期望和方差

（★★★★）必做14 如圖3，已知長(zhǎng)方形ADEH是由三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接而成的，從A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H這八個(gè)點(diǎn)中任取三個(gè)點(diǎn)組成的圖形面積記為ξ，且當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)ξ=0，則數(shù)學(xué)期望Eξ的值為________.

[E F G H][A B C D]

圖3

[牛刀小試]

精妙解法 ξ=0，，1，，

P（ξ=0）==，P

ξ=

==，

P（ξ=1）==，P

ξ=

==，

所以Eξ=0×+·+1·+·===.

極速突擊 求離散型隨機(jī)變量ξ的期望的步驟為：

（1）理解ξ的意義，寫出ξ可能取的全部值；

（2）計(jì)算出ξ取每一個(gè)值時(shí)的概率；

（3）寫出ξ的分布列；

（4）利用公式Eξ=ξ1p1+ξ2p2+…+ξnpn，求出期望.

（★★★）必做15 根據(jù)新交規(guī)的要求，某駕校將小型汽車駕照考試科目二的培訓(xùn)測(cè)試調(diào)整為：從10個(gè)備選測(cè)試項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4個(gè)，只有選中的4個(gè)項(xiàng)目均測(cè)試合格，科目二的培訓(xùn)才算通過. 已知甲對(duì)10個(gè)測(cè)試項(xiàng)目測(cè)試合格的概率均為0.8，則甲最后通過測(cè)試項(xiàng)目的期望值是________.

[牛刀小試]

精妙解法：甲的測(cè)試項(xiàng)目合格數(shù)為ξ，則ξ～B（4，0.8），

所以Eξ=4×0.8=3.2.

極速突擊 當(dāng)斷定隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布時(shí)，可不用列出分布列，直接用公式求出Eξ與Dξ.

（1）求離散型隨機(jī)變量的概率分布表的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率.

（2）離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.

（3）注意應(yīng)用概率之和為1這一性質(zhì)檢驗(yàn)解答是否正確.

正態(tài)分布

（★★★）必做16 設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（2，22），則P（2<ξ<3）可以被表示為（ ）

A. 1-P（ξ<1）

B.

C. P（0<ξ<1）

D. +P（ξ<1）

精妙解法 由于正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為x=2，由對(duì)稱性知P（ξ<1）=P（ξ>3），又曲線與x軸之間的面積為1，所以2P（2<ξ<3）=1-2P（ξ<1），即P（2<ξ<3）=，選B.

正態(tài)分布問題關(guān)鍵是抓住兩個(gè)參數(shù)μ和σ，其中μ表示隨機(jī)變量的均值，σ表示隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，同學(xué)們應(yīng)明確正態(tài)曲線以下性質(zhì)：

（1）曲線在x軸的上方，與x軸不相交；（2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱；（3）曲線在x=μ處達(dá)到峰值；（4）曲線與x軸之間的面積為1；（5）μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定.σ越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；σ越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中.