李杰

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實驗）指出：“高中數(shù)學(xué)新課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學(xué)習(xí)、研究活動，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程、發(fā)展他們的創(chuàng)新意識.”因此，數(shù)學(xué)教育不應(yīng)是簡單地如何把知識傳授給學(xué)生，更重要的是如何培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維以及鍛煉學(xué)生具有解決問題的強大的頭腦.也就是說數(shù)學(xué)教育注重學(xué)生的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng).日本數(shù)學(xué)教育家米山國藏所說：“學(xué)生們在初中、高中等接受的數(shù)學(xué)知識，因畢業(yè)進入社會幾乎沒有什么機會應(yīng)用這種作為知識的數(shù)學(xué)，通常是出校門不到兩年，很快就忘掉了.然而不管他們從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻在頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思想方法、研究方法、推理方法和著眼點（若培養(yǎng)了的話）卻隨時隨地發(fā)生作用，使他們受益終身.”

因此，數(shù)學(xué)教育的目的是通過數(shù)學(xué)知識的傳授使學(xué)生真正掌握解決數(shù)學(xué)問題的方法與思想.在各種各樣解決數(shù)學(xué)問題的思想方法中，構(gòu)造法便是其中的一種.所謂構(gòu)造法是指根據(jù)數(shù)學(xué)題設(shè)條件，給予題中涉及的公式、概念及數(shù)學(xué)關(guān)系賦予恰當(dāng)?shù)膶嶋H意義，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，謀求解決數(shù)學(xué)的方法、途徑.作為傳統(tǒng)的解決問題的方法之一的構(gòu)造法，在實際教學(xué)中有著兩個主要問題困擾著教師：一是構(gòu)造法本身的問題.由于構(gòu)造法具有連接各個分支的功能，要求學(xué)習(xí)者能根據(jù)題目中的條件、題設(shè)構(gòu)造出數(shù)學(xué)模型，因此，具有難度大、規(guī)律性不易尋找的特點；二是實際教學(xué)中的問題.由于高中數(shù)學(xué)處在整個初等數(shù)學(xué)的末端，抽象性、概括性比較強.并且由于面臨升學(xué)的壓力，教學(xué)中，教師常常是以自己的講解代表這個教學(xué)過程，學(xué)生在這個教學(xué)中處在消極、被動的地位.學(xué)生不能或很少經(jīng)歷如何通過構(gòu)造思想對所學(xué)知識進行構(gòu)造的過程.基于上述兩個問題，為了幫助教師真正應(yīng)用構(gòu)造法進行教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生利用構(gòu)造法解決問題，現(xiàn)筆者介紹幾種常見的構(gòu)造法.

一、 背景構(gòu)造

通過對數(shù)學(xué)問題的分析，合理巧妙地構(gòu)造問題的情境，展現(xiàn)問題的真實背景，可以使所要解決的問題巧妙、獨特被解決，使學(xué)生深刻感受到數(shù)學(xué)問題所隱含的數(shù)學(xué)思想.這是一種比較高級的數(shù)學(xué)思維，要求學(xué)生具有開放的思維和敏銳的洞察力.

案例1：已知：a

分析：|x-a|的幾何意義是，在數(shù)軸上表示兩數(shù)x與a之間的距離.因此要求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值就是要求在數(shù)軸上找一點x，使其到a，b，c的距離之和最短.所以，當(dāng)x取在b以外的地方時，三條線段|x-a|，|x-b|，|x-c|都有重疊部分，所以當(dāng)x取在b點時|x-a|+|x-b|+|x-c|有最小值，最小值為c-a.你看這種方法多好?。∧阏f沒有敏銳的洞察力能運用這么好的方法解決這個問題嗎？

二、拓展構(gòu)造

教師通常是依據(jù)教材進行教學(xué)的，但一位好的教師并不是把教材從頭到尾教一遍，而是把教材作為教學(xué)的橋梁，通過對教材的前后思考，理清知識之間的聯(lián)系，恰當(dāng)提出問題，引導(dǎo)學(xué)生參與到對所學(xué)問題的討論中.通過學(xué)生的自主或合作交流等，引導(dǎo)學(xué)生歸納出隱含在問題中的結(jié)論.通過對舊知識的拓展研究，使學(xué)生學(xué)到了新的知識，提升了能力.例如，通過對平面向量的相關(guān)知識的研究，可以得出空間的相關(guān)知識；而利用橢圓研究方法來研究雙曲線、拋物線，會使學(xué)生不自覺地掌握了新的知識等，達到新的教育理念的要求.

三、數(shù)形構(gòu)造

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的重要思想之一.數(shù)學(xué)研究總是圍著數(shù)與形進行的.如果單純利用數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系解決問題可能會因過于復(fù)雜而走投無路，而從由數(shù)量關(guān)系所表示的幾何圖形方面進行研究，很多時候會呈現(xiàn)柳暗花明的感覺.

五、聯(lián)想構(gòu)造

學(xué)會聯(lián)想是學(xué)好數(shù)學(xué)的優(yōu)秀品質(zhì)之一，通過聯(lián)想學(xué)

生可以發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造出新的知識所需的數(shù)學(xué)模型.這需要教師對不同知識進行分析，剖析其隱含的相同點，即教師能夠從題目中的題設(shè)、條件出發(fā)，依據(jù)題目的特點聯(lián)想到處理問題的其他形式，使問題得于解決.例如，利用相關(guān)點代入法求函數(shù)關(guān)于點或者線的對稱，聯(lián)想到用同樣的解題思想解決圓錐曲線關(guān)于點、線的對稱圖形的方程；三角函數(shù)中利用同樣思想引導(dǎo)出角的誘導(dǎo)公式；在矩陣內(nèi)容中可以解決函數(shù)圖像在矩陣變換下的圖形解析式問題等.再如，在研究函數(shù)知識時常常構(gòu)造新函數(shù)：如遇見f（x）+xf′（x）的函數(shù)形式通常構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），這時問題就轉(zhuǎn)化為利用條件研究函數(shù)F（x）的相關(guān)知識，同樣如遇見f（x）-xf′（x）的函數(shù)形式一般構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x）ex

.這樣的例子在數(shù)學(xué)教學(xué)中太多了，在這就不一一列舉了.如果教師在教學(xué)中注意到這點，學(xué)生就會感受到新舊知識之間的聯(lián)系，就不會對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到懼怕，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大熱情.

六、反例構(gòu)造

在判斷數(shù)學(xué)命題的真假時，我們不應(yīng)只是用直接方法進行判斷，有些數(shù)學(xué)問題涉及“不是”“無限”“至少”“至多”等時，利用直接法證明有時比較困難，而結(jié)論的反向比較明確，像這種情況通常選取反證的方法進行構(gòu)造.

五、聯(lián)想構(gòu)造

學(xué)會聯(lián)想是學(xué)好數(shù)學(xué)的優(yōu)秀品質(zhì)之一，通過聯(lián)想學(xué)

生可以發(fā)現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，從而構(gòu)造出新的知識所需的數(shù)學(xué)模型.這需要教師對不同知識進行分析，剖析其隱含的相同點，即教師能夠從題目中的題設(shè)、條件出發(fā)，依據(jù)題目的特點聯(lián)想到處理問題的其他形式，使問題得于解決.例如，利用相關(guān)點代入法求函數(shù)關(guān)于點或者線的對稱，聯(lián)想到用同樣的解題思想解決圓錐曲線關(guān)于點、線的對稱圖形的方程；三角函數(shù)中利用同樣思想引導(dǎo)出角的誘導(dǎo)公式；在矩陣內(nèi)容中可以解決函數(shù)圖像在矩陣變換下的圖形解析式問題等.再如，在研究函數(shù)知識時常常構(gòu)造新函數(shù)：如遇見f（x）+xf′（x）的函數(shù)形式通常構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x），這時問題就轉(zhuǎn)化為利用條件研究函數(shù)F（x）的相關(guān)知識，同樣如遇見f（x）-xf′（x）的函數(shù)形式一般構(gòu)造函數(shù)F（x）=xf（x）ex

.這樣的例子在數(shù)學(xué)教學(xué)中太多了，在這就不一一列舉了.如果教師在教學(xué)中注意到這點，學(xué)生就會感受到新舊知識之間的聯(lián)系，就不會對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到懼怕，從而調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的極大熱情.

六、反例構(gòu)造

在判斷數(shù)學(xué)命題的真假時，我們不應(yīng)只是用直接方法進行判斷，有些數(shù)學(xué)問題涉及“不是”“無限”“至少”“至多”等時，利用直接法證明有時比較困難，而結(jié)論的反向比較明確，像這種情況通常選取反證的方法進行構(gòu)造.