彭吳桃

摘 要：本文從兩道課本習(xí)題出發(fā)，從兩圓相交、兩圓相切（內(nèi)切或外切）、兩圓相離、兩圓內(nèi)含這4個(gè)方面探討了兩圓方程相減的幾何意義.

關(guān)鍵詞：兩圓方程；相減；幾何意義

人教版高中數(shù)學(xué)必修2課本第152頁(yè)有這樣兩道題：

A組6 已知圓x2+y2=4和圓x2+y2+4x-4y+4=0關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，求直線(xiàn)l的方程.

解：兩圓心為C1（0，0），C2（-2，2），C1C2斜率為-1，中點(diǎn)為（-1，1），所以直線(xiàn)l斜率為1，過(guò)點(diǎn)（-1，1），求得直線(xiàn)l的方程為x-y+2=0.

A組7 求與圓C：（x+2）2+（y-6）2=1關(guān)于直線(xiàn)l：3x-4y+5=0對(duì)稱(chēng)的圓的方程.

解：設(shè)對(duì)稱(chēng)圓的圓心（a，b），所以（a，b）與（-2，6）關(guān)于l：3x-4y+5=0對(duì)稱(chēng)，

.

這是兩圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，兩圓半徑相同可以轉(zhuǎn)化成兩圓圓心關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，但是在練習(xí)的過(guò)程中細(xì)心的學(xué)生發(fā)現(xiàn)了A組6中兩圓方程相減即為所求對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程，這是否是必然呢？若是，A組7中圓C與直線(xiàn)l方程相加減為何又不是所求對(duì)稱(chēng)圓的方程呢？學(xué)生提問(wèn)引發(fā)筆者思考圓C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0這兩圓方程相減的幾何意義是什么呢？探討如下：

當(dāng)兩圓相交時(shí)

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為圓C1和圓C2的交點(diǎn)，則有A（x1，y1），B（x2，y2）滿(mǎn)足方程組x2+y2+D1x+E1y+F1=0 ①，

x2+y2+D2x+E2y+F2=0 ②， ①-②得（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0③，A（x1，y1），B（x2，y2）也滿(mǎn)足③，所以直線(xiàn)l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程.

當(dāng)兩圓相切（內(nèi)切或外切）時(shí)

當(dāng)把兩相交的圓逐漸往兩側(cè)移動(dòng)時(shí)，兩交點(diǎn)會(huì)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)時(shí)，兩圓外切，同時(shí)與兩圓相交的直線(xiàn)l也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)l成為兩外切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線(xiàn).因此，直線(xiàn)l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示兩外切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線(xiàn). 當(dāng)把兩相交的圓逐漸往中間移動(dòng)，到兩交點(diǎn)逐漸靠近，最終重合為一點(diǎn)時(shí)，兩圓內(nèi)切，同時(shí)，與兩圓相交的直線(xiàn)l也就與兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)l成為兩內(nèi)切圓的過(guò)同一切點(diǎn)的公切線(xiàn). 因此，直線(xiàn)l：（D1-D2）x+（E1-E2）y+（F1-F2）=0表示兩內(nèi)切圓的公切線(xiàn).

當(dāng)兩圓相離時(shí)

這里首先得了解式子的意義，先看看圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（x-a）2+（y-b）2=r2，當(dāng)點(diǎn)在圓外的時(shí)候表示點(diǎn)P到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)，所以表示點(diǎn)P到圓的切線(xiàn)長(zhǎng)，①-②得：

（x2+y2+D1x+E1y+F1）-（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0，此式可變?yōu)椋?，即點(diǎn)P到兩圓的切線(xiàn)長(zhǎng)相等. 因此，直線(xiàn)l的幾何意義是：到兩相離圓的切線(xiàn)長(zhǎng)相等的點(diǎn)的集合.

當(dāng)兩圓內(nèi)含時(shí)

對(duì)兩圓內(nèi)含且非同心圓，同3易知，直線(xiàn)l上的點(diǎn)到兩圓的切線(xiàn)長(zhǎng)相等.

由以上結(jié)論可知如果兩圓的半徑相等，無(wú)論是相交、相切、相離，兩圓方程相減所得就是兩圓的對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)方程. 可見(jiàn)A組6中結(jié)果是必然的. A組7中能否由圓方程與直線(xiàn)方程加減得到呢？很快我們發(fā)現(xiàn)直線(xiàn)方程的系數(shù)進(jìn)行了一定的化簡(jiǎn)，所以直接相加減是很容易出錯(cuò)的，以下給出新的解法：

設(shè)對(duì)稱(chēng)圓的方程為（x+2）2+（y-6）2-1+m（3x-4y+5）=0，即x2+y2+（4+3m）x-（12+4m）y+39+5m=0，半徑為1，所以=1，解之得m=-4或0（舍），

整理得對(duì)稱(chēng)圓的方程為：（x-4）2+（y+2）2=1.