摘 要：回想自己的學(xué)習(xí)時(shí)光，除了恩師的音容笑貌，印象最深的可能就是觸及我們靈魂深處的點(diǎn)撥與啟發(fā)，雖然可能僅是只語(yǔ)片言，但或幽默，或詼諧，或睿智，或犀利，或深刻，情趣盎然，讓人回味，令人深思，催人奮進(jìn)，畢生難忘，成為經(jīng)典. 因此，筆者試圖從課堂教學(xué)中的一些片斷出發(fā)，來(lái)談?wù)匋c(diǎn)評(píng)教學(xué)藝術(shù)的運(yùn)用.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)課堂教學(xué)；點(diǎn)評(píng)；藝術(shù)

教學(xué)藝術(shù)的高低不在于教師本人是否自我感覺(jué)良好，而取決于是否真正激起學(xué)生的內(nèi)心動(dòng)機(jī)與智慧，激發(fā)學(xué)生的興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的情感. 德國(guó)教育家第斯多說(shuō)：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授的本領(lǐng)，而在于激勵(lì)、喚醒、鼓舞.” 在教學(xué)過(guò)程中，及時(shí)、獨(dú)到的點(diǎn)評(píng)，可以觸及學(xué)生的內(nèi)心，使其震撼. 經(jīng)典的點(diǎn)評(píng)，會(huì)讓學(xué)生回味無(wú)窮，產(chǎn)生情感的共鳴. 如同琴師，聲聲語(yǔ)語(yǔ)無(wú)不在撥動(dòng)學(xué)生感情上的琴弦；如同畫家，筆筆畫畫都在構(gòu)描學(xué)生思想上的藍(lán)圖. 恰到好處的點(diǎn)評(píng)讓聽(tīng)課成為一種享受，使知識(shí)的形成水到渠成而又印象深刻. 本文結(jié)合課堂教學(xué)中的某些片斷，談?wù)匋c(diǎn)評(píng)教學(xué)藝術(shù)的運(yùn)用.

有圖象就不抽象——直觀性教學(xué)原則

直觀性就是化抽象為直觀，函數(shù)圖象的直觀特點(diǎn)有助于減輕學(xué)生的思維負(fù)擔(dān)，一定程度上克服函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的抽象性. “以形助數(shù)”，運(yùn)用直觀手段，使學(xué)生感到形象鮮明、生動(dòng)有趣，容易鞏固所學(xué)知識(shí).

案例1 對(duì)于函數(shù)f（x）=sinx，sinx≤cosx，

cosx，sinx>cosx，給出下列四個(gè)命題：

①該函數(shù)是以2π為最小正周期的周期函數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)x=π+kπ（k∈Z）時(shí)，該函數(shù)取得最小值-1；③該函數(shù)的圖象關(guān)于x=+2kπ（k∈Z）對(duì)稱；④當(dāng)且僅當(dāng)2kπ

圖1

解：在同一坐標(biāo)系中畫出正、余弦函數(shù)的圖象，首先明確它們的交點(diǎn)就是函數(shù)值相等的點(diǎn). 只要“看圖說(shuō)話”，一目了然，很容易得到正確答案為①④.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)中有很多問(wèn)題可以從形的角度來(lái)思考，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化和直觀化的目的. 當(dāng)然也要注意華羅庚先生說(shuō)的“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，真正做到“形影相隨”. 運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問(wèn)題，應(yīng)該遵循簡(jiǎn)單化原則、等價(jià)性原則和雙向性原則.

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）=（x2-3x+3）ex，其定義域?yàn)閇-2，t]，設(shè)m=f（-2），n=f（t）.

（1）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在[-2，t]上是單調(diào)函數(shù)；

（2）試判斷m，n的大小，并說(shuō)明理由；

（3）試討論關(guān)于x的方程f（x）=a的根的情況.

誰(shuí)的地盤誰(shuí)做主——主元思想的運(yùn)用

多變量的函數(shù)問(wèn)題，往往是學(xué)生感覺(jué)比較困難的. 針對(duì)多個(gè)變量的情況，若已知某個(gè)變量的取值范圍，則可將此變量當(dāng)作未知量（即主元），實(shí)現(xiàn)“反客為主”，避免分類討論，從而使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化. 這也是轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn).

案例2 設(shè)不等式ax2-2x-a+1<0對(duì)任意a∈[-2，2]都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.

解：設(shè)f（a）=（x2-1）a-2x+1，原不等式即f（a）<0對(duì)任意a∈[-2，2]都成立，而函數(shù)y=f（a）的圖象是一條直線，所以當(dāng)且僅當(dāng)f（-2）<0，

f（2）<0，即-2（x2-1）-2x+1<0，

2（x2-1）-2x+1<0，解得x∈

，

，這就是x的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)閍的取值范圍已知，所以讓a當(dāng)“主人”，使得關(guān)于x的二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為a的一次函數(shù)，避免了煩瑣的分類討論，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化，真正實(shí)現(xiàn)“誰(shuí)的地盤誰(shuí)做主”.

練習(xí)：已知函數(shù)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1.若a，b∈[-1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，有>0.

（1）證明：f（x）在[-1，1]上是單增函數(shù)；

（2）若f（x）≤m2-2am+1對(duì)所有的a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范圍.

動(dòng)中有靜，以靜制動(dòng)——特殊值法的運(yùn)用

案例3 A，B是過(guò)橢圓+=1（a>b>0）右焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O的弦MN∥AB，且

該題的結(jié)論是定值決定了不管在什么位置，其值不變的特征，因此只要考慮AB垂直于x軸的情況，即得答案.特殊值法對(duì)付小題是個(gè)不錯(cuò)的選擇.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于定點(diǎn)、定值問(wèn)題，由于在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，其值是保持不變的，也就是說(shuō)與圖形的位置無(wú)關(guān)，因此，可讓動(dòng)點(diǎn)靜止于某特殊位置來(lái)計(jì)算定值，這就是“以靜制動(dòng)”. “以靜制動(dòng)”的過(guò)程其實(shí)也是一般問(wèn)題特殊化的過(guò)程.

練習(xí)：過(guò)拋物線y=ax2（a>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P，Q兩點(diǎn)，若線段PF與FQ的長(zhǎng)分別是p，q，則+等于__________.

向量條件幾何化——向量方法的運(yùn)用

向量既有大小又有方向的本質(zhì)屬性決定了向量問(wèn)題可從數(shù)和形這兩個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)，而往往從形的角度來(lái)思考，可以減少運(yùn)算量，使得問(wèn)題解決起來(lái)比較方便.

案例4 點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若++2=0，則△AOC的面積與△ABC的面積之比為_(kāi)_________.

[B][A][C][D][O][E]

圖2

解：如圖2所示，D是線段AB的中點(diǎn)，由向量的加法運(yùn)算，有+=2，所以=-，故點(diǎn)C，O，D，E共線，且CO=DO，AD=BD，所以面積之比是1∶4.

點(diǎn)評(píng)：不少數(shù)學(xué)高考試題中，問(wèn)題的條件往往以向量的形式給出，因此在審題時(shí)，要善于利用向量形的特征，洞悉圖形所隱含的特殊關(guān)系，這是破解考題的關(guān)鍵.

練習(xí)：在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，且·=（a2-ac），則角B的大小為_(kāi)_______.

喝牛奶要品出青草的芳香——透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)

案例5 設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）>0，xf′（x）-f（x）<0，則對(duì)任意的正數(shù)a，b，若a>b時(shí)，則必有（ ）

A. af（b）

B. bf（a）

C. af（a）

D. bf（b）

解：由xf′（x）-f（x）=xf′（x）-x′f（x）<0，聯(lián)想到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，即

′=<0，于是是減函數(shù)，所以<，所以選B. 本題的關(guān)鍵是由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則展開(kāi)聯(lián)想，從而構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)已知條件，可以確定函數(shù)的單調(diào)性，由其單調(diào)性來(lái)解題.

點(diǎn)評(píng)：要從牛奶中品出青草的芳香，就需要我們能夠靜下心來(lái)，認(rèn)真思考，用心體會(huì). 透過(guò)表象，揭示問(wèn)題的實(shí)質(zhì).

練習(xí)：說(shuō)說(shuō)以下各集合的區(qū)別：

一個(gè)好題猶如一部偵探小說(shuō)——數(shù)學(xué)美的欣賞運(yùn)用

一個(gè)好題因其構(gòu)思的巧妙、思維的縝密，就好像一部情節(jié)跌宕、環(huán)環(huán)相扣、引人入勝、耐人尋味的偵探小說(shuō). 隨著一個(gè)個(gè)條件的利用、挖掘，離目標(biāo)越來(lái)越接近時(shí)的那一刻，令人嘆為觀止，拍案叫絕.

案例6 已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（-1）=0，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）-x≥0，且當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤

.

（1）求f（1）的值；

（2）證明：a>0，c>0；

（3）當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=f（x）-mx是單調(diào)函數(shù)，求證：m≤0或m≥1.

解：（1）因?yàn)閒（1）≤

而要使當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，g（x）=f（x）-mx是單調(diào)函數(shù)，只要函數(shù)的對(duì)稱軸x=≥1或x=≤-1，即m≥b+2a或m≤b-2a，因此問(wèn)題的關(guān)鍵是要求出a的值，而從已知僅得a+c=，且似乎已沒(méi)有什么條件可利用，陷入絕境.

事實(shí)上，4ac≥（b-1）2=

點(diǎn)評(píng)：在“山重水復(fù)疑無(wú)路”的困境中，巧妙利用基本不等式使得此問(wèn)題的解決過(guò)程出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的轉(zhuǎn)機(jī). 編題者的睿智令人折服，余音繞梁，回味無(wú)窮. 只要懂得欣賞數(shù)學(xué)美，懂得數(shù)學(xué)對(duì)思維訓(xùn)練的價(jià)值，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就變成一件快樂(lè)的事情.

數(shù)學(xué)就是一種游戲——游戲的潛規(guī)則

案例7 在立體幾何的教學(xué)中，“眼見(jiàn)不一定為實(shí)”（空間想象能力）. 因?yàn)閷?duì)于剛開(kāi)始學(xué)習(xí)立體幾何的學(xué)生來(lái)說(shuō)，最容易將立體的圖形看成平面圖形，從而被自己的眼睛所蒙蔽；導(dǎo)數(shù)一章中，“面對(duì)三次函數(shù)，你還用Δ，你就out了”；解析幾何中，“一點(diǎn)一線伴探究，有勇有謀話運(yùn)算（策略也很重要）”；三角函數(shù)中，“從局部到整體（周期性）”；數(shù)學(xué)思想教學(xué)中，“弟兄七八個(gè)，總得分先后（分類討論）”； 線性規(guī)劃中，“以線定界，取點(diǎn)定域”等等. 也可以用詩(shī)詞的形式來(lái)總結(jié)一些問(wèn)題、方法、想法. “不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”說(shuō)明對(duì)概念的理解存在缺陷；“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”說(shuō)明堅(jiān)持到底是值得的； “忽如一夜春風(fēng)來(lái)，千樹(shù)萬(wàn)樹(shù)梨花開(kāi)”說(shuō)明解題后反思、感悟的重要性.

點(diǎn)評(píng)：讓知識(shí)插上情感的翅膀，讓教學(xué)披上藝術(shù)的靈光，提高課堂教學(xué)的藝術(shù)性，讓學(xué)生對(duì)新知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、開(kāi)拓、利用、揭示，對(duì)新問(wèn)題的解決、拓展、延伸、歸納，都在教師風(fēng)趣、幽默且富有哲理的語(yǔ)言表達(dá)中得到點(diǎn)撥、啟發(fā)，能令學(xué)生為之振奮，更叫學(xué)生深為敬佩.

總之，我們應(yīng)該讓課堂教學(xué)中的點(diǎn)評(píng)成為一種撥動(dòng)心扉的力量，一種播種心田的藝術(shù)，一種陶冶心靈的美，使平凡成為經(jīng)典，成為一種征服人心的力量，體現(xiàn)出畫龍點(diǎn)睛的神奇魅力.