錢業(yè)洪

摘 要： 線性規(guī)劃是生產(chǎn)生活中追求目標(biāo)最優(yōu)化的重要手段，LINGO作為解決規(guī)劃問題的主要軟件，其作用已延伸到建模、分析等領(lǐng)域，不僅可以簡化計算過程，而且可以為我們進一步研究線性規(guī)劃問題各參數(shù)、變量之間的內(nèi)在聯(lián)系給出明確的答案。

關(guān)鍵詞： LINGO 敏感性分析 報告解讀

線性規(guī)劃問題由目標(biāo)函數(shù)及約束條件構(gòu)成，對一個線性規(guī)劃問題的求解往往只限于追求其目標(biāo)函數(shù)的最佳值和相應(yīng)目標(biāo)函數(shù)中決策變量的最優(yōu)解。但是在實際應(yīng)用中，我們需要對影響目標(biāo)函數(shù)值的一系列因素進行研究，我們把這個過程叫做敏感分析。而LINGO軟件是最適合對線性規(guī)劃問題做敏感分析的軟件，其中對敏感性分析報告的正確解讀是我們?nèi)绾伟盐漳骋痪唧w線性規(guī)劃模型的關(guān)鍵。

一、影子價格（對偶價格）的經(jīng)濟意義

奶制品生產(chǎn)計劃問題：一奶制品加工廠用牛奶生產(chǎn)A■、A■兩種奶制品，1桶牛奶可以在甲車間用12h加工成3kg A■，或者在乙車間用8h加工成4kg A■。根據(jù)市場需求，生產(chǎn)出的A■、A■都能售出，且每千克A■獲利24元，每千克A■獲利16元。現(xiàn)在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應(yīng)，每天正式工人總的勞動時間為480h，并且甲車間的設(shè)備每天最多能加工100kg A■，乙車間設(shè)備的加工能力可以認(rèn)為沒有上限限制（即加工能力足夠大）。試為該廠制訂一個生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大，并進一步討論以下附加問題：若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小時幾元？

報告解讀：

（一）最優(yōu)解的解讀

最優(yōu)解是x■=20，x■=30，最優(yōu)值為z=3360，即用20桶牛奶生產(chǎn)A■，30桶牛奶生產(chǎn)A■，可獲最大利潤3360元。

（二）影子價格的經(jīng)濟意義

首先，3個約束條件的右端不妨看做三種“資源”：原料、勞動時間、車間甲的加工能力。輸出中SLACK OR SURPLUS給出這三種資源在最優(yōu)解下是否有剩余：原料、勞動時間的剩余均為零（即約束為緊約束），車間甲尚余40kg加工能力（不是緊約束）。

其次，目標(biāo)函數(shù)可以看做是“效益”，稱為緊約束的“資源”一旦增加，“效益”必然隨之提高。輸出中DUAL PRICES給出這三種資源在最優(yōu)解下“資源”增加1個單位時“效益”的增量：原料增加1個單位（1桶牛奶）時，利潤增長48元，勞動時間增加1個單位（1h）時，利潤增長2元，而增加非緊約束車間甲的能力顯然不會使利潤增長。這里“效益”的增量可以看做“資源”的潛在價值，經(jīng)濟學(xué)上稱為“影子價格”（shadow price），即1桶牛奶的影子價格是48元，1h勞動的影子價格是2元，車間甲生產(chǎn)能力的影子價格是0。聘用臨時工人以增加勞動時間，付給的工資低于勞動時間的影子價格才可以增加利潤，所以工資最多是2元/h。

（三）影子價格的進一步探討

現(xiàn)在我們可以提出這樣一個問題：若用35元可以買到1桶牛奶，是否做這項投資？若投資，每天最多購買多少桶牛奶？

根據(jù)影子價格的含義，我們馬上可以得出這樣的結(jié)論：用35元可以買到1桶牛奶，低于48元1桶的影子價格，當(dāng)然應(yīng)該做這項投資。

進一步追問：根據(jù)“RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED：”中“allowable increase”的描述，當(dāng)“MILK原料最多增加10桶”時，是不是仍可保證目標(biāo)函數(shù)是最優(yōu)值？答案是不確定。

二、目標(biāo)函數(shù)多因素條件改變下的百分百法則

門窗生產(chǎn)計劃：某工廠要生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品：門和窗，經(jīng)測算，每生產(chǎn)一扇門需要在車間1加工1小時、在車間3加工3小時；每生產(chǎn)一扇窗需要在車間2和車間3各加工2小時。而車間1每周可用于生產(chǎn)這兩種新產(chǎn)品的時間為4小時、車間2為12小時、車間3為18小時。已知每扇門的利潤為300元，每扇窗的利潤為500元。而且根據(jù)經(jīng)市場調(diào)查得到的這兩種新產(chǎn)品的市場需求狀況可以確定，按當(dāng)前的定價可確保所有的新產(chǎn)品都能銷售出去。如果門和窗的單位利潤都發(fā)生變化，最優(yōu)解會不會發(fā)生變化？對總利潤又會產(chǎn)生怎樣的影響？

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的兩個系數(shù)同時改變的時候，要判斷是否會改變最優(yōu)解和目標(biāo)函數(shù)值，應(yīng)通過百分之百法則確定，即如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時變動，計算出每一系數(shù)變動量占該系數(shù)允許變動量（允許的增量或允許的減量）的百分比，然后將各個系數(shù)的變動百分比相加，如果所得的和不超過100%，則最優(yōu)解不變；如果超過100%，則不能確定最優(yōu)解是否改變，只能通過重新規(guī)劃求解判斷。

在這里如果我們假定每扇門的利潤增加到450元，而每扇窗的利潤降到400元，那么利用百分之百法則，會有：

每扇門的利潤變化：300→450

占允許增加量的百分比=■×100%=33.33%

每扇窗的利潤變化：500→400

占允許增加量的百分比=■×100%=33.33%

總和=66.7%

因為變動的百分比之和不超過100%，所以可以確定最初的最優(yōu)解（2，6）沒有改變。

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