郭林濤

摘 要：概率統(tǒng)計(jì)是研究自然界中隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的數(shù)學(xué)方法。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，概率統(tǒng)計(jì)知識越來越受到人們的重視，它被廣泛應(yīng)用到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、國民經(jīng)濟(jì)以及我們?nèi)粘Ｉ钪?。本文主要圍繞貝努里概型，正態(tài)分布，數(shù)學(xué)期望的有關(guān)知識，探討概率統(tǒng)計(jì)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：貝努里概型 正態(tài)分布 數(shù)學(xué)期望

中圖分類號：O21 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2013）03（c）-0249-01

概率統(tǒng)計(jì)作為一門數(shù)學(xué)分支，它與我們的生活有著千絲萬縷的聯(lián)系。人們通過觀察隨機(jī)現(xiàn)象研究其統(tǒng)計(jì)規(guī)律把握事物本質(zhì)，從而將概率統(tǒng)計(jì)思想用于實(shí)踐指導(dǎo)我們行動(dòng)。下面是有關(guān)概率統(tǒng)計(jì)知識的實(shí)際應(yīng)用問題。

1 貝努里概型在保險(xiǎn)業(yè)中的應(yīng)用

在現(xiàn)實(shí)生活中我們經(jīng)常會接觸到社會保險(xiǎn)，出于對自身利益的考慮，有些人可能會問：保險(xiǎn)公司和投保人誰是最大受益者呢？如果你了解概率統(tǒng)計(jì)知識，不防自己算一下。

例：假設(shè)有2500個(gè)同一年齡和同一社會階層的人參加了某一保險(xiǎn)公司的人壽保險(xiǎn)。在1月1日這一天，每個(gè)參加保險(xiǎn)的人支付120元保險(xiǎn)費(fèi)給公司，那么其死亡時(shí)，家屬就可以從公司里領(lǐng)取20000元保險(xiǎn)金。設(shè)在一年里每個(gè)人死亡的概率為0.002，問：“保險(xiǎn)公司虧本”的概率是多少？

分析：假設(shè)“一個(gè)人在一年內(nèi)死亡與否”為一次試驗(yàn)，則有2500人參加了這一保險(xiǎn)，于是以上問題就轉(zhuǎn)化為一個(gè)2500重的貝努里概型，同時(shí)，若將每人在一年內(nèi)死亡的概率假定為P=0.002。設(shè)參加保險(xiǎn)的人每年的死亡記錄為X，則：

設(shè)“保險(xiǎn)公司虧本”為事件A，x為死亡人數(shù)，則公司應(yīng)支出20000x（元），而公司的總收入為2500×120（元）。我們知道，如果公司的支出大于其總收入，即則公司虧本。

現(xiàn)在解這一不等式，不難得出x>15

于是

由此得出保險(xiǎn)公司“受益匪淺”，基本上不會虧本。

2 正態(tài)分布在選擇出行路線上的應(yīng)用

正態(tài)分布有著極其廣泛的實(shí)際背景，它普遍存在于數(shù)學(xué)、物理、醫(yī)學(xué)及工程等領(lǐng)域，所以實(shí)際問題中很多隨機(jī)變量的概率分布都服從正態(tài)分布。比如物理學(xué)中測量同一物體的隨機(jī)誤差；醫(yī)學(xué)中紅細(xì)胞數(shù)、血紅蛋白量等；教育統(tǒng)計(jì)中，學(xué)生的智力水平，包括學(xué)習(xí)能力，實(shí)際動(dòng)手能力等；在生產(chǎn)條件一定的情況下，產(chǎn)品的強(qiáng)力、口徑、長度等指標(biāo)都近似地呈正態(tài)分布。下面是正態(tài)分布在選擇出行路線上的一個(gè)具體應(yīng)用。

例：某人從北京某地乘車前往北京站搭車，可供選擇的路線有兩條：（1）乘坐市內(nèi)公交車。優(yōu)點(diǎn)：路程較短；缺點(diǎn)：交通擁擠，所需時(shí)間（單位：分）服從正態(tài)分布。（2）乘坐地鐵。優(yōu)點(diǎn)：交通阻塞少；缺點(diǎn)：路線較長，所需時(shí)間服從正態(tài)分布。

問題：若可用時(shí)間為68分鐘，應(yīng)選擇哪條路線？若可用時(shí)間為62分鐘，應(yīng)選擇哪條路線？

為了能及時(shí)趕到車站，按原計(jì)劃出行，此人運(yùn)用正態(tài)分布知識提前作了以下分析：

如果實(shí)際問題滿足給定的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，設(shè)，通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，已知可求，同樣已知可求；但如果問題是非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（如上例），則通過∶N（1，0），可把非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。這里將走第一條路線及時(shí)趕的時(shí)間設(shè)為分鐘，走第二條路線及時(shí)趕到的時(shí)間設(shè)為分鐘。

（1）68分鐘內(nèi)第一條路線及時(shí)趕到的概率為：

；

第二條路線及時(shí)趕到的概率為：

所以應(yīng)走第二條路線。

（2）62分鐘內(nèi)第一條路線及時(shí)趕到的概率為：

第二條路線及時(shí)趕到概率為：

所以應(yīng)走第一條路線。

生活無形中會涉及到很多概率統(tǒng)計(jì)知識，如果我們留心身邊的數(shù)學(xué)知識，會驚奇的發(fā)現(xiàn)在這平凡的生活中數(shù)學(xué)發(fā)揮著多么大的作用。

3 數(shù)學(xué)期望在求解最大利潤問題中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)期望是研究隨機(jī)變量總體取值的平均水平的一個(gè)重要的數(shù)字特征。實(shí)際問題中尤其是經(jīng)濟(jì)決策中，數(shù)學(xué)期望為決策者獲取最大利潤提供了重要的理論依據(jù)。下面就是一個(gè)應(yīng)用期望進(jìn)行經(jīng)濟(jì)決策的的問題。

例：某人投資100萬元，期限為一年，可供選擇的投資方案有兩種：一是購買股票；二是存入銀行獲取利息。如果買股票，經(jīng)濟(jì)形勢好可獲利40萬元，形勢中等可獲利10萬元，形勢不好損失20萬元。如果存入銀行，假設(shè)利率為7.6%，可得利息76000元。已知經(jīng)濟(jì)形勢好、中、差的概率分別為30%、50%、20%，試問哪一種投資方案可使投資者的收益較大？

分析：從問題的已知條件可知，當(dāng)經(jīng)濟(jì)形勢好和中等時(shí)，購買股票是收益較大；但如果經(jīng)濟(jì)形勢不好，那么采取存銀行的方案收益較大。由于我們無法預(yù)料經(jīng)濟(jì)形勢，因此需要比較兩種投資方案獲利的期望大小。

先來計(jì)算購買股票的獲利期望E1=40×0.3+10×0.5+（-20）×0.2=13（萬元）

再計(jì)算存入銀行的獲利期望是E2=7.6（萬元）

因?yàn)镋1>E2，所以購買股票的期望收益比存入銀行的期望收益大，應(yīng)采用購買股票的方案。

可見對于帶有一定的隨機(jī)性的風(fēng)險(xiǎn)投資，正確運(yùn)用數(shù)學(xué)期望這一隨機(jī)變量的總體特征來預(yù)計(jì)收益或決策投資是比較客觀的。

4 結(jié)語

作為數(shù)學(xué)的一個(gè)非常重要的分支—— 概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，在知識產(chǎn)業(yè)化的今天也正在或?qū)⒁l(fā)揮它應(yīng)有的作用，而且在很多領(lǐng)域已經(jīng)取得了突破性的發(fā)展。因此，將概率統(tǒng)計(jì)知識應(yīng)用于學(xué)習(xí)、工作及日常生活中，能夠幫助我們獲得可靠性的結(jié)論。

參考文獻(xiàn)

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