俞新龍

“鐵打的校園，流水的學生”，2013年高考已經圓滿結束，馬上就要步入2014年的高考復習，雖說高考復習“歲歲年年題不同”，但實際是“年年歲歲法相似”.在此，本人愿意將2013年高考復習中同學們在解題方面需要特別注意的幾方面提出來，并通過復習中遇到的具體實例講解，供同學們參考，希望同學們能以一個良好的開端取得事半功倍的效果.

一、高考復習應重視基礎

這是一個老生常談的話題，簡單地講就是要重視教材中的概念、定義、公理、定理等基本知識和在學習中得到的一些有益于解題的結論.只有夯實了基礎，解題才能得心應手，水到渠成.

1. 重視概念、定義、公理、定理等基本知識.

數學概念、定義、公理、定理等基本知識如同造房子的地基，萬丈高樓拔地起，靠的是牢固的地基.因此，數學基礎是解題之本，必須記憶、理解才能應用.所以，同學們應該同背語文、英語學科一樣的重視將它們熟背下來.

例1. 設點P（a，b）為拋物線y=-2x2上任一點，則 -b的最小值為__________.

解析：該題如果通過b=-2a2代入解答，難以做出來，其實，本題考的僅是拋物線的定義：到焦點的距離等于到準線的距離.如圖1，因為b<0，所以 -b的幾何意義是拋物線上的點P與定點A（3，-1） 的距離加上P到x軸的距離PQ，而PQ=PF- ，故 -b=AP+PF- ≥AF- = - =3，即最小值為3.

例2. 設函數f（x）的導函數為 f′（x），對任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，則（ ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3）

B. 3f（ln2）=2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3）

D. 3f（ln2）與2f（ln3） 的大小不確定

解析：乍看題目，本題比較難找解題思路，但我們可以聯(lián)想導數求導法則中的商的導數公式（ ）′= ， f′（x）> f（x）等價于 f′（x）- f（x）>0， 故可構造函數 h′（x）=[ ]′= >0，只要考慮g′（x）=g（x）即可，在中學階段這樣的函數容易想到是g（x）=0或g（x）=ex，故可以構造函數 h（x）= ，并且知 h（x）是R上增函數，從而h（ln2）

另一方面，我們也可以從選擇子特征進行聯(lián)想. 3f（ln2）與2f（ln3）的大小比較等價于 與 的大小比較，從而可以聯(lián)想到考慮函數 h（x）= 的單調性，由f′（x）> f（x）知f′（lnx）> f（lnx），所以 h′（x）= = >0，故 h（x）= 是增函數，由h（2）

也就是說，本題實際上僅考查導數運算中的商的導數公式這一法則.

上面兩例舉的是教科書中的基礎問題，同學們還應注意提高自己即時學習基礎知識的能力.

例3. 在平面斜坐標系xOy中∠xOy=45°，點P的斜坐標定義為：“若 =x0 +x0 （其中 ， ， 分別為與斜坐標系的x軸，y軸同方向的單位向量），則點P的坐標為（x0， y0）.” 若F1（-1，0），F2（1，0），且動點M（x，y）滿足| |=| |，則點M在斜坐標系中的軌跡方程為（ ）

A. x- y=0 B. x+ y=0

C. x-y=0 D. x+y=0

解析：本題的難點在于理解新概念：斜坐標定義，之后只要仿求即可.設M（x，y）， 則 = - -（x +y ）=-（1+x） -y ，故| |= = = ，同理| |= ，所以（1+x）2+ （1+x）y+y2=（1-x）2- （1-x）y+y2，化簡得 x+y=0.

2. 重視有益于解題結論的記憶.

除了教科書中用黑體表示的基礎知識外，同學們在平時還能學習到許多有用的結論，這些結論的記憶、應用對解題的幫助也是很大的，也應關注它的記憶.

例4. 已知？駐ABC內接于橢圓 + =1，D、E、F分別是AB、BC、CA的中點，若AB、BC、CA所在直線的斜率為k1、k2、k3，OD、OE、OF的斜率為k1′、k2′、k3′，當k1+k2+k3=0時，求證 + + 為常數.

解析：審清題意，作出解題用圖（如圖2）后，因為題中數據非常有限，所以“丈二和尚摸不著頭腦”是難免的，總感覺很難入手解答.但其實本題僅是下面圓錐曲線中一個常用結論的應用.

結論：斜率為k 的直線與橢圓 + =1（a，b>0；a≠b）相交于A、B兩點，線段AB中點為P，若OP斜率為k′，則k·k′=- .

用？駐判別式法或點差法均可以證明，此處略.

如若我們熟記了該結論，則當解答例4時，就可以從AB斜率、OD斜率進行思考，亦即可以得到如下證明方法：

因為k1·k1′=- ，k2·k2′=- ，k3·k3′=- ，所以 + + =-2k1-2k2-2k3=0為常數.

并且以上證明過程呈現出k1+k2+k3為常數？圳 + + 為常數；k1′+k2′+k3′為常數？圳 + + 為常數.

例5. 在？駐ABC中，M是BC的中點，AM=3，BC=10，則 · =________.

解析：平行四邊形對角線性質：兩條對角線的平方和等于四條邊的平方和，同學們可以利用該性質來解.如圖3，將？駐ABC補成平行四邊形ABDC，則BC2+AD2=2（AB2+AC2），得AB2+AC2=68，又cosA= = ，所以 · =AB·AC·cosA=-16.當然，平行四邊形對角線性質也有向量形式： + = =2 和 - = ，則兩者平方作差得4 · =4AM2-BC2=-64，所以 · =-16.

二、注意模式化解題

因為考試是限時作業(yè)，除去閱讀題目的時間，真正留下答題的時間大約90分鐘，時間緊，任務重，所以要盡可能的熟悉各種題型的解法，不求熟能生巧，但要達到“條件反射式”的答題，這就需要同學們在復習中注意反思，總結各種題型的解法，做到“題來法出”.下面，通過具體例子給同學們羅列幾類，希望同學們有選擇、有重點的去總結解題模式.

1. 特殊法.

特殊法是指通過特殊的情形（可以是特殊值、特殊位置、特殊幾何體等）來求解一般情況下的答案，一般用在客觀題（即選擇題和填空題）中，但也可以用在解答題中尋找解題思路.同學們知道一般情況下成立，則特殊情況必成立，這是特殊法解題的依據.特殊法以解題快捷、準確出名，但同學們只有在平時解題中有目的訓練、應用才能較好掌握.

例6. 見例2.

解析：既然該題沒有具體解析式，那么可以通過特殊函數來解決. 例如取f（x）=-1，則 f′（x）=0> f（x），而此時3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2，所以3f（ln2）<2f（ln3）.顯然，這種方法比前面2種方法都簡單.

例7. 在？駐ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果a，b，c成等差數列，則 =__________.

解析：會由2b=a+c得2sinB=sinA+sinC嘗試解本題，立馬被否決，思維易停止.本題的一種解法是余弦定理代入，cosA= = = ，同理cosC= ，將兩式代入目標式得 = = ，計算、化簡要求較高，而如果同學們想到用特殊三角形來解，則比較方便，如可以是邊長為3、4、5的直角三角形，當然取正三角形是最簡單的， = = .這也告訴同學們，特殊法中“特殊”的程度會影響解題的快慢，所以用特殊法解題時應盡可以取最特殊的情況.

例8. 如圖4，在？駐OAB中，C為OA上的一點，且 = ，D是BC的中點，過點A的直線l∥OD，P是直線l上的動點，若 =？姿1 +？姿2 ，則？姿1-？姿2=__________.

解析：該題的解題入口：向量共線定理較難發(fā)現，因為 = - = -（？姿1 +？姿2 ）=-？姿1 +（ -？姿2） ， = + ， ∥ ，所以-？姿1= -？姿2，則？姿1-？姿2=- . 但是，同學們可以將其特殊化來降低難度，簡單化求解，例如如圖5，取OA⊥OB，A（3，0），B（0，2），則C（2，0）， D（1，1），所以直線l ∶ y=x-3，設P（x， x-3）， 則由 =？姿1 +？姿2 得（x， x-3）=（2？姿2， 2？姿1），從而x=2？姿2，x-3=2？姿1，所以？姿1-？姿2=- .當然最簡單的應該是取A點即為P點，此時？姿1=0，？姿2= ，則？姿1-？姿2=- .

2. 橢圓、雙曲線離心率的求解離不開圖形性質的應用.

橢圓、雙曲線的離心率問題在高考中出現的頻率非常高，并且一般都可以通過幾何圖形性質得到簡解，當然，老老實實計算也可以做出來，但兩者所用時間差別很大，是區(qū)分同學們數學素養(yǎng)的題目之一.

例9. 已知雙曲線C： - =1（a，b>0），過點P（1，2）作圓x2+y2=1的兩條切線，切點分別為A、B，若直線AB恰好與雙曲線的一條漸近線平行，則雙曲線C的離心率是（ ）

A. B. 2 C. D.

解析：同學們比較多的是通過求切點A、B坐標，然后由兩點式斜率公式來做的，B（1，0），A點坐標計算較繁，要通過相切，聯(lián)立方程等方法求解得A（- ， ）， 從而kAB=- . 而實際上，如果用圓的有關性質馬上可以得AB斜率，如圖6，因為AB⊥OP，所以由kOP=2立得kAB=- ，從而 = ，解得離心率e= .

例10. 已知拋物線y2=2px（p>0）與雙曲線 - =1（a，b>0）有相同的焦點F，A點是兩曲線的一個交點，且AF⊥x軸，若l為雙曲線的一條斜率大于0的漸近線，則l的斜率可以在下列給出的某個區(qū)間內，該區(qū)間可以是（ ）

A. （0， ）

B.（ ，1）

C.（1， ）

D.（ ，+∞）

解析：如圖7，利用拋物線方程得A（ ，p），代入雙曲線方程得 - =1，解得p2=（12+8 ）a2或p2=（12-8 ）a2（舍去），故雙曲線方程為 - =1，則漸近線l的斜率為 > .但實際上，同學們可以從圖形中觀察出漸近線l的斜率大于OA的斜率2. 多么方便??！

3. 向量問題坐標解.

向量客觀題在高考中出現的次數較多，已經成為命題創(chuàng)新的主陣地之一.數、形兼?zhèn)涫窍蛄康奶卣?，因此，如果能通過建系、用代數方法求解，則無疑能降低許多難度.

例11. 已知 ， 為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足 + =？姿（ + ）（？姿∈R），則| |的最小值為________.

解析：本題有如下一些解法：

法1：（共線定理）由 + =？姿（ + ）得 = （- ） + （- ），由于 + =1，故 、- 、- 共線，又 ， 為互相垂直的單位向量，所以| |min= .

法2：（坐標法）注意到 ， 為互相垂直的單位向量，不妨設 =（1，0）， =（0，1），若記 =（x，y），則（x+1，y）=？姿（x，y+1），接下去又有幾種不同的思考方式：

思考1：由x+1=？姿x，y=？姿（y+1），得x= ，y= ，故| |= = ，問題成為t= 的最小值，一般用導數或經過配湊后的基本不等式解決問題，下略.

思考2：注意到 + =？姿（ + ）實際上就是 + 與 + 共線，故有（x+1）（y+1）-xy=0，即x+y+1 =0，故可以看成是直線上的點到原點的最小距離，即為原點到直線的距離；也可以消元或用基本不等式.

同學們，你認為命題人到底想通過本題考查什么呢？主要是考查向量坐標解法與共線定理的應用，所以法2的思考2才是本題最好的解法，并且同學們可以據此方法類似的解決下面的變式.

變式1. 已知 ， 為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足 +2 =？姿（2 - ）（？姿∈R），則| |的最小值為________.

變式2. 已知 ， 為平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量 滿足（ + ）·（ + ）=0，則| |的最小值為________.

變式3. 已知 ， 為平面內兩個互相垂直的向量，且| |=1，| |=2，若向量 滿足 +2 =？姿（ - ）（？姿∈R），則| |的最小值為________.

變式4. 已知向量 ， ， 滿足| |=| |= · =2， （ - ）·（ -2 ）=0，則| - |的最小值為________.

變式1和變式2基本上與原題相同，僅為簡單模仿；變式3僅改變了b向量的坐標，簡單升級；變式4要求同學們能靈活建系并得到相應向量坐標，是能力的提高.

例12. 在Rt？駐ABC中，C=90°，AC=4，BC=3，G為？駐ABC的重心，點P、Q滿足 =t ， =t ，（0≤t≤1），則| + + |的最小值為_______.

解析：該題如果從純粹的向量角度求解比較難，如果能從直角三角形考慮建系做，則就能通過計算解決. 以CA、CB為x軸、y軸建立直角坐標系，則A（4，0），B（0，3），C（0，0），從而G（ ，1），由 =t ， =t 得P（0，3-3t），Q（4t，0），則| + + |= |（4t-4，-3t）|= = ≥ ，當t= 時取到.這樣就變成了一個求二次函數最值的問題.

4. 焦點三角形問題的突破.

我們把橢圓或雙曲線的兩個焦點F1、F2及圓錐曲線上任一點P構成的三角形稱為焦點三角形，以這個三角形中的某些元素作為條件的圓錐曲線問題稱為焦點三角形問題，該類問題在圓錐曲線的出現頻率相當高，是一類常見問題，但也是同學們比較懼怕的，因為總是感覺找不到解題的入口.其實，這類焦點三角形問題有一個解決的“基本程式”，同學們只要掌握了這個“基本程式”，則焦點三角形問題就能迎刃而解.

例13. 已知橢圓 + =1的焦點為F1、F2，P是橢圓上一點且∠F1PF2=60°，求？駐F1PF2的面積.

解析：如圖8，根據橢圓定義可以知道|PF1|+|PF2|=8，在？駐F1PF2中，運用余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=（|PF1|+|PF2|）2-3|PF1| |PF2|，即48=64-3|PF1| |PF2|，|PF1||PF2|= ，再由三角形面積的正弦定理得 = |PF1||PF2|sin∠F1PF2= .

例13的分析過程，基本代表了解決焦點三角形問題的基本程式，即一般可以分以下幾步操作：

第1步，先運用橢圓或雙曲線的定義得到|PF1|+|PF2| =2a或||PF1|-|PF2||=2a；

第2步，抓住其中的一個內角（比較多的為∠F1PF2）運用余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|· |PF2|cos∠F1PF2=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2；

由上述2步可以求出|PF1||PF2|或cos∠F1PF2的值，如果要求焦點三角形的面積或題中有焦點三角形的面積這個條件，則再用第3步，用三角形面積的正弦定理 = |PF1||PF2|sin∠F1PF2.

同學們請注意，當？駐F1PF2為直角三角形時，余弦定理和正弦定理都將簡化.只要我們掌握、理解好上述解決焦點三角形問題的基本程式，一般地說，此類圓錐曲線問題就都能比較輕松地解決了.

5. 等差數列類比到等比數列的規(guī)律.

類比、推理題在高考中時有出現，這里以等差數列與等比數列的類比為例，分析一下解題是有規(guī)律可循的.

例14. 已知命題：“若數列{an}為等差數列，且am=a，an=b（m≠n，m，n∈N？鄢），則am+n= ”，現已知數列{bn}（bn>0，b∈N？鄢）為等比數列，且bm=a，bn=b（m

解析：本題同學們自己類比時，絕大多數同學都是錯誤的.究竟結果是怎樣的呢？我們可以先從問題的解決方法上得到結果.

設{bn}的公比為q，則bn=bm·qn-m，故q= ，因此bm+n=bmqn=a·[ ]n= .

觀察等差數列中am+n= 與等比數列中bm+n= 的結果，我們就可以歸納出等差數列類比到等比數列的規(guī)律：

等差數列中項前的系數轉化為等比數列中項的指數；等差數列中項間的加（或減）轉化為等比數列中項間的乘（或除）；等差數列中的除數轉化為等比數列中的開放數.

此外，橢圓與雙曲線、平面圖形到空間立體圖形的類比也都是有一定的規(guī)律可循的.

注意模式化解題的道理如同“磨刀不誤砍柴功”，當同學們考試中每解一道題都能順利做出時，你肯定會有一個愉悅的心情，從而考出好成績.

三、重視三大解題思想的應用

問題是數學的心臟.學習數學很大程度上就是學習解題；而數學思想是解題的靈魂，可以說能否順利解題就取決于數學思想的掌握程度和應用能力.因此，解題學習中，貫穿數學思想的始終應是堅定不移的.數形結合、分類討論、化歸轉化是高考必考的三大數學思想，同學們在解題過程中應特別重視應用能力的培養(yǎng).

1. 數形結合.

所謂數形結合，是一種重要的數學思想方法.它既有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法.其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖象結合起來，在“數”“形”之間互相轉化，使數量關系和空間形式巧妙、和諧地結合起來，并充分利用這種“結合”尋找解題思路，從而巧妙地解決.

例15. 已知函數 f（x）=|log2x|，04若方程f（x）=t（t∈R）有四個不同的實數根x1， x2， x3， x4，則x1x2x3x4的取值范圍為（ ）

A. （30，34） B. （30，36） C. （32，34） D. （32，36）

解析：如圖9所示，不妨設x1<1

我國著名數學家華羅庚用“數缺形時少直觀，形少數時難入微”高度概括數形結合思想，但數形結合也不是萬能的，在解題中也會因圖形失真而出錯，因此，同學們作圖時應注意精確度.

2. 分類討論.

分類討論思想橫貫高中數學的各個章節(jié)，不僅形式多樣，而且具有很強的綜合性和邏輯性，在中學數學中占有十分重要的地位.把所有研究的問題根據題目的特點和要求，分成若干類，轉化成若干個小問題來解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數學思想，稱之為分類討論思想.當數學問題中的條件，結論不明確或題意中含參數或圖形不確定時，就應分類討論.分類討論的原則是不重復、不遺漏.討論的方法是逐類進行，還必須要注意綜合討論的結果，以使解題步驟完整.

例16. 已知中心在原點，離心率為 的橢圓C1的頂點A1、A2恰好是雙曲線 -y2=1的左、右焦點，點P是橢圓上不同于A1、A2的任意一點，則直線PA1、PA2的斜率之積是___________.

解析：由題意知A1（-2，0）、A2（2，0），所以橢圓C1方程為 +y2=1，設P（m，n），則 +n2=1，于是 = · = =- 這是絕大多數同學們做該題時的答案，將A1、A2默認為長軸的端點，實際上題中并沒有明確，因此，還有一種情況是A1、A2為短軸的端點，此時橢圓C1方程為 + =1， = · = =-4，所以本題的正確答案應該是-4或- .

復習中同學們應該有意識的記憶中學階段有哪些需要分類的知識點或題型，并對重點和熱點形式進行有目的突破.

3. 化歸轉化.

解題時通常就是將自己不會的、不擅長的轉化成已經會的過程，這就是化歸轉化，也就是解題時，同學們要盡可能的理解題目的來龍去脈，逐漸弄清問題的本質.

例17. 已知點P是橢圓 + =1上的動點，過點P向圓x2+y2=1作兩條切線，切點分別為A、B，則？駐PAB的面積的最小值為____________.

解析：同學們在解本題時覺得無法入手，其實就是缺乏化歸轉化能力的表現，實際上該題與經常做到的類似問題：“過點P（2，3）作單位圓C1：x2+y2=1的切線PA、PB（其中A、B為切點），則？駐PAB的面積為____________.”的解法是完全一樣的，差別僅在于兩者OP距離前者是不定的，后者是定的，所以同學們完全可以按照常規(guī)題的做法來解本例.

因為S？駐PAB= PA·PB·sin∠APB= PA2sin∠APB，而PA2=OP2-1，又∠APB=2∠APO，所以在Rt？駐APO中，sin∠APB=2sin∠APOcos∠APO=2· · = ，則S？駐PAB= ，即？駐PAB的面積成為了OP的函數. 而OP2=x2+y2= +3∈[3，4]，所以S′？駐PAB= >0對OP2∈[3，4]恒成立，則S？駐PAB是增函數，故S？駐PAB的最小值為 .

在解題時，同學們都在自覺或不自覺地用化歸轉化，例如分析問題時常會按“要求什么，就是求什么，就是求什么”，實際上也是一種化歸轉化，可以說，它在解題中無處不在，主要體現在題型和解法的化歸轉化上.

希望2013年高考復習的一點感悟能使同學們少走一些彎路，對復習有實實在在的幫助.本文僅是拋磚引玉，更多需要認真、仔細做的工作等著同學們.高考復習是一個系統(tǒng)工程，沒有捷徑可走，不可能一蹴而就，需要同學們在復習中逐漸積累、逐漸成長、逐漸收獲，夯實平時的每一步，就會有成功的結果.

（作者單位：浙江省紹興縣越崎中學）

責任編校 徐國堅