何鴻猷

【摘要】以異因合數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)，化為循環(huán)小數(shù)，循環(huán)節(jié)的位數(shù)為其中各因數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù).以n位全1數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)，化為循環(huán)小數(shù)j=n；若為合數(shù)，則n是各因數(shù)循環(huán)節(jié)位數(shù)的最小公倍數(shù).《n》中至少有一個(gè)或多個(gè)質(zhì)數(shù)j=n.欲求j=10（位）的質(zhì)數(shù)，就去分解《10》.

【關(guān)鍵詞】全9數(shù)；全1數(shù)；剩余數(shù)

一道算題，重視它的答案正確與否，永遠(yuǎn)沒(méi)錯(cuò)，但如果對(duì)它的渾身上下細(xì)致加以剖析，將會(huì)發(fā)現(xiàn)它和其他數(shù)學(xué)問(wèn)題有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，從中可以豐富我們的數(shù)學(xué)知識(shí).活題就從17化為小數(shù)開(kāi)始吧：17≈0.1429（四舍五入）.17=0.1·42857·（化為純循環(huán)小數(shù)），或1÷7=0.142857……0.000001（有余數(shù)除法），7除盡了1-0.000001=0.999999. 0.999999×1000000=999999，999999÷7=142857，7是質(zhì)數(shù)，循環(huán)節(jié)是六位，為偶數(shù)位循環(huán)，7能整除6位全9數(shù)，（為敘述方便，下面特稱各位都是9的數(shù)為n位全9數(shù)，大于1位各位都是1的數(shù)為n位全1數(shù).為書(shū)寫方便，特引入記號(hào)《n》，表示n位全1數(shù)，設(shè)j代表循環(huán)節(jié)位數(shù)5個(gè)字；n表示循環(huán)節(jié)位數(shù)，即j=n，【某數(shù)的循環(huán)節(jié)】是指以某數(shù)為分母的真分?jǐn)?shù)、化為循環(huán)小數(shù)、循環(huán)節(jié)的位數(shù)的簡(jiǎn)語(yǔ).以下同）從而可以導(dǎo)出凡6位數(shù)碼相同的數(shù)，均能被7整除.三組兩位兩位數(shù)碼相同的數(shù)，如：111111÷11×36=363636，以及前三位與后三位數(shù)碼相同的數(shù)，如：111111÷111×437=437437，也均能被7整除.113=0.0·76923·，j=6，所以上述各數(shù)也均能被13整除.

141=0.0·2439·.j=5，是奇位循環(huán)，99999÷41=2439.41能整除5位全9數(shù)，也能整除5位數(shù)碼都相同的數(shù).

設(shè)p為除2，5以外的所有質(zhì)數(shù).設(shè)1p化為循環(huán)小數(shù)j=n，則n位全9數(shù)，n位全1數(shù)等均能被p整除.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，前n2位與后n2位完全相同的數(shù)也均能被p整除.這些能被p整除的數(shù)，都可以為我們所用，如：判斷33743能否被41整除？因141=0.0·2439·，j=5，33333能被41整除.33743-33333=410，410能被41整除，則33743也能被41整除.再如：123448能否被13整除？因113=0.0·76923·，j=6，為偶數(shù)位循環(huán)，所以123448-123123=448-123=325，325÷13=25，123448能被13整除.

17=0.1·42857·，27=0.2·85714·=0.1·42857·×2，37=0.4·28571·=1·42857·×3……

999999不僅能被7和13整除，它還能被9和142857整除，觀察這些數(shù)字的關(guān)系，可悟出循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法，142857÷142857999999÷142857 =17，285714÷142857999999÷142857 =27，428571÷142857999999÷142857=37……或：999999÷7=142857，142857999999=17.方法是：循環(huán)小數(shù)的數(shù)值為分子，循環(huán)小數(shù)是幾位，再以幾位全9數(shù)為分母，然后化簡(jiǎn).將0.27化為分?jǐn)?shù)，2799=311.

上面悟出了純循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法，下面還可以從144=0.0227悟出混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法：1÷44=0.0227……0.0012，44除盡了1-0.0012=0.9988，9988÷44=227.再看，0.022·7·，兩位不循環(huán)，兩位循環(huán)，而9900能保證被44整除（44=11×4，判斷某數(shù)能否被4整除，只要末兩位能被4整除，該數(shù)就能被4整除.判斷某數(shù)能否被11整除，由低位到高位兩位兩位分節(jié)，各節(jié)之和能被11整除，該數(shù)就能被11整除），9900÷44=225，227-225=2，但9988-9900=88，88÷44=2，227-225=2，所以227-29900=2259900=144.

混循環(huán)小數(shù)化為分?jǐn)?shù)的方法是：分子為混循環(huán)小數(shù)的數(shù)值，減去不循環(huán)部分的數(shù)值.分母為循環(huán)部分是幾位就先寫幾個(gè)9，不循環(huán)部分是幾位再在9的后面寫幾個(gè)0，然后化簡(jiǎn).

附課本上的推導(dǎo)方法：（各介紹兩種推導(dǎo)方法）

一、由0.0·27·推導(dǎo)純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法設(shè)分?jǐn)?shù)為1x，1x=0.0·27·，1x=0.027……11000，1=0.027x+11000，1-0.001=0.999，x= 0.9990.027，將x值代入所設(shè)分?jǐn)?shù)，10.9990.027 =0.0270.999=27999=137.

二、由13=0.3·推導(dǎo)純循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法

13=0.3·，13=0.33333……，0.33333……=310+3100+31000……

整十整百相乘，在1的后面寫上因數(shù)0的和數(shù)就可以了，如：100×1000=100000.1后面0的個(gè)數(shù)又與循環(huán)小數(shù)的位數(shù)是一致的，10是第一位，10×10=100就是第二位，第一位的余數(shù)自乘3×3=9，9÷7=1……2正是第二位的余數(shù)，第二位自乘，即100×100=10000等于第四位，第二位的余數(shù)自乘，即2×2=4也正是第四位的余數(shù)，這都不是偶然的，而是有規(guī)律的，用語(yǔ)言敘述出來(lái)就是：因數(shù)的余數(shù)積等于積的余數(shù).

再看10+100=110，110÷7=15……5，第一位的余數(shù)加第二位的余數(shù)即3+2=5正好是110的余數(shù)，這也不是偶然的，也是有規(guī)律的，用語(yǔ)言敘述出來(lái)就是：加數(shù)的余數(shù)和等于和的余數(shù).

因數(shù)的余數(shù)積等于積的余數(shù)

加數(shù)的余數(shù)和等于和的余數(shù)

這就是著名的中國(guó)余數(shù)定理.

9999999……÷p，3333333……÷p， 11111111……÷p，除至某位除盡，循環(huán)節(jié)就是多少位.1p ，j=n，如果n是幾十位幾百位以上，上述方法就不太適用了.如果利用余數(shù)定理，幾千位的循環(huán)節(jié)位數(shù)也能準(zhǔn)確地求出來(lái).（是循環(huán)節(jié)位數(shù)不是循環(huán)小數(shù)數(shù)值）循環(huán)節(jié)分為常循環(huán)節(jié)、一般循環(huán)節(jié)、短循環(huán)節(jié)，p-1是常循環(huán)節(jié)，我們所要求的是短循環(huán)節(jié)，如：137=0.027，j=3.3位是短循環(huán)節(jié)，37-1=36，36位是常循環(huán)節(jié)，6，9，12，18等位是一般循環(huán)節(jié)，一般循環(huán)節(jié)既是常循環(huán)節(jié)的因數(shù)，又是短循環(huán)節(jié)的倍數(shù).15，21雖是3的倍數(shù)，但它不是36的因數(shù)，所以不是一般循環(huán)節(jié).有的質(zhì)數(shù)如131，j=15，有常循環(huán)節(jié)和短循環(huán)節(jié)，而沒(méi)有一般循環(huán)節(jié).有的質(zhì)數(shù)如17，常循環(huán)節(jié)等于短循環(huán)節(jié).總之我們要求的循環(huán)節(jié)它是p-1的一個(gè)因數(shù).（p是質(zhì)數(shù)，循環(huán)節(jié)均能整除p-1，凡循環(huán)節(jié)不能整除分母減1的，分母一定是合數(shù).凡常循環(huán)節(jié)等于短循環(huán)節(jié)的它一定是質(zhì)數(shù).）