李艷花

【摘要】在同一平面內(nèi)，兩條直線有三種位置關(guān)系：相交、平行、重合，相應(yīng)的由直線方程組成的二元一次方程組的解有三種情況：有唯一解、無解、無數(shù)多個解.但在實際判定時，利用直線的斜率和截距更方便.同時在這里介紹另外一種更簡潔、快速的判定方法.

【關(guān)鍵詞】平面；直線；位置關(guān)系

初中平面幾何中簡單介紹了兩條直線的位置關(guān)系，在此，我們通過兩條直線的方程來研究它們的位置關(guān)系.

一、平行與重合

兩直線平行就是兩直線沒有公共點(diǎn)，在討論兩條直線平行的問題時，教材先假定了兩條直線有斜截式方程，根據(jù)傾斜角與斜率的對應(yīng)關(guān)系，將初中學(xué)過的兩直線平行的充要條件（即判定定理和性質(zhì)定理）轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中的語言，用斜率和截距重新加以刻畫，教學(xué)中應(yīng)注意斜率不存在的情況.

二、相交與垂直

兩直線相交就是兩直線只有一個公共點(diǎn)，垂直是相交的一種特殊情況，也就是說當(dāng)兩直線相交成90°角時兩直線垂直.教材上將直線的斜率轉(zhuǎn)化成方向向量，然后利用向量垂直的條件推出兩直線垂直的條件.結(jié)合斜率不存在的情況，兩條直線垂直的充要條件可敘述為：

已知直線L1：y=k1x+b1，直線L2： y=k2x+b2.L1⊥L2等價于k1·k2=-1.

注：若k1，k2一個為0，另一個不存在，則L1⊥L2.

同樣由于這種充要條件的應(yīng)用需考慮兩種情況，在此介紹另外一種新方法（利用系數(shù)比）.

三、示例分析

題型一判斷兩直線位置關(guān)系的有關(guān)題型.

判斷方法一：利用解方程組的方法，兩直線的方程組成方程組.

判斷方法二：利用系數(shù)比.

例1判定下列各對直線的位置關(guān)系.

（1） 2x+4y-7=0與x+2y-5=0.（2） 3x-2y+3=0與2x+3y+5=0.

（3） x-3y+2=0與 2x-6y+4=0.（4） 2x+3y-1=0與4x-6y-3=0.

分析利用系數(shù)比來判斷較簡單.

解（1）∵21=42≠-7-5，

∴2x+4y-7=0與x+2y-5=0平行.

（2）∵3×2+（-2）×3=0，

∴3x-2y+3=0與2x+3y+5=0垂直.

（3）∵12=-3-6≠24，

∴x-3y+2=0與2x-6y+4=0重合.

（4）∵24≠4-6，∴2x+3y-1=0與4x-6y-3=0相交.

注：判斷兩直線的位置關(guān)系應(yīng)注意有無特殊情況，即斜率是否存在，x，y的系數(shù)是否為零.特殊情況另行討論.

分析（2）法一：先求出已知直線的斜率，再根據(jù)所求直線與已知直線垂直則斜率之積等于-1求得所求直線的斜率后利用點(diǎn)斜式求所求直線的方程.

法二：直接設(shè)所求直線的方程為4x-5y+m=0，再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入此方程求得m即可.

解（2）設(shè)所求直線的方程為4x-5y+m=0.

∵點(diǎn)P（4，5）是所求直線上的點(diǎn)，

∴4×4-5×5+m=0，∴m=9.

即所求的直線的方程為4x-5y+9=0.

規(guī)律概括：凡是平行于直線Ax+By+C=0的直線都可設(shè)為Ax+By+m=0（m≠C），凡是垂直于直線Ax+By+C=0的直線都可設(shè)為Bx-Ay+m=0.

思考：正方形的中心為點(diǎn)（-6，3），它的一邊所在直線為5x+12y+7=0，求其他三邊所在的直線的方程.

提示：根據(jù)正方形的幾何性質(zhì)，其他三邊所在直線中，有一條和已知直線平行，另外兩邊都與已知直線垂直，并且正方形的中心到兩組對邊所在直線的距離都相等，可考慮用已知直線平行或垂直的直線系來解決此題.此問題涉及平面圖形，可聯(lián)系幾何圖形本身所具有的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的方法使計算過程簡化.

題型三已知兩直線位置關(guān)系，求方程中的參數(shù)值的有關(guān)題型.

要對系數(shù)等于零和不等于零兩種情況進(jìn)行討論.

①當(dāng)系數(shù)全不為零時，可直接按前面所說系數(shù)比判斷；

②當(dāng)系數(shù)為零時，可利用圖形直接判斷.

當(dāng)a=1或a=-3時兩直線垂直.

規(guī)律概括：這一類問題，注意“且”和“或”的使用，要理解其含義，準(zhǔn)確使用.這一問題極易忽略系數(shù)為零的情況，這又是一個犯“對而不全”的“錯誤”點(diǎn).為了避免判斷兩條直線位置關(guān)系中的分類討論，可采用判斷兩直線位置關(guān)系的充要條件來解題.

例5已知三條直線3x-y+2=0，2x+y+3=0，mx+y=0.不能構(gòu)成三角形，求m的值.

分析前兩條直線斜率不等，交于一點(diǎn)，直線mx+y=0若與其中一線平行或經(jīng)過前兩條直線的交點(diǎn)，則不能構(gòu)成三角形.

綜上所述，當(dāng)m=-3或m=2或m=-1時，三條直線不能構(gòu)成三角形.

規(guī)律概括：此類問題通常采用分類討論的方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]湖南省中等職業(yè)學(xué)校數(shù)學(xué)教材第二冊.長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社.

[2]全日制普通高級中學(xué)教材數(shù)學(xué)教案第二冊（上）.延吉：延邊教育出版社.

[3]專題攻略（平面向量與解析幾何）.海口：南方出版社.

[4]四輪復(fù)習(xí)法詳解手冊.延吉：延邊大學(xué)出版社.