李勇

最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它分布在各塊知識(shí)點(diǎn)，各個(gè)知識(shí)水平層面.以最值為載體，可以考查高中數(shù)學(xué)的幾乎全部知識(shí)點(diǎn)，考查學(xué)生的思維能力、實(shí)踐和創(chuàng)新能力.因此，它在高考中占有比較重要的地位.

筆者所在學(xué)校是一所農(nóng)村高中，從初中進(jìn)入我校學(xué)習(xí)的大多數(shù)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)很弱，相較于一些“星級(jí)高中”，這里的孩子在基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力方面相對(duì)欠缺很多.本文所談到的一些問(wèn)題，是在教學(xué)過(guò)程中遇到、幾乎每屆學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)的共性問(wèn)題.可能在有些讀者看來(lái)，難登“大雅之堂”，但教學(xué)本就是要因材施教，適合學(xué)生的，才是最好的.所以敢不揣簡(jiǎn)陋，略談一二.

求最值的問(wèn)題類(lèi)型常見(jiàn)的有：一般函數(shù)求最值，三角函數(shù)求最值，以實(shí)際問(wèn)題為背景求最值，線性規(guī)劃求最值，解析幾何中的求最值問(wèn)題，數(shù)列中求最值等等.本文僅針對(duì)學(xué)生易錯(cuò)的較常見(jiàn)的幾個(gè)問(wèn)題進(jìn)行敘述，不求大而全.

求最值時(shí)，學(xué)生極易忽視一些或顯或隱的條件，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤，現(xiàn)舉例分析，以供求最值時(shí)作為參考.

一、對(duì)函數(shù)的本質(zhì)缺乏理解，盲目將定義域端點(diǎn)代入函數(shù)求值，作為最大值或最小值

分析出現(xiàn)這種錯(cuò)誤的學(xué)生缺乏基本的函數(shù)知識(shí)，面對(duì)求函數(shù)最值往往一籌莫展，胡亂代值，敷衍了事.解決這類(lèi)學(xué)生的問(wèn)題還得從基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念著手，要將函數(shù)的重要表現(xiàn)形式——圖像與函數(shù)式密切結(jié)合起來(lái)，讓學(xué)生從函數(shù)圖像上獲得對(duì)函數(shù)值變化過(guò)程的直觀、感性的認(rèn)識(shí).從容易作圖的基本初等函數(shù)入手，編制練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)“讀圖”，加深對(duì)函數(shù)及其最值的理解.

二、忽視或明或暗的定義域的限制，導(dǎo)致求解最值的錯(cuò)誤，常見(jiàn)于均值不等式的運(yùn)用過(guò)程、實(shí)際問(wèn)題為背景的應(yīng)用題和換元法的運(yùn)用過(guò)程等

分析遇到這樣的問(wèn)題，學(xué)生或者老師往往歸之為粗心的問(wèn)題，可在教學(xué)過(guò)程中，經(jīng)常能夠遇到諸如此類(lèi)的錯(cuò)誤，其實(shí)很多時(shí)候并不能以“粗心”來(lái)一言以蔽之.其實(shí)這與思維不嚴(yán)密、書(shū)寫(xiě)不規(guī)范等不良習(xí)慣有關(guān).在這類(lèi)問(wèn)題的解決過(guò)程中，蘊(yùn)含了“換元法”的重要思想，以上兩例均因?yàn)闆](méi)有對(duì)“=”的成立條件進(jìn)行驗(yàn)證而導(dǎo)致了錯(cuò)誤結(jié)果.在教學(xué)過(guò)程中，教師可能認(rèn)為問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，在板書(shū)示范解題的時(shí)候，往往掉以輕心，對(duì)步驟進(jìn)行了省略，而且對(duì)定義域的決定性作用強(qiáng)調(diào)不夠，久而久之，學(xué)生的不良習(xí)慣也就養(yǎng)成了.這樣的例子還有：數(shù)列為背景的最值問(wèn)題中，忽視函數(shù)y=f（n）中n的正整數(shù)取值；實(shí)際問(wèn)題中，忽視“長(zhǎng)度”等變量的實(shí)際意義；所以我們?cè)诮淌诤瘮?shù)最值的求解時(shí)，要始終把定義域放在解題過(guò)程的第一位，讓學(xué)生明白，換元以后所得函數(shù)的自變量與原函數(shù)的自變量的差異與聯(lián)系，明白定義域是解決任何函數(shù)問(wèn)題的根本.

三、線性規(guī)劃中求最值時(shí)主觀臆斷，貪圖“捷徑”

分析實(shí)際上，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域是不封閉的，點(diǎn)（-1，-1）并不在可行域內(nèi).學(xué)生在經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)線性規(guī)劃的知識(shí)之后，基礎(chǔ)弱的學(xué)生對(duì)其意義的理解不夠深刻，而且從解決問(wèn)題的過(guò)程中不難形成一條錯(cuò)誤的“經(jīng)驗(yàn)”：線性規(guī)劃求最值，總是用某兩條直線的交點(diǎn)代入目標(biāo)函數(shù)得出最值，而且不用作圖，速度很快，屢試不爽.這就強(qiáng)化了這條解題“經(jīng)驗(yàn)”在記憶中的存在.但是只要問(wèn)題稍加變化就原形畢露了.事實(shí)證明，在教學(xué)的過(guò)程中，光憑簡(jiǎn)單的說(shuō)教不能讓一些孩子糾正這樣的問(wèn)題.教師不妨在作業(yè)中設(shè)置足夠的例子讓學(xué)生不斷犯錯(cuò)，用錯(cuò)誤事實(shí)告訴學(xué)生，這條“經(jīng)驗(yàn)”是行不通的，將他們的解法逼到“正路”上來(lái).

學(xué)生犯錯(cuò)并不可怕，失敗是成功之母，只要我們能給予足夠的重視，對(duì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的這樣那樣的問(wèn)題，認(rèn)真揣摩其成因，找到“病因”，對(duì)癥下藥.通過(guò)展示錯(cuò)解，剖析原因，促使學(xué)生養(yǎng)成認(rèn)真審題、周密思考的良好習(xí)慣，能善于捕捉題目中的“蛛絲馬跡”，洞察顯隱條件，才能不斷提高解題的正確率.