阮世雄

【摘要】培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力是數(shù)學(xué)教育的核心問題之一.為此，作為一種有效途徑，教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的問題探究意識，鼓勵學(xué)生在問題解決中去創(chuàng)造性地發(fā)現(xiàn)和提出有價值的數(shù)學(xué)問題，并注重不同數(shù)學(xué)問題之間的相互轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實情境之間的關(guān)系，這是我們當(dāng)代數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，也是當(dāng)代教育的需要.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)問題；思維能力；培養(yǎng)；提出；解決

數(shù)學(xué)作為一門古老的學(xué)科，其邏輯性、思維縝密性和活躍性是其他學(xué)科無法比擬的，作為基礎(chǔ)學(xué)科亦是其他學(xué)科無法替代的.而數(shù)學(xué)是比較抽象的一門基礎(chǔ)學(xué)科，要想使學(xué)生有很強的求知欲，就必須激發(fā)他們的興趣，調(diào)動一切非智力因素如情感，從而使之積極、主動地閱讀和操作學(xué)習(xí)材料，并促進思維發(fā)展，就得有個很好的數(shù)學(xué)問題，而數(shù)學(xué)問題的解決歷來是數(shù)學(xué)教育界關(guān)心的問題，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力比學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題更具有價值.因此，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力是極有價值的研究課題，尤其是對提高解題能力和提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣具有重要的理論和現(xiàn)實意義.

一、什么是數(shù)學(xué)問題

對問題的理解與關(guān)于什么是數(shù)學(xué)問題，從古至今不同的人有不同的觀點和看法，但是從總體看來基本上都是一致的，以下是幾種說法：當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫曾說：“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，這句話說得非常好；而美籍匈牙利著名數(shù)學(xué)教育家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》一書中曾給出問題的明確含義，并從數(shù)學(xué)角度對問題作了分類.他指出，所謂問題就是意味著要去尋找適當(dāng)?shù)男袆?，以達到一個可見而又不立即可及的目標(biāo).《牛頓大詞典》對問題的解釋是：指那些并非可以立即求解的問題是一種情境狀態(tài).這種狀態(tài)會與學(xué)生已有的認知結(jié)構(gòu)之間產(chǎn)生內(nèi)部矛盾沖突，在當(dāng)前狀態(tài)下還沒有易于理解的、沒有完全確定的解答方法或法則.換句話說，所謂有問題的狀態(tài)，即這個人面臨著他不認識的東西，對于這種東西又不能僅僅應(yīng)用某種典范的解法去解答，因為一個問題一旦可以使用以前的算法輕易地解答出來，那么它就不是一個問題了.但是問題又是相對的，問題因人因時而宜，對于一個人可能是問題，而對于另一個人可能只不過是習(xí)題或練習(xí)，而對于第三個人，卻可能是索然無味了；另一方面，隨著人們的數(shù)學(xué)知識的增長、能力的提高，原先是問題的東西，現(xiàn)在卻可能變成常規(guī)的問題，或者說已經(jīng)不構(gòu)成問題了.例如，學(xué)生在學(xué)習(xí)因式分解之前，對于求方程x3 - 6x2 + 5x=0的解，構(gòu)成問題，而在學(xué)習(xí)了因式分解之后，已熟練地掌握了abc=0，則a=0或b=0或c=0，那么，此時前述求方程的根已對他不構(gòu)成問題了，而當(dāng)前狀態(tài)下對于求方程x3-6x2-4x=6的根則構(gòu)成一個問題.因此數(shù)學(xué)問題是根據(jù)不同的人，不同的地點，同樣的人在不同的時間里有所不同.

1.筆者的看法

對于數(shù)學(xué)問題的解決，并不包括常規(guī)數(shù)學(xué)問題，而是指非常規(guī)數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)的應(yīng)用問題.這里的常規(guī)數(shù)學(xué)問題，就是指課本中既有唯一確定的方法或可以遵循的一般規(guī)則、原理，而解法程序和每一步驟也都是完全確定的數(shù)學(xué)問題. 較困難的問題，那種需要探索、思考和討論的問題，那種需要積極思維活動的問題則是非常規(guī)問題.在1988年第六屇國際數(shù)學(xué)教育大會上，問題解決、模型化及應(yīng)用課題組提交的課題報告中，對問題給出了更為明確而富有啟發(fā)意義的界定，指出一個問題是對人具有智力挑戰(zhàn)特征的、沒有現(xiàn)成的直接方法、程序或算法的待解問題情境.它也可以將問題描述為對于學(xué)生來說不是常規(guī)的，不能靠簡單模仿來解決，可以是一種情境，其中隱含的數(shù)學(xué)問題要求學(xué)生自己去提出、求解并作出解釋，具有趣味的魅力，能引起學(xué)生的思考和向?qū)W生提出智力挑戰(zhàn)，不一定有終極的答案，各種不同水平的學(xué)生都可以由淺入深地作出回答，解出它往往需伴隨個人或小組的數(shù)學(xué)活動.通過對相關(guān)文獻的查閱，我認為關(guān)于數(shù)學(xué)問題的認識有以下三個不同的認識視角：一是基于問題系統(tǒng)的認識視角，二是基于問題解決的認識視角，三是基于教育的認識視角.

二、什么樣的問題才算是一個好的數(shù)學(xué)問題

問題解決作為數(shù)學(xué)教育的中心，事實上集中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)觀和數(shù)學(xué)思想的重要變化，也即意味著數(shù)學(xué)教育的一個根本性的變革，正是在這樣的意義上，著名數(shù)學(xué)教育家倫伯格指出：解決非單純練習(xí)題式的問題正是美國數(shù)學(xué)教育改革的一個中心論題.一般來說，一個好問題標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)體現(xiàn)在以下四個方面：

1.一個好問題能夠推廣或擴充為各種情形，應(yīng)該具有較強的探究性

一個好的數(shù)學(xué)問題能夠?qū)W(xué)生的思維構(gòu)成挑戰(zhàn)，如同波利亞所指出的我們這里所指的問題，不僅是尋常的，它們還要求人們具有某種程度的獨立見解、判斷力、能動性和創(chuàng)造精神.這里的探究性或創(chuàng)造精神的要求應(yīng)當(dāng)是與學(xué)生實際水平相適應(yīng)的，既然我們教師的數(shù)學(xué)教育是面向大多數(shù)學(xué)生的，那么，對于大多數(shù)學(xué)生而言，具有探索性或創(chuàng)造性的問題，正是數(shù)學(xué)上普遍的高標(biāo)準(zhǔn)，又并非是高不可及的，而是可通過努力得到解決的.從這個意義上來說，我們這里說的好問題并不是指問題應(yīng)有較高的難度，這一點與現(xiàn)在數(shù)學(xué)奧林匹克競賽中所選用的大部分試題是有區(qū)別的.

2.一個好問題，應(yīng)該具有一定的啟發(fā)性和可發(fā)展空間

一個好問題的啟發(fā)性不僅指問題的解答中包含著重要的數(shù)學(xué)原理，對于這些問題或者能啟發(fā)學(xué)生尋找應(yīng)該能夠識別的模式，或者通過基本技巧的某種運用很快地得到解決；同時，問題解決還能夠促進學(xué)生對于數(shù)學(xué)基本知識和技能的掌握，有利于學(xué)生掌握有關(guān)的數(shù)學(xué)知識和思想方法.問題的發(fā)展性可以把問題延伸、拓廣、擴充到一般情形或其他特殊情形，它將給學(xué)生一個充分自由思考、充分展現(xiàn)自己思維的空間.

3.一個好問題應(yīng)該具有多種解法，多種答案，多種解釋，具有一定的開放性

這一點我們教師在教學(xué)中要引起高度重視. 好問題的開放性，首先表現(xiàn)在問題來源的開放.問題應(yīng)具有一定的現(xiàn)實意義，與現(xiàn)實社會、生活實際有著直接關(guān)系，這種對社會、生活的開放，能夠使學(xué)生體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的價值和開展問題解決的意義.同時，問題的開放性，還包括問題具有多種不同的解法，或者多種可能的解答.

4.問題是非常規(guī)的對學(xué)生的思維構(gòu)成挑戰(zhàn)性，問題還能引人入勝，具有趣味性

三、作為教師在教學(xué)中應(yīng)該怎樣做

我國學(xué)者整合國內(nèi)外有關(guān)“問題解決”過程的各種看法，提出了問題解決的一般模式，分為五個階段：

（1）問題識別與定義.是指你必須意識到自己正面臨著一個問題，并正確地定義它，只有在這些準(zhǔn)備工作的基礎(chǔ)上，才有著手解決問題.

（2）問題表征.對問題識別后必須對問題進行表征，其方法是多樣的，可以是語言的，也可以是表象的，也可以是符號的.因為其表征形式會影響問題解決的難度.

（3）策略選擇與應(yīng)用.問題解決策略一般分為兩大類，一類是規(guī)則系統(tǒng)，保證某一特定問題解決的一種方法或程序；另一類是發(fā)現(xiàn)問題解決方案的程序.

（4）資源分配.合理地分配資源是有效解決問題的關(guān)鍵，資源不當(dāng)會影響問題的有效的合理解決，因為它是有效解決問題能力高低的一個標(biāo)志.

（5）監(jiān)控和評估.監(jiān)控可以理解為問題解決者對問題解決全過程的把握和關(guān)注，而評估則是對問題解決進程及結(jié)果的質(zhì)量作出評定.

在筆者看來，我們教師應(yīng)該把問題提出作為學(xué)生數(shù)學(xué)中的重要能力來培養(yǎng).數(shù)學(xué)問題不僅是問題解決，問題的提出比問題的解決應(yīng)該更重要，更能體現(xiàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和潛力.在如今的21世紀(jì)，我們教師不但要培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力.

現(xiàn)代教育教學(xué)理論認為，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、參與者和引導(dǎo)者，通過積極引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生養(yǎng)成動腦、動手以及合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣.因此，在數(shù)學(xué)問題教學(xué)中，相當(dāng)一部分是實際生活中的例子.我們教師應(yīng)該從構(gòu)造數(shù)學(xué)模型、設(shè)計求解模型的方法，再到檢驗與回顧等整個過程引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、去設(shè)計、去創(chuàng)新、去完成，這是問題解決最基本要求與培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維密切聯(lián)系之所在.數(shù)學(xué)教師應(yīng)創(chuàng)造更有利于問題提出的條件，并積極引導(dǎo)學(xué)生不但對老師提出的問題感興趣，更應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生自己去創(chuàng)造性地提出一些數(shù)學(xué)問題！

首先，我們教師要想真正的在教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力對問題應(yīng)該具有一定的提問技巧，因為一個好的提問技巧能夠開啟學(xué)生思維的小船.下面是一份學(xué)生對老師提問的各種方式的興趣調(diào)查.

其次，教師還要注意課堂上的語言，因為現(xiàn)在的學(xué)生大部分的叛逆心很重，因此如果我們教師的語言讓學(xué)生不喜歡的話，那他們就不會對我們的課感興趣，如果不感興趣的話，那我們就根本調(diào)不起學(xué)生的思維，這樣的課堂也不算是一次好的教學(xué).下面是學(xué)生對教師語言的態(tài)度調(diào)查.

再次，是鼓勵學(xué)生間積極爭辯，陳述矛盾，各抒己見，揭露弊??；鼓勵學(xué)生解放思想，大膽向教師質(zhì)疑提問；鼓勵學(xué)生破除迷信，活讀書，敢于對課本參考書提出疑問.我們教師應(yīng)該在課堂教學(xué)中隨時注意培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，因為數(shù)學(xué)這一學(xué)科與別的學(xué)科不一樣，它講究嚴密的邏輯思維和演繹歸納的特性.作為教師還應(yīng)該盡量使用探究性的教學(xué)模式，讓學(xué)生通過自主地參與獲得數(shù)學(xué)知識的過程，培養(yǎng)探究能力.比如，可以幫助學(xué)生利用各種軟件，親手輸入數(shù)據(jù)或圖形，對探究性問題進行主動實驗，猜想、推斷、發(fā)現(xiàn)、歸納、探索、驗證新知識，推廣發(fā)展相應(yīng)的結(jié)論.這要求教師不僅要了解“數(shù)學(xué)問題解決”的特點，而且還應(yīng)提高自身的問題探究意識，如：

（1）注重研究數(shù)學(xué)解題思維過程；

（2）強調(diào)數(shù)學(xué)方法論研究；

（3）提倡數(shù)學(xué)解題策略研究；

（4）應(yīng)用問題、數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究；

（5）開放題、情境題的教學(xué)研究；

（6）提倡研究性的學(xué)習(xí)，進行“問題教學(xué)”“情境教學(xué)”“開放性教學(xué)”.

最后，我們教師應(yīng)該讓學(xué)生明確知道問題解決的一般模式，這對培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力是非常重要的.

基于上述認識，以上途徑不失為幫助學(xué)生提高提出問題的數(shù)學(xué)能力的重要途徑，鼓勵同學(xué)們在解決數(shù)學(xué)問題乃至數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中創(chuàng)造性地提出一些數(shù)學(xué)問題.這也是當(dāng)代教育培養(yǎng)創(chuàng)新人才的基石.

總之，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題提出的能力不是短期能達到的，是要長期的學(xué)習(xí)和研究過程中形成的！

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