劉亞敏

眾所周知，高等數(shù)學(xué)是現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中應(yīng)用最廣泛的一門(mén)學(xué)科.在從初等數(shù)學(xué)這種靜態(tài)的數(shù)量關(guān)系的分析到高等數(shù)學(xué)這種對(duì)動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的研究這一發(fā)展過(guò)程中，研究對(duì)象發(fā)生了很大的變化.也正是在這一背景下，極限作為一種研究事物動(dòng)態(tài)數(shù)量關(guān)系的方法應(yīng)運(yùn)而生.極限作為高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)和基本組成部分，作為區(qū)別初等數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志，伴隨著微積分的建立，最終發(fā)展成現(xiàn)在的形式，在高等數(shù)學(xué)的舞臺(tái)上扮演著一個(gè)極其重要的角色，貫穿于整個(gè)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程之中，如連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分、曲線積分、曲面積分以及級(jí)數(shù)的收斂性等定義都建立在極限的基礎(chǔ)上.可見(jiàn)，極限在高等數(shù)學(xué)中起到了極其重要的作用.

一、極限的產(chǎn)生和發(fā)展是高等數(shù)學(xué)產(chǎn)生的基礎(chǔ)

在西方，極限觀點(diǎn)的萌芽起源于對(duì)量的可分性的質(zhì)疑.早在古希臘時(shí)代，一些智者就提出質(zhì)疑：它是無(wú)限可分的，還是由無(wú)窮多個(gè)極微小的不可分的部分組成的？對(duì)于兩種設(shè)想，不同學(xué)派有不同的看法，但無(wú)論哪種看法，都包含了最樸素的極限思想：無(wú)窮逼近.如，古希臘的數(shù)學(xué)家歐多克索斯所提出的窮竭法，他認(rèn)為量是無(wú)限可分的，并建立了下列原理：

“如果從任一量中減去不小于它的一半的部分，從余量中再減去不小于它的一半的另一部分，如此繼續(xù)下去，則最后留下一個(gè)小于任何給定的同類(lèi)量的量.”

極限觀點(diǎn)在我國(guó)古代也有記載，戰(zhàn)國(guó)時(shí)代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過(guò)一句話(huà)：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”，也就是說(shuō)一根長(zhǎng)為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過(guò)程可以無(wú)限地進(jìn)行下去.此外，《墨經(jīng)》中“端，體之無(wú)厚而最前者”“端，無(wú)問(wèn)也”“非半弗斯則不動(dòng)，說(shuō)在端”等都包含了對(duì)物體經(jīng)“化整為零”后的微分思想.隨后，三國(guó)時(shí)的數(shù)學(xué)家劉徽在計(jì)算圓周率的過(guò)程中創(chuàng)立并使用了極限方法.他用正n邊形內(nèi)接于圓，隨著邊數(shù)不斷增加，正n邊形的面積越來(lái)越接近圓面積，其面積之差也越來(lái)越小，當(dāng)差為無(wú)窮小量時(shí)，與圓面積無(wú)限逼近.這種當(dāng)n無(wú)限增大，用差值趨于零的無(wú)限逼近思想，正是現(xiàn)代微積分中的極限思想的本質(zhì).

17世紀(jì)上半葉，解析幾何的產(chǎn)生標(biāo)志著變量數(shù)學(xué)的開(kāi)端，結(jié)束了希臘時(shí)期形成的數(shù)學(xué)幾何化的一統(tǒng)天下；反過(guò)來(lái)，用方程表示曲線，在一定程度上又使數(shù)學(xué)代數(shù)化.同時(shí)，代數(shù)符號(hào)體系的形成和發(fā)展，都為微積分的建立奠定了基礎(chǔ).伴隨著微積分的建立過(guò)程，對(duì)無(wú)窮小量的探討也越來(lái)越引起人們的注意.17世紀(jì)下半葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲分別總結(jié)了前人的工作，創(chuàng)立了一個(gè)新的學(xué)科——高等數(shù)學(xué).這個(gè)學(xué)科的特點(diǎn)是，需要運(yùn)用無(wú)限過(guò)程運(yùn)算，即極限運(yùn)算.高等數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容是微分學(xué)和積分學(xué)，而微分和積分的概念是通過(guò)極限來(lái)定義的.

18世紀(jì)的許多科學(xué)家，如達(dá)蘭貝爾、歐拉、拉格朗日等都提出了自己的看法，都不同程度用極限概念作為微積分基礎(chǔ)，但并不成功，占優(yōu)勢(shì)的還是“無(wú)窮小方法”，至于“無(wú)窮小”到底是什么，沒(méi)有公認(rèn)的精確定義.在19世紀(jì)20年代以后，柯西在1821—1823年間出版了《分析教程》《無(wú)窮小計(jì)算講義》兩本書(shū)，在這兩本書(shū)中，柯西給出了極限的精確定義，終于解決了“無(wú)窮小”問(wèn)題，確立了極限論作為微積分的基礎(chǔ).

由上可見(jiàn)，在極限的整個(gè)發(fā)展過(guò)程中，我們確定了微積分在高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)地位，也肯定了極限論在微積分中的重要地位.因此，極限的產(chǎn)生和發(fā)展是與高等數(shù)學(xué)緊密聯(lián)系在一起的.

二、極限在高等數(shù)學(xué)各組成部分的研究中起到了工具作用

高等數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是函數(shù)，使用的工具是極限.極限方法是用來(lái)研究變量問(wèn)題的基本方法，是人們從有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的一種數(shù)學(xué)思想.極限概念體現(xiàn)了變量和常量的對(duì)立統(tǒng)一，本質(zhì)上是客觀世界量變轉(zhuǎn)化為質(zhì)變過(guò)程的一種反映.極限是高等數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)，用極限可以把連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、積分、級(jí)數(shù)收斂等高等數(shù)學(xué)理論中的各組成部分進(jìn)行統(tǒng)一處理.

本文僅以定積分的定義來(lái)闡述極限的工具作用：

由上可見(jiàn)，正是由于極限理論的建立，才有了定積分的定義.事實(shí)上，高等數(shù)學(xué)的許多重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性定義、導(dǎo)數(shù)的定義、廣義積分的定義、重積分、曲線積分、曲面積分以及級(jí)數(shù)的斂散性定義等都是在極限理論基礎(chǔ)上建構(gòu)的，甚至于高等數(shù)學(xué)的許多應(yīng)用模型在其構(gòu)建過(guò)程中大都使用了極限這一工具.如此種種，極限在高等數(shù)學(xué)中的重要作用可見(jiàn)一斑.搞好極限理論及相關(guān)應(yīng)用的研究，對(duì)于高等數(shù)學(xué)課程建設(shè)而言都是十分必要的.