王建鵬

“析題”是近年來新興的一項教研活動.去年，筆者有幸參加了福建省第二屆中小學教師教學技能大賽，其中中學數(shù)學的學科技能環(huán)節(jié)的比賽項目就是解題析題.

“析題”不同于以往的“說題”，是指執(zhí)教者在精心做題的基礎上，立足學生的角度，闡述在題目解答時所采用的思維方式、解題策略及依據，進而總結出經驗性解題規(guī)律并進行拓展引申.析題的關鍵在“析”，內核在于“用題去教”，即通過對學情的預設，選擇題目做傳輸帶，刺激學生把原有的知識經驗作為新知識的生長點，進而形成新的知識經驗.其本質是通過對“好題”的深入淺出，落實學生學的“有效”，從而將教師的“教”、學生的“學”與研究“考試命題”三者有機結合.本文擬以2011年福州市高三質檢理科卷第20題為例進行析題，以期拋磚而引玉.

1展示題目

（2011年福州市高三質檢理科卷第20題）設函數(shù)f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=ax，F(xiàn)（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅰ）若x =0是F（ x ）的極值點，求a的值；（Ⅱ）當a =1時，設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x軸，求P，Q兩點間的最短距離；

（Ⅲ）若x≥0時，函數(shù)y=F（ x ）的圖象恒在y=F（？x）的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍.

2 試題評價

2.1 考試評價功能

本題主要考查函數(shù)的單調性與最值、函數(shù)的圖象與零點、導數(shù)的綜合應用等基礎知識，并以這些基礎知識為載體，考查學生的抽象概括能力、推理論證能力與運算求解能力，考查化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想、函數(shù)與方程思想.試題凸顯對函數(shù)與導數(shù)學科本質的考查，并通過與三角函數(shù)知識的交匯，來實現(xiàn)對學生綜合運用學科知識分析問題和解決問題的能力的考查.試題的主要亮點有（1）很好地實現(xiàn)函數(shù)、導數(shù)與三角函數(shù)知識模塊的自然交匯， 問題的設置注重幾何描述，強調數(shù)形結合；（2）問題設置脈絡清晰，層次分明，有效地在問題的求解過程中實現(xiàn)對數(shù)學思想方法和學科本質的考查.

2.2 教學導向功能

本題的設計切合《課程標準》的基本理念，很好地體現(xiàn)了高中數(shù)學立足基礎、關注過程、突出思想、把握本質等教與學的導向.重視對學生運用數(shù)學語言進行思維和交流的能力的培養(yǎng)，有效引導數(shù)學教學由結果教育向過程教育的轉變.

3 教學意圖

3.1 課堂情景

本題擬作為高三第一輪函數(shù)與導數(shù)模塊復習課的例題.

3.2 學情預設

通過之前的作業(yè)和課堂表現(xiàn)，結合平時對學生的觀察、了解學生的現(xiàn)有發(fā)展區(qū)基本特征為：

（1）學生已學習了運用導數(shù)解決以三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)為背景的單調性與最值問題的基本方法，已有一定的通過構造函數(shù)與求導的方法解決不等式含參問題的基礎，能較熟練地通過對二次函數(shù)圖象性質的分析來處理求導問題.

（2）本題的研究對象以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為載體，情境較新，學生比較陌生.求導完難以轉化成以二次函數(shù)為背景的圖象性質來分析，需要通過多次的構造函數(shù)與求導來處理，對學生的抽象概括能力要求較高.這對學生而言存在相當大的挑戰(zhàn)，但對導數(shù)的本質理解卻至關重要.

3.3 教學目標

基于課程標準的要求、學生情況的實際、遵循教學目標的“三維”理念，確定教學目標為：經歷“多次構造函數(shù)與求導”的過程，理解每次構造函數(shù)與求導的思維成因及意義，提高運用導數(shù)工具探究函數(shù)的單調性與最值問題的能力，進一步理清解決函數(shù)、方程與不等式綜合問題的一般規(guī)律.

4 教學流程

以波利亞的“怎樣解題表”為指導展示析題過程

4.1 弄清題意

4.4 回顧反思

本道試題以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為載體，通過多次的構造函數(shù)與求導，考查學生全面運用導數(shù)工具探究函數(shù)的單調性與最值問題的能力.之前學生對于通過對二次函數(shù)圖象性質的分析來處理求導問題比較熟練，而對于需要多次求導的問題則顯得很不適應.本道試題的價值在于，能較好地切中學生原有的知識經驗，打破學生的思維定勢，貼近學生的“最近發(fā)展區(qū)”.刺激學生把原有的知識經驗作為新知識的生長點，形成新的知識經驗，進而體會研究導數(shù)的應用不應只是掌握具體的方法，更要關注對導數(shù)本質的理解.

基于上述反思，結合“用題去教”的理念，對試題的第（Ⅱ）問進行拓展延伸.

變式1 （Ⅱ）當a =1時，設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /y軸，求P，Q兩點間的最短距離；

變式2 （Ⅱ）當a =1時，設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），求P，Q兩點間的最短距離；

變式3 （Ⅱ）設P（ x1，f（ x1 ）），Q（ x2，f（ x2））（x1≥0，x2

≥0），且PQ/ /x軸，若P，Q兩點間的最短距離為1，求a的取值范圍；

構造函數(shù)h（ x ）=ex+sinx？ax，

觀察h（ x ）=ex+cosx？a和h（ x ）=ex？sinx，

由h（ x ）≥0推出h（ x ）在[0， +∞）單調遞增結合h（0）=2？a.不難觀察，當2？a≥0時推出h（ x ）在[0， +∞）單調遞增，可得最小值為h（0）=1，可類比第（Ⅲ）問思路.

進一步觀察h（ x ）=ex？sinx，聯(lián)想到選修2？ 2第一章習題1.3的B組第一題的在[0， +∞）上ex≥x+1與sin x≤x的結論，考慮進一步縮小范圍，令h（ x ） = ex？sinx？1，發(fā)現(xiàn)h（ x ）≥0在[0， +∞）仍然成立，考慮令h（ x ）=ex+cosx？x？m，從h（ x ）在[0， +∞）單調遞增結合h（0）=2？m出發(fā)，不但可以把條件改為二次函數(shù)g（ x ）=12x2+mx，同樣可類比第（Ⅲ）問思路處理.

變式4 函數(shù)f（ x ）=ex+sinx，g（ x ）=12x2+mx，

F（ x ）=f（ x ）？g（ x ），（Ⅱ）P（ x1，f（ x1 ））， Q（ x2，f（ x2））（x1

≥0，x2

≥0）， 且PQ/ /x軸， 若P，Q兩點間的最短距離為1，求m的取值范圍；

從2012年各省的高考試題來分析，不難看出上述理念在命題思路上得到較好的體現(xiàn).譬如：12年福建省理科20題，12年山東省理科22題，12年全國大綱理科20題，12年全國新課標文科21題等等.

總之，任何一道數(shù)學題，都有它的背景及考查知識和方法的側重點.

因此，養(yǎng)成對典型例題進行反思的習慣是極為重要的，例如：如何弄清題設與結論之間的內在聯(lián)系，較快地找到解題的突破口？解題所用的方法是否合理簡捷，有沒有更好的解法？解題過程是否正確無誤，表述是否符合邏輯？解題所用的方法、技能有沒有廣泛應用的價值？如果適當改變題目的條件或結論，問題將會出現(xiàn)什么變化？有什么規(guī)律？等等.這樣做就能使我們領悟蘊含在問題的提出、完善和深化的全過程、貫穿在分析問題和解決問題的過程中的數(shù)學思想方法，提高綜合運用知識的能力.

參考文獻[1]羅增儒.數(shù)學解題學引論.西安：陜西師范大學出版社，2004