張 毅

(蘇州科技學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215009)

分?jǐn)?shù)階微積分為科學(xué)和工程的不同領(lǐng)域的大量問(wèn)題提供了一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，并在數(shù)學(xué)物理，經(jīng)典和量子力學(xué)，控制理論，非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)，信號(hào)與圖像處理，熱力學(xué)，以及生物工程等領(lǐng)域取得了許多突破性的成果[1-5]。盡管分?jǐn)?shù)階微積分在許多領(lǐng)域的應(yīng)用已經(jīng)確立，但是在其它一些領(lǐng)域的應(yīng)用研究還剛剛開(kāi)始，分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題及其對(duì)稱(chēng)性和守恒量的研究就是后者的一個(gè)例子。

為了建立非保守動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型，El-Nabulsi于2005年提出了一種新的建模方法[24]，即：類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分方法或可稱(chēng)之為El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型。在類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分方法中，分?jǐn)?shù)階時(shí)間積分僅引進(jìn)一個(gè)實(shí)參數(shù)α，所得到的Euler-Lagrange方程形式簡(jiǎn)單且類(lèi)似于經(jīng)典的方程。該Euler-Lagrange方程的新穎之處在于存在一個(gè)作用在系統(tǒng)上的廣義分?jǐn)?shù)階外力。尤其是在所得到的方程中不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，而僅僅依賴(lài)于分?jǐn)?shù)階積分的階α。最近，類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分方法被進(jìn)一步推廣到Lagrange函數(shù)依賴(lài)于Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)情形[25]，多維類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題[26]，受完整約束或非完整約束或耗散動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題[27]，按指數(shù)規(guī)律變化的類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題[28]，并通過(guò)引入廣義分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)算子給出了普適的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Euler-Lagrange方程[29]。Frederico和Torres研究了類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題的運(yùn)動(dòng)常數(shù)，基于El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型給出非保守系統(tǒng)的Noether定理[35]，并推廣到Lagrange函數(shù)含有高階導(dǎo)數(shù)情形[36]，但是由于文中關(guān)于Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性的概念有誤，因此所得到的Noether定理是不正確的。

本文在類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分方法的框架下進(jìn)一步研究相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether理論。通過(guò)求解相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題，得到了類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton正則方程；給出了相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分的兩個(gè)基本公式，提出了相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換和準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換的定義和判據(jù)；建立了類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)的Noether定理，并舉例說(shuō)明結(jié)果的應(yīng)用。

1 類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qk(k=1,2,…,n)來(lái)確定，其所受的約束是理想、完整的，系統(tǒng)的廣義動(dòng)量和Hamilton函數(shù)為

(1)

式中L為L(zhǎng)agrange函數(shù)。根據(jù)El-Nabulsi提出的分類(lèi)階動(dòng)力學(xué)建模方法[24]，相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題可定義如下：

求積分泛函

(2)

在給定邊界條件

qk(a)=qk,a,qk(b)=qk,b(k=1,2,…,n)

(3)

上述變分問(wèn)題可稱(chēng)為相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題，泛函(2)可稱(chēng)為相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量。

根據(jù)變分學(xué)理論，泛函(2)在qk=qk(τ)，pk=pk(τ)上取得極值的必要條件是其變分等于零，即δS=0，于是有

(4)

由于

(5)

由邊界條件(3)，得到

δqk|τ=a=δqk|τ=b=0 (k=1,2,…,n)

(6)

利用式(5)和(6)，式(4)給出

(7)

將式(1)的第二式兩邊對(duì)pk求偏導(dǎo)數(shù)，有

(8)

將式(8)代入式(7)，并由δqk的獨(dú)立性和積分區(qū)間的任意性，得

(9)

聯(lián)合方程(8)和(9)，構(gòu)成類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton正則方程[24]，即

(10)

我們稱(chēng)由方程(10)描述的力學(xué)系統(tǒng)為類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)。如取α=1，方程(10)給出經(jīng)典的Hamilton正則方程。

2 類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)性

引進(jìn)無(wú)限小r參數(shù)有限變換群

(11)

或其展開(kāi)式

(k=1,2,…,n)

(12)

(13)

于是有

(14)

(15)

根據(jù)非等時(shí)變分Δ與等時(shí)變分δ之間的關(guān)系式[37]

(16)

其中F為任意可微函數(shù)，可以得到

(17)

由式(17),式(15)可表為

(18)

由式(12)，式(18)可進(jìn)一步表為

(19)

式(15)和(19)是相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量變分的兩個(gè)基本公式。

下面，我們給出相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換的定義和判據(jù)。

定義1 如果相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton 作用量(2)是無(wú)限小群變換(11)的不變量，即對(duì)每一個(gè)無(wú)限小變換，始終成立

ΔS=0

(20)

則稱(chēng)無(wú)限小群變換為相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換。

由定義1和公式(15)，可得到如下判據(jù)1。

判據(jù)1 對(duì)于無(wú)限小群變換(11)，如果滿(mǎn)足條件

(21)

則變換是相空間中的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換。

條件(21)也可表示為

(σ=1,2,…,r)

(22)

當(dāng)取r=1時(shí)，式(22)可稱(chēng)為相空間中的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether等式。

利用判據(jù)1可以判斷所論系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)性。

其次，研究相空間中的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。

設(shè)H′是另外的Hamilton函數(shù)，如果變換(11)精確到一階小量滿(mǎn)足條件

(23)

則稱(chēng)類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(2)是無(wú)限小群變換(11)下的準(zhǔn)不變量。由此確定的H′與H具有同樣的運(yùn)動(dòng)微分方程，則變換稱(chēng)為相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。此時(shí)有

(24)

將式(24)代入式(23)，我們有

(25)

式(25)中G應(yīng)為一階小量，故可用ΔG來(lái)代替G。

于是有

定義2 如果相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton作用量(2)是無(wú)限小群變換(11)的準(zhǔn)不變量，即對(duì)每一個(gè)無(wú)限小變換，始終成立

(26)

則稱(chēng)無(wú)限小群變換為相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。

由定義2和公式(15)，可以得到如下判據(jù)2。

判據(jù)2 對(duì)于無(wú)限小群變換(11)，如果滿(mǎn)足條件

(27)

則變換是相空間中的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。

條件(27)也可表為

(σ=1,2,…,r)

(28)

其中ΔG=εσGσ.當(dāng)取r=1時(shí)，式(28)可稱(chēng)為相空間中的類(lèi)分?jǐn)?shù)階廣義Noether等式。

利用判據(jù)2，可以判斷所論系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)性。

3 類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)性導(dǎo)致的守恒量

首先，給出類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)的守恒量的定義。

定義3 函數(shù)I(τ,q,p)稱(chēng)為類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)的守恒量，當(dāng)且僅當(dāng)沿著類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton正則方程(10)的解曲線(xiàn)恒成立

(29)

對(duì)于類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)，如果能找到相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換或準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換，便可求得與之相應(yīng)的守恒量。有如下定理。

定理1 對(duì)于類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)(10)，如果無(wú)限小群變換(12)是系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的守恒量，形如

(σ=1,2,…,r)

(30)

證明因無(wú)限小群變換(12)是系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換，由定義1，有

ΔS=0

(31)

將式(19)代入上式，得

(32)

將方程(10)代入上式，由εσ的獨(dú)立性和積分區(qū)間[a,b]的任意性，得到

(33)

積分之，便得式(30)。證畢。

定理2 對(duì)于類(lèi)分?jǐn)?shù)階Hamilton系統(tǒng)(10)，如果無(wú)限小群變換(12)是系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換，則系統(tǒng)存在r個(gè)線(xiàn)性獨(dú)立的守恒量，形如

(σ=1,2,…,r)

(34)

證明由定義2和方程(10)，類(lèi)似于定理1，可容易證明之。

定理1和定理2稱(chēng)為相空間中類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether定理。定理表明，如果能找到所論系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換或類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換，便能求出系統(tǒng)的守恒量。

4 算 例

例已知二自由度系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

(35)

試研究其類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)性和守恒量。

由式(1)知

(36)

類(lèi)分?jǐn)?shù)階廣義Noether等式(28)給出

(37)

方程(37)有解

(38)

(39)

(40)

由本文判據(jù)，生成元(38)相應(yīng)于系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether對(duì)稱(chēng)變換，生成元(39)，(40)相應(yīng)于系統(tǒng)的類(lèi)分?jǐn)?shù)階Noether準(zhǔn)對(duì)稱(chēng)變換。由本文定理，對(duì)應(yīng)于生成元(38)，(39)和(40)，守恒量式(34)分別給出為

(41)

(42)

I3=0

(43)

其中式(43)表示與式(40)對(duì)應(yīng)的無(wú)限小變換是平庸的。

5 結(jié) 語(yǔ)

利用分?jǐn)?shù)階微積分進(jìn)行非保守力學(xué)系統(tǒng)或耗散系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模，可以解決用經(jīng)典微積分方法建立起來(lái)的模型所難以解決的問(wèn)題[4, 6-7]?；贓l-Nabulsi提出的分?jǐn)?shù)階模型，文章研究了相空間中的分?jǐn)?shù)階變分問(wèn)題，建立了分?jǐn)?shù)階模型下的Hamilton正則方程。在El-Nabulsi分?jǐn)?shù)階模型的框架下，將經(jīng)典的Noether對(duì)稱(chēng)性理論推廣到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，建立了相空間中的分?jǐn)?shù)階Noether理論，從而在更一般意義上揭示了動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性與守恒量之間的內(nèi)在聯(lián)系。本文的方法和結(jié)果具有普遍意義，可進(jìn)一步推廣應(yīng)用于各類(lèi)約束力學(xué)系統(tǒng)，并且經(jīng)典的Noether定理是本文的特例。

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