楊 科，田鳳平

(1．華南農(nóng)業(yè)大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，廣東 廣州 510642；2．中山大學(xué)國際商學(xué)院，廣東 廣州 510275)

股指期貨作為以股票指數(shù)為標(biāo)的資產(chǎn)的特殊金融衍生品，具有價(jià)格發(fā)現(xiàn)、套期保值和市場調(diào)節(jié)等多重市場功能，現(xiàn)已發(fā)展為國際資本市場上最為活躍的金融衍生品。作為我國唯一上市的金融期貨產(chǎn)品——滬深300股指期貨的正式上市交易，進(jìn)一步完善了我國的資本市場結(jié)構(gòu)，增加了我國資本市場的流動(dòng)性和有效性，在我國資本市場價(jià)格發(fā)現(xiàn)和風(fēng)險(xiǎn)防范過程中扮演著越來越重要的角色。然而，股指期貨是一柄“雙刃劍”，在為資本市場提供風(fēng)險(xiǎn)管理工具的同時(shí)亦難以擺脫衍生產(chǎn)品固有的高風(fēng)險(xiǎn)特性。由于采用的是保證金交易、逐日盯市以及強(qiáng)行平倉制度等，期貨價(jià)格的波動(dòng)會(huì)造成投資者獲利和損失成倍放大，其市場風(fēng)險(xiǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于股票現(xiàn)貨交易，使用不當(dāng)極易誘發(fā)資本市場風(fēng)險(xiǎn)乃至金融危機(jī)。因此，準(zhǔn)確刻畫和預(yù)測股指期貨市場波動(dòng)率對(duì)投資者有效規(guī)避投資風(fēng)險(xiǎn)以及管理層科學(xué)合理發(fā)揮股指期貨的市場調(diào)節(jié)功能，最終促進(jìn)資本市場平穩(wěn)較快發(fā)展具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。

自從Engle的ARCH模型[1]、Bollerslev的GARCH模型[2]以及Taylor的隨機(jī)波動(dòng)率模型[3]開創(chuàng)以來，GARCH類模型和隨機(jī)波動(dòng)率類模型在股指期貨等各類金融資產(chǎn)收益的波動(dòng)率估計(jì)和預(yù)測中的主導(dǎo)地位逐漸得到廣泛的認(rèn)可，這兩類模型至今仍然不斷獲得擴(kuò)展和改進(jìn)。但是，這些模型都是利用低頻收益率數(shù)據(jù)來估計(jì)和預(yù)測金融資產(chǎn)波動(dòng)率，損失了大量的日內(nèi)交易信息，對(duì)波動(dòng)率的估計(jì)和預(yù)測存在較大的偏差，并且這些模型在處理多維問題和矩估計(jì)有效性方面存在著難以克服的缺陷。近年來，隨著電子化交易的普及和信息存儲(chǔ)技術(shù)的發(fā)展，以高精度時(shí)間“分”、“秒”為刻度來存儲(chǔ)信息的高頻環(huán)境逐步建立，并開始成為股指期貨等各類金融資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)度量以及預(yù)測研究的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。高頻數(shù)據(jù)可以迅速有效地捕捉市場信息，比低頻數(shù)據(jù)更能反映金融市場的真實(shí)狀況。以Anderson等[4-8]為代表的一些國外學(xué)者提出基于金融資產(chǎn)高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率(Realized Volatility，RV)的方法。該方法可以獲得更加準(zhǔn)確的波動(dòng)率估計(jì)值，并且不需要建立模型，也不需要進(jìn)行復(fù)雜的參數(shù)估計(jì)，而且還可以將已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率看成一個(gè)已觀測到的時(shí)間序列(在GARCH類模型和隨機(jī)波動(dòng)率類模型中波動(dòng)率都是潛在的，無法直接觀察到)，以此為基礎(chǔ)，金融資產(chǎn)收益波動(dòng)率的估計(jì)、建模和預(yù)測研究大為拓展。

在高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率預(yù)測建模方面，最為經(jīng)典的兩類模型是Andersen等[8]構(gòu)建的對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的ARFIMA模型和Corsi[9]基于異質(zhì)市場假說和HARCH模型的思想構(gòu)建的HAR模型。Andersen等[8]研究發(fā)現(xiàn)，基于高頻數(shù)據(jù)的ARFIMA模型的樣本外預(yù)測能力比基于低頻數(shù)據(jù)的長記憶參數(shù)模型FIGARCH模型、FIEGARCH模型以及其他相關(guān)的方法的樣本外預(yù)測能力好。Corsi[9]通過Monte Carlo模擬和實(shí)證檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，HAR模型對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的樣本外預(yù)測能力與ARFIMA模型極為相近，并且該模型估計(jì)方法更為簡便。在ARFIMA模型的基礎(chǔ)上，國內(nèi)學(xué)者對(duì)基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率預(yù)測建模方面，也做了一些研究，例如，郭名媛等[10]基于賦權(quán)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率建立的ARFIMA模型進(jìn)一步提高了波動(dòng)率的預(yù)測精度。魏宇等[11]實(shí)證比較了對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的ARFIMA模型與隨機(jī)波動(dòng)率模型、GARCH模型對(duì)中國股市波動(dòng)率的預(yù)測精度，他們的研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的ARFIMA模型對(duì)我國股市波動(dòng)率的預(yù)測精度要明顯高于隨機(jī)波動(dòng)率模型和GARCH模型。魏宇[12]基于多分形波動(dòng)率(Multifractal Volatility)，構(gòu)建了多分形波動(dòng)率的ARFIMA模型，并運(yùn)用SPA檢驗(yàn)法，實(shí)證比較了多分形波動(dòng)率模型與現(xiàn)有的如已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型、GARCH模型以及隨機(jī)波動(dòng)率模型對(duì)市場波動(dòng)率預(yù)測能力的優(yōu)劣。在股指期貨波動(dòng)率研究方面，Areal等[13]以及Xie等[14]分別采用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率和傳統(tǒng)歷史波動(dòng)率方法對(duì)美國等地股指期貨波動(dòng)率進(jìn)行了刻畫，國內(nèi)魏宇[15]以滬深300股指期貨仿真交易的5分鐘高頻數(shù)據(jù)為例，運(yùn)用滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本外預(yù)測和SPA檢驗(yàn)，比較了基于日收益數(shù)據(jù)的歷史波動(dòng)率模型和基于高頻數(shù)據(jù)的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型對(duì)波動(dòng)率的刻畫和預(yù)測能力。

然而，ARFIMA模型和HAR模型及其擴(kuò)展模型一般是建立在擾動(dòng)必須服從正態(tài)分布且不存在條件異方差的假設(shè)下。通過對(duì)滬深300股指期貨日已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的分析，筆者發(fā)現(xiàn)盡管對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的分布比RV本身更加近似于正態(tài)分布，但在所有標(biāo)準(zhǔn)的顯著水平上都拒絕為正態(tài)，雖然已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換能夠部分消除條件異方差，但仍然存在條件異方差的證據(jù)。因此，用ARFIMA模型和HAR模型來預(yù)測股指期貨市場的波動(dòng)率是不精確的，可以通過不設(shè)定擾動(dòng)項(xiàng)的具體分布形式以及去異方差的轉(zhuǎn)換等方式得到進(jìn)一步改善。

鑒于此，為了克服現(xiàn)有文獻(xiàn)存在的缺陷， 本文在Barndorff-Nielsen等[16-17]的線性非負(fù)模型的基礎(chǔ)上，運(yùn)用Yu等[18]的建模思想，首先對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行冪轉(zhuǎn)換，然后不設(shè)定非負(fù)擾動(dòng)部分的相關(guān)結(jié)構(gòu)以及擾動(dòng)項(xiàng)的具體分布形式，構(gòu)建了一個(gè)股指期貨市場波動(dòng)率的半?yún)?shù)預(yù)測模型。該模型采用基于極值估計(jì)量的兩階段估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)，本文中還進(jìn)一步探討了模型參數(shù)估計(jì)量的漸進(jìn)性質(zhì)并設(shè)計(jì)兩個(gè)Monte Carlo模擬實(shí)驗(yàn)考察模型參數(shù)估計(jì)方法的效果。最后，本文還運(yùn)用最新發(fā)展起來的MCS(Model Confidence Set)檢驗(yàn)，在多種穩(wěn)健損失函數(shù)下，評(píng)價(jià)和比較了新建立的半?yún)?shù)預(yù)測模型和其他波動(dòng)率預(yù)測模型對(duì)滬深300股指期貨已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的預(yù)測能力。

1 模型與研究方法

1.1 股指期貨波動(dòng)率的高頻估計(jì)

(1)

由于股指期貨市場不是24小時(shí)連續(xù)交易，能觀察到和記錄的高頻交易數(shù)據(jù)只能反映有交易時(shí)段的市場波動(dòng)狀況，而無法包含無交易時(shí)段的市場波動(dòng)信息，因此，式(1)所述的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率估計(jì)量是市場真實(shí)波動(dòng)率的有偏估計(jì)量。為了考慮股指期貨市場休市期間的波動(dòng)狀況，本文采用Martens[20]的尺度參數(shù)δ對(duì)式(1)所述的估計(jì)量進(jìn)行偏差修正，修正后的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率估計(jì)量可以表述為

(2)

1.2 半?yún)?shù)預(yù)測模型

Barndorff-Nielsen等[16]基于波動(dòng)率的連續(xù)時(shí)間模型構(gòu)建的線性非負(fù)模型和Yu等[18]通過Box-Cox轉(zhuǎn)換代替對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換擴(kuò)展Taylor[3]的隨機(jī)波動(dòng)率模型而得到的Box-Cox模型對(duì)波動(dòng)率建模很有用，但尚未有文獻(xiàn)討論其在已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率預(yù)測方面的用處。此外，這兩個(gè)模型各自都存在缺陷：線性非負(fù)模型需假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)是獨(dú)立同分布序列，因此該模型不容許有條件異方差，而Box-Cox模型則面臨“截取問題”。

本文首先將Yu等[18]的Box-Cox模型轉(zhuǎn)換為已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RVt的形式

h(RVt,λ)=α+βh(RVt-1,λ)+εt,t=2,…,T

(3)

(4)

RVt=(α+1)+β(RVt-1-1)+εt

(5)

當(dāng)λ=0時(shí)模型(4)常見的對(duì)數(shù)-線性高斯AR(1)模型(后文記為lnRV-LinAR模型)

lnRVt=α+βlnRVt-1+εt

(6)

與lnRV-LinAR模型相比，模型(4)更具有一般性，但存在兩個(gè)缺陷：① 該模型的右邊必須為非負(fù)數(shù)，與正態(tài)分布的支撐是整個(gè)實(shí)數(shù)域相矛盾；② 該模型對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的冪轉(zhuǎn)換強(qiáng)加了一個(gè)AR(1)結(jié)構(gòu)，而Andersen和Bollerslev等[8]的研究發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率的真實(shí)動(dòng)態(tài)特征比AR(1)結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，例如，AR(1)結(jié)構(gòu)無法捕獲波動(dòng)率的長記憶性。

鑒于模型(4)的缺陷，本文結(jié)合Barndorff-Nielsen等[16]線性非負(fù)模型的思想，構(gòu)建了下面形式的半?yún)?shù)模型

(7)

1.3 模型的估計(jì)及預(yù)測

若λ已知，可以采用極值估計(jì)量(Extreme Value Estimator)來估計(jì)半?yún)?shù)模型(7)的參數(shù)ρ

(8)

文獻(xiàn)中已經(jīng)證明，當(dāng)模型(7)的擾動(dòng)項(xiàng)為獨(dú)立同指數(shù)分布的隨機(jī)變量時(shí)，式(8)所示的極值估計(jì)量也是參數(shù)ρ的極大似然估計(jì)量[21]。類似于OLS估計(jì)量，極值估計(jì)量的一致性也不需要假定擾動(dòng)項(xiàng)服從一個(gè)具體分布，但極值估計(jì)量在ρ<1時(shí)的收斂速度比OLS估計(jì)量快，并且極值估計(jì)量的一致性的存在條件不涉及任何高階矩的存在性。

由于在實(shí)證研究中，參數(shù)λ是未知的，因此本文運(yùn)用基于極值估計(jì)量的兩階段估計(jì)法來同時(shí)估計(jì)模型(7)的參數(shù)ρ和λ。具體步驟如下：

(9)

第二步，運(yùn)用極值估計(jì)法來估計(jì)參數(shù)ρ

(10)

本文估計(jì)參數(shù)λ采用的是最小化向前一步預(yù)測誤差的平方和，也可采用最小化向前一步預(yù)測誤差的絕對(duì)值和，但通過模擬實(shí)驗(yàn)以及大量的實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)采用最小化向前一步預(yù)測誤差平方和對(duì)股指期貨市場已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的樣本外預(yù)測精度最高。

第三步，運(yùn)用估計(jì)的λ和ρ，可以得到模型(7)的半?yún)?shù)向前一步預(yù)測的表達(dá)式

(11)

1.4 估計(jì)方法的漸進(jìn)性質(zhì)

本文構(gòu)建的股指期貨市場波動(dòng)率的半?yún)?shù)預(yù)測模型采用基于極值估計(jì)量的兩階段估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)，得到的參數(shù)估計(jì)值在一定的假設(shè)條件下是一致的，這些假設(shè)條件如下：

假設(shè)1 假設(shè)在模型(7)中，參數(shù)λ≠0，ρ>0，初始值RV1大于0；擾動(dòng)項(xiàng){Vt}是獨(dú)立同分布且非負(fù)的連續(xù)隨機(jī)變量；對(duì)于所有0

假設(shè)2 假設(shè)式(9)中的Λ是緊集，即Λ=[λmin,λmax]，其中-∞<λmin<λ<λmax<0。

假設(shè)3 假設(shè)對(duì)于任意的λ′≠λ以及任意的i，有

E(RVt|RVt-1)

假設(shè)4 假設(shè)E(Vt)<∞

值得注意的是，上述的假設(shè)條件都是基本的假設(shè)條件，并且容易檢驗(yàn)。假設(shè)1能保證擾動(dòng)項(xiàng)Vt是平穩(wěn)和遍歷的，從而可以推斷已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列RVt也是平穩(wěn)和遍歷的。假設(shè)2是標(biāo)準(zhǔn)的緊條件，假設(shè)3與非線性最小方差估計(jì)的識(shí)別條件密切相關(guān)，而假設(shè)4可以看成一個(gè)簡單的矩條件。在假設(shè)1-假設(shè)4的條件下，本文得到如下命題：

假設(shè)6 存在r>2，滿足下式

E|(RVt-E(RVt|RVt-1))·

值得注意的是，命題2中只給出了參數(shù)λ估計(jì)值的漸進(jìn)分布。Barndorff-Nielsen等[21]的研究表明，非負(fù)AR(1)模型中的擾動(dòng)項(xiàng)若具有指數(shù)分布，則模型參數(shù)的極值估計(jì)量為非對(duì)稱和非標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)分布，而半?yún)?shù)模型(7)中參數(shù)ρ是采用基于極值估計(jì)量的兩階段估計(jì)法得到，其漸進(jìn)分布的具體形式應(yīng)更難獲得，因此命題2中沒有給出參數(shù)ρ的估計(jì)量漸進(jìn)分布，但在下文中，采用Monte Carlo模擬來考察參數(shù)ρ和λ的估計(jì)值的漸近性質(zhì)。

2 Monte Carlo模擬實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

為了考察半?yún)?shù)預(yù)測模型(7)參數(shù)ρ和λ的估計(jì)值的漸近性質(zhì)，本文設(shè)計(jì)了兩個(gè)Monte Carlo模擬實(shí)驗(yàn)，采用由下式所示的非負(fù)模型產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

其中，本文采用獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布生成擾動(dòng)項(xiàng)ξt。參數(shù)λ和ρ采用1.3節(jié)闡述的基于極值估計(jì)量的兩階段估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)。

表1 模擬結(jié)果1

表2 模擬結(jié)果2

說明：參數(shù)λ和ρ的真實(shí)值分別為-0.42和0.68，模擬結(jié)果是通過5 000次的Monte Carlo模擬得到，樣本大小均為T=1 200圖和的柱狀圖

說明：參數(shù)λ和ρ的真實(shí)值分別為-0.28和0.54，模擬結(jié)果是通過5 000次的Monte Carlo模擬得到，樣本大小均為T=1 200圖和的柱狀圖

3 實(shí)證分析

3.1 數(shù)據(jù)以及描述性分析

本文實(shí)證研究的數(shù)據(jù)樣本為滬深300股指期貨交易的5 min高頻數(shù)據(jù)。滬深300股指期貨于2010年4月16日正式交易，當(dāng)月合約通常在每月第3個(gè)星期五(15日附近)進(jìn)行交割。為了保證交易數(shù)據(jù)的完整性，本文選擇2010年5月14日至2010年12月22日(總共146個(gè)交易日)滬深300股指期貨當(dāng)月連續(xù)合約的5 min高頻交易數(shù)據(jù)作為研究樣本。由于滬深300股指期貨交易每天有4 h30 min交易時(shí)間，因此每個(gè)交易日可以記錄54個(gè)5 min高頻數(shù)據(jù)，全部樣本合計(jì)7 884個(gè)5 min高頻數(shù)據(jù)。本文數(shù)據(jù)來源于中國金融期貨交易所

(http://www.cffex.com.cn)和Wind資訊金融終端8.2提供的高頻行情數(shù)據(jù)終端(TAQEXP)

圖3給出了滬深300股指期貨的日對(duì)數(shù)收益率和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列圖(由式(2)估計(jì)得到)。從圖中可以看到，滬深300股指期貨在2010年的4月-6月以及10月-12月波動(dòng)幅度要大于7月-9月，并且對(duì)數(shù)收益率在大幅波動(dòng)后往往會(huì)跟隨一個(gè)大的波動(dòng)，小幅波動(dòng)后往往有更多的小幅波動(dòng)，具有較為明顯的波動(dòng)聚集效應(yīng)，表明滬深300股指期貨收益變化的線性趨勢不明顯。

圖3 日對(duì)數(shù)收益率序列和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列Fig.3 Daily logarithmic returns and realized volatilities

從表3的描述性統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看到，日收益率序列及其平方，已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列都表現(xiàn)出明顯的“尖峰厚尾”特征，這說明滬深300股指期貨的波動(dòng)幅度較為劇烈，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了正態(tài)分布假定的范圍(J-B統(tǒng)計(jì)量都很顯著)，只有對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的冪(這里的冪取值為-0.139)非常接近于正態(tài)分布(J-B統(tǒng)計(jì)量在5%水平上不顯著)，但已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的冪比對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率更加接近于正態(tài)分布，說明對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行冪轉(zhuǎn)換導(dǎo)出正態(tài)分布比取對(duì)數(shù)更加有效，因此，本文構(gòu)建的股指期貨市場波動(dòng)率的半?yún)?shù)預(yù)測模型采用已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的冪轉(zhuǎn)換是合理的。此外，收益率序列之間不具有顯著的自相關(guān)，而已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率、收益率平方、對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率以及已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的冪轉(zhuǎn)換在很長的時(shí)間范圍內(nèi)都展現(xiàn)出非常顯著的自相關(guān)特征(Q統(tǒng)計(jì)量都很顯著)，這從一方面說明了滬深300股指期貨的波動(dòng)率存在較為顯著的長記憶性。進(jìn)一步，ADF單位根檢驗(yàn)和Pillips-Perron單位根檢驗(yàn)結(jié)果顯示各個(gè)序列都是平穩(wěn)的。

表3 日收益率序列和已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列的描述性統(tǒng)計(jì)

說明：**和***分別代表在5%和1%水平下顯著，J-B為Jarque-Bera統(tǒng)計(jì)量，Q(n)為滯后n期的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量，ADF和P-P分別表示以最小AIC準(zhǔn)則確定最優(yōu)檢驗(yàn)滯后階數(shù)后得到的Augmented Dickey-Fuller單位根檢驗(yàn)以及Pillips-Perron單位根檢驗(yàn)結(jié)果。

3.2 其他已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率預(yù)測模型

文獻(xiàn)中關(guān)于已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率預(yù)測建模的研究最早開始于指數(shù)平滑模型(Exponential Smoothing，ES)，其表述形式如下

(12)

Andersen等[8]的研究發(fā)現(xiàn)，ARFIMA(p,d,q)模型能較好的捕獲對(duì)數(shù)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的長期記憶性，并且該模型對(duì)波動(dòng)率的樣本外預(yù)測效果要比GARCH(1,1)和RiskMetrics等一些基于收益平方的預(yù)測模型好。該模型(后文記為lnRV-ARFIMA)可以表述為

Φ(L)(1-L)d(lnRVt-μ)=Θ(L)εt

(13)

最近，Corsi[9]基于異質(zhì)市場假說的思想和HARCH模型構(gòu)建了一個(gè)簡單的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率近似長記憶模型——異質(zhì)性自回歸已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型(Heterogeneous Autoregressive Realized Volatility model)，后面記為HAR模型。該模型可表述為

(14)

3.3 滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本外預(yù)測方法

由于本文新構(gòu)建的半?yún)?shù)預(yù)測模型僅考慮擾動(dòng)項(xiàng)的分布形式、已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率序列的相關(guān)關(guān)系以及異方差，而并沒有考慮已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的其他特征，如不對(duì)稱性等，因此在本文的實(shí)證研究中只評(píng)價(jià)和比較新構(gòu)建的半?yún)?shù)預(yù)測模型與4種不考慮波動(dòng)率其他特征的ARFIMA模型(ARFIMA(1,d,0)、ARFIMA(0,d,1)、ARFIMA(1,d,1))和HAR模型的滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本外預(yù)測精度，旨在研究通過冪轉(zhuǎn)換以及不設(shè)定擾動(dòng)項(xiàng)的具體相關(guān)結(jié)構(gòu)和分布形式構(gòu)建的半?yún)?shù)模型與經(jīng)典模型相比確實(shí)進(jìn)一步提高了波動(dòng)率的預(yù)測精度。同時(shí)，本文實(shí)證研究還評(píng)價(jià)和比較半?yún)?shù)預(yù)測模型與RV-LinAR模型(式(5))和lnRV-LinAR模型(式(6))的滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本外預(yù)測精度，旨在研究冪轉(zhuǎn)換以及不設(shè)定擾動(dòng)項(xiàng)的具體相關(guān)結(jié)構(gòu)和分布形式確實(shí)進(jìn)一步改善的RV-LinAR模型和lnRV-LinAR模型對(duì)已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率的預(yù)測能力。本文的滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本外預(yù)測方法如下：

圖4 已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率半?yún)?shù)模型在預(yù)測樣本區(qū)間的預(yù)測結(jié)果Fig.4 Forecasting results for semiparametric model during forecasting sample

3.4 基于Bootstrap模擬的MCS檢驗(yàn)

(15)

本文選取當(dāng)b=1,-1,2,-2,3,-3時(shí)的6類穩(wěn)健損失函數(shù)來評(píng)價(jià)和比較半?yún)?shù)預(yù)測模型、ARFIMA(1,d,0)模型、ARFIMA(0,d,1)模型、ARFIMA(1,d,1)模型、HAR模型、ES模型、RV-LinAR模型以及l(fā)nRV-LinAR模型的樣本外預(yù)測精度。

在波動(dòng)率預(yù)測評(píng)價(jià)和比較中還存在一個(gè)特別值得關(guān)注的問題，即在某一特定的數(shù)據(jù)或者某一種損失函數(shù)下，得到的預(yù)測模型預(yù)測能力優(yōu)劣的結(jié)論，可能無法推廣到其他的損失函數(shù)或者其他類似的數(shù)據(jù)樣本中。Hansen等[23]基于Bootstrap提出的SPA檢驗(yàn)法(Test for Superior Predictive Ability)，較好地解決這一問題，但SPA檢驗(yàn)需要選擇基礎(chǔ)模型。為了克服這個(gè)缺陷，本文采用SPA檢驗(yàn)的修正形式——MCS檢驗(yàn)(參見文獻(xiàn)[25])來評(píng)價(jià)和比較各類股指期貨市場波動(dòng)率預(yù)測模型的預(yù)測精度。

dij,m=Lb,i,m-Lb,j,m

(16)

MCS檢驗(yàn)的過程是從候選模型M0中序貫的剔除一些預(yù)測能力較差的模型。因此，在每一步中，零假設(shè)條件是任意兩個(gè)候選模型具有相同的預(yù)測能力(Equal Predictive Ability, EPA),可以表述如下：

(17)

(18)

3.5 MCS檢驗(yàn)評(píng)價(jià)比較結(jié)果

表4給出了10 000次Bootstap模擬得到的MCS檢驗(yàn)結(jié)果，表中第一列表示當(dāng)b=1,-1,2,-2,3,-3時(shí)的6類穩(wěn)健損失函數(shù)(見式(15))，表中數(shù)字表示MCS檢驗(yàn)的p值，p值越大，表明越拒絕零假設(shè)。小寫字母m加下標(biāo)表示不同的波動(dòng)率預(yù)測模型。其中，m1表示ES模型，m2表示RV-LinAR模型，m3表示lnRV-LinAR模型，m4表示ARFIMA(1,d,0)模型，m5表示ARFIMA(0,d,1)模型，m6表示ARFIMA(1,d,1)模型，m7表示HAR模型，m8表示半?yún)?shù)模型。按照Hansen等[25]的建議，本文設(shè)定p=0.1為基準(zhǔn)p值，p值小于0.1的波動(dòng)率預(yù)測模型是樣本外預(yù)測能力差的模型，將在MCS檢驗(yàn)過程中被剔除，而p值大于0.1的波動(dòng)率預(yù)測模型是樣本外預(yù)測能力較好的模型，在MCS檢驗(yàn)中能幸存下來。

從表4可以看出，當(dāng)穩(wěn)健損失函數(shù)取b=1,b=-1,b=3時(shí)，ES模型 、RV-LinAR模型、lnRV-LinAR模型、ARFIMA(1,d,0)模型、ARFIMA(0,d,1)模型、ARFIMA(1,d,1)模型以及HAR模型不管是基于TR統(tǒng)計(jì)量還是TSQ統(tǒng)計(jì)量得到的MCS檢驗(yàn)的p值都小于0.1，意味著這7類波動(dòng)率預(yù)測模型將在MCS檢驗(yàn)過程中被剔除，唯一幸存下來的模型是半?yún)?shù)預(yù)測模型，因此，在穩(wěn)健損失函數(shù)取b=1,b=-1,b=3時(shí)，相對(duì)于其他7類預(yù)測模型，半?yún)?shù)預(yù)測模型是樣本外預(yù)測能力最好的模型。當(dāng)穩(wěn)健損失函數(shù)取b=-2,b=-3時(shí)，ES模型 、RV-LinAR模型、lnRV-LinAR模型、ARFIMA(1,d,0)模型、ARFIMA(0,d,1)模型、ARFIMA(1,d,1)模型的MCS檢驗(yàn)p值不管是基于TR統(tǒng)計(jì)量還是TSQ統(tǒng)計(jì)量都小于0.1，在MCS檢驗(yàn)過程中將被剔除，HAR模型和半?yún)?shù)預(yù)測模型的MCS檢驗(yàn)p值都大于0.1，兩者在MCS檢驗(yàn)中最終都能幸存下來，但在p=0.1的基準(zhǔn)p值下，無法判斷HAR模型和半?yún)?shù)預(yù)測模型孰好孰壞，因此，在穩(wěn)健損失函數(shù)取b=-2,b=-3時(shí)，相對(duì)于其他6類預(yù)測模型，HAR模型和半?yún)?shù)預(yù)測模型是樣本外預(yù)測能力最好的模型，兩者對(duì)股指期貨市場波動(dòng)率的預(yù)測能力相當(dāng)。然而，當(dāng)穩(wěn)健損失函數(shù)取b=2時(shí)，只有ES模型的MCS檢驗(yàn)p值小于0.1，其他預(yù)測模型的p值都大于0.1，因此，當(dāng)穩(wěn)健損失函數(shù)取b=2時(shí)，除ES模型外，其他預(yù)測模型都能幸存下來，它們的預(yù)測能力相當(dāng)，這也說明穩(wěn)健損失函數(shù)取b=2時(shí)，對(duì)波動(dòng)率預(yù)測精度不敏感，在MCS檢驗(yàn)中無法區(qū)分各預(yù)測模型預(yù)測能力的好壞。

總而言之，本文新構(gòu)建的股指期貨市場波動(dòng)率的半?yún)?shù)預(yù)測模型，在絕大多數(shù)的穩(wěn)健損失函數(shù)下，相對(duì)于其他模型來說，是預(yù)測精度最高的模型。

表4 不同已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率模型的MCS檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié) 論

本文在線性非負(fù)模型的基礎(chǔ)上，通過對(duì)高頻環(huán)境下股指期貨市場的已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率進(jìn)行冪轉(zhuǎn)換，同時(shí)不設(shè)定模型非負(fù)擾動(dòng)部分的相關(guān)結(jié)構(gòu)以及具體分布形式，構(gòu)建了一個(gè)股指期貨市場波動(dòng)率的半?yún)?shù)預(yù)測模型，用來預(yù)測股指期貨市場的波動(dòng)率。該模型同時(shí)克服了經(jīng)典的Box-Cox模型的“截取問題”和ARFIMA模型需要設(shè)定擾動(dòng)項(xiàng)具體結(jié)構(gòu)以及不能存在異方差的缺陷。模型采用基于極值估計(jì)量的兩階段估計(jì)法進(jìn)行估計(jì)，通過Monte Carlo模擬實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)該估計(jì)方法的漸進(jìn)性質(zhì)表現(xiàn)良好。最后，以滬深300股指期貨的5 min高頻數(shù)據(jù)為例，運(yùn)用滾動(dòng)時(shí)間窗的樣本外預(yù)測和最新發(fā)展起來的具有Bootstrap特性的MCS檢驗(yàn)，在多種穩(wěn)健損失函數(shù)下，實(shí)證評(píng)價(jià)和比較了新構(gòu)建的半?yún)?shù)預(yù)測模型與指數(shù)平滑模型(ES模型)、線性高斯模型、對(duì)數(shù)-線性高斯模型以及HAR模型對(duì)高頻環(huán)境下滬深300股指期貨波動(dòng)率的預(yù)測能力。實(shí)證結(jié)果表明：在多種穩(wěn)健損失函數(shù)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下，本文構(gòu)建的股指期貨波動(dòng)率的半?yún)?shù)預(yù)測模型是預(yù)測預(yù)測能力最好的模型。

這項(xiàng)研究具有多重現(xiàn)實(shí)意義：首先，有利于股指期貨投資者預(yù)先作出合理的投資決策。合理預(yù)測股指期貨市場波動(dòng)率能使投資者更早地認(rèn)識(shí)到股指期貨市場未來價(jià)格波動(dòng)率的變動(dòng)規(guī)律，在特定的投資目標(biāo)下作出更為合理的投資決策；其次，有利于提高機(jī)構(gòu)和個(gè)人投資者的風(fēng)險(xiǎn)管理水平。股指期貨是一柄“雙刃劍”，在為資本市場提供風(fēng)險(xiǎn)管理工具的同時(shí)亦難以擺脫衍生產(chǎn)品固有的高風(fēng)險(xiǎn)特性。其價(jià)格的急劇性波動(dòng)往往是機(jī)構(gòu)投資者破產(chǎn)的最大原因，因此準(zhǔn)確地預(yù)測股指期貨市場波動(dòng)率將有利于投資者合理控制投資風(fēng)險(xiǎn)；最后，有利于監(jiān)管部門制定相關(guān)政策以及提高監(jiān)管水平。

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