文 斌 劉春妍 康兆敏

（佳木斯大學(xué)理學(xué)院 黑龍江佳木斯 154007）

目前，高等師范院校大學(xué)生就業(yè)難與用人單位“人才”難覓的悖論促使高等教育工作者不得不深思：如何立足專業(yè)課程體系改革教學(xué)方法、創(chuàng)新教學(xué)模式、適時更新教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)出適應(yīng)社會需求的高層次人才。為適應(yīng)大類招生的需要，根據(jù)多年的教學(xué)管理與實踐，筆者從創(chuàng)新教學(xué)模式入手，在我校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專業(yè)的課程教學(xué)中進行大膽的探索與研究，以《實變函數(shù)》這門公認的數(shù)學(xué)專業(yè)課程體系中既難教又難學(xué)的課程為例，通過2005-2008級等四屆學(xué)生的教學(xué)實踐與效果反饋，在激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強其獨立思考問題、分析問題與解決問題的能力方面有所體悟。

《實變函數(shù)》是高等院校數(shù)學(xué)本科專業(yè)學(xué)生的一門重要的專業(yè)課程。它是《數(shù)學(xué)分析》的延續(xù)和發(fā)展，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)各個分支的基礎(chǔ)之一；它的任務(wù)是使學(xué)生掌握近代抽象分析的基本思想，系統(tǒng)掌握Lebesgue測度與積分理論，著重培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和邏輯推理能力。其中的Lebesgue測度與積分理論已經(jīng)成為數(shù)學(xué)工作者的基礎(chǔ)知識。然而，由于該課程概念性強、內(nèi)容抽象、推理嚴謹，在學(xué)術(shù)界一直被公認為是數(shù)學(xué)專業(yè)課程體系中的兼教師難教與學(xué)生難學(xué)為一體的課程之一。

一、立體式教學(xué)模式的涵義

立體式教學(xué)是新形勢下的一種全新的教學(xué)方式，它是在教學(xué)活動中能使學(xué)生的認知過程、情感過程和意志過程等得到協(xié)調(diào)發(fā)展的一種教學(xué)方法。立體式教學(xué)模式不僅僅是現(xiàn)代化教學(xué)手段的變革，還是教育觀念的變革，教育理論的變革，對教育模式和教育體系的改革具有積極的作用。本文的立體式教學(xué)模式是指針對學(xué)生的情況和所講授課程的內(nèi)容設(shè)計出立體的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，交叉運用多種教學(xué)手段和輔助設(shè)備，使學(xué)生有目的、感興趣、自覺地完成問題的發(fā)現(xiàn)和解決，并通過教學(xué)反饋及時完善的一種教學(xué)模式，強調(diào)“學(xué)生學(xué)習(xí)主動化、資源整合多元化、課程講授多樣化、學(xué)習(xí)支持立體化”。

二、立體式教學(xué)模式的實踐探索

（一）立體化夯實課程基礎(chǔ)

通過多媒體課件形象生動地展現(xiàn)本門課程創(chuàng)立的主要過程：首先介紹本門課程的起源和主要創(chuàng)始人創(chuàng)立本課程的目的、簡單過程及其主要成果；同時建立其與其它課程的聯(lián)系，使學(xué)生了解本課程的研究目的和發(fā)展過程，消除其對新課的陌生感。《實變函數(shù)》是十九世紀末、二十世紀初，主要由法國數(shù)學(xué)家Lebesgue創(chuàng)立的。它是普通微積分學(xué)的繼續(xù)。Lebesgue針對Riemann可積暴露出的一些不足創(chuàng)立了Lebesgue測度和積分。Riemann積分的不足主要表現(xiàn)為以下兩個方面：其一，Riemann意義下可積函數(shù)類太小。只有具有限個不連續(xù)點或個別具有可數(shù)多個不連續(xù)點的函數(shù) （例如區(qū)間 [0,1]上的 Riemann函數(shù)）是Riemann可積的，而許多形式非常簡單的函數(shù)，例如[0,1]上的Dirichlet函數(shù)都不可積這一不足；其二，有些條件過于嚴格，影響了Riemann積分的實踐應(yīng)用。例如，積分與極限運算交換次序的條件過于嚴格。在《數(shù)學(xué)分析》中我們知道【2】，要求函數(shù)列在區(qū)間上一致收斂于fn(x)，每一fn(x)都在[a,b]上連續(xù)，才有這樣通過鋪設(shè)問題環(huán)境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（二）立體化搭建知識框架

布魯納總結(jié)出的四個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)原理，其中關(guān)聯(lián)原理是指應(yīng)把各種概念、原理聯(lián)系起來，在同一的系統(tǒng)中學(xué)習(xí)。我們首先通過一個實例弄清本門課程的研究思路：根據(jù)函數(shù)Riemann積分存在的一個充要條件，即若函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]上插入分點 a=x0＜x1＜ …＜xn-1xn＝b

把[a,b]分成 n 和小區(qū)間[xi-1,xi](i＝1,2…，n)，記

有

可知Dirichlet函數(shù)：

在任意區(qū)間上的振幅，從而對于積分區(qū)間[0,1]上的任何Riemann定義下的分劃后所求得的振幅和得到此函數(shù)Riemann不可積。究其原因可能是出在Riemann積分中對于積分區(qū)域的分劃要求過于狹隘。如果根據(jù)Dirichlet函數(shù)在有理點取1，無理點取0這一特點把積分區(qū)間[0,1]簡單的分劃成兩個集合：E1={[0,1]上的有理數(shù)}和E2={[0,1]上的無理數(shù)}，則函數(shù)在這兩個集合上的振幅和就滿足可積的條件了。據(jù)此我們是否可以考慮定義一個新的積分，通過分劃被積函數(shù)的值域：m=y0＜y1＜…yn-1＜yn＝M，令 Ek=E[yk-1≤f≤yk](k=1,2,…n)則振幅和變成（yk-yk-1）·mEk，其中表示的測度（現(xiàn)可簡單理解為一種“長度”）。由于此時的不再是簡單的區(qū)間。這提示我們應(yīng)當(dāng)首先要研究一般集合的性質(zhì)及其何時存在測度。這應(yīng)該看成是《實變函數(shù)》的第一、二部分內(nèi)容——集合論和測度論（包括集合的測度和函數(shù)的測度）。接下來研究滿足什么要求的函數(shù)才可積，即《實變函數(shù)》的第三部分內(nèi)容——積分論。這三個板塊都是后者以前者為基礎(chǔ)，環(huán)環(huán)緊扣。以大家熟悉的集合知識為起點，以我們熟知的Riemann可積函數(shù)為基礎(chǔ)，由淺入深，符合學(xué)生的認知規(guī)律。

（三）立體化設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)

結(jié)合所講授內(nèi)容的實際，選定不同的教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐步訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。特別注意以下教學(xué)環(huán)節(jié)的運用。

1.重視有助于獨立思考與合作的自學(xué)

自20世紀50年代中期以來，數(shù)學(xué)家華羅庚曾多次倡導(dǎo)“要學(xué)會自學(xué)”、“要學(xué)會讀書”，他認為“學(xué)生在校學(xué)習(xí)期間，學(xué)會讀書與學(xué)得必要的專業(yè)知識是同等重要的。學(xué)會讀書不但保證我們在校學(xué)習(xí)好，而且保證我們將來永遠不斷地提高”。布置自學(xué)內(nèi)容，學(xué)生利用課外時間研讀和小組內(nèi)討論，最后在課堂上由小組選派代表進行講解。講授期間允許提問和討論。通過學(xué)生的講解和討論，充分鍛煉學(xué)生積極思考、發(fā)現(xiàn)問題、獨立和合作解決問題的能力。

2.引入有助于知識理解與應(yīng)用的史料

通過多媒體課件展示、提供相關(guān)的網(wǎng)址或鏈接，介紹部分定理或定義的產(chǎn)生背景和耐人尋味的實際應(yīng)用背景。史料的引入使學(xué)生體會到《實變函數(shù)》這門課程在整個學(xué)科課程體系中的地位和作用，同時也讓學(xué)生經(jīng)歷了一個科學(xué)家發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的過程。通過潛移默化的熏陶，啟迪學(xué)生的科學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生探索新知識的意識和掌握獨立解決問題的能力。

3.布置有助于知識拓展的課后思考題

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生受本身知識結(jié)構(gòu)、思維定勢以及知識點的難易程度、周圍環(huán)境的干擾等因素的影響，對某些知識點可能不能當(dāng)堂領(lǐng)會。作為課堂教學(xué)的補充與深化，教師有針對性的布置課后思考題。這樣做既能加深學(xué)生對知識點的理解與掌握，又能鍛煉學(xué)生獨立思考和創(chuàng)新能力，同時對激發(fā)學(xué)生的求知欲，完成學(xué)生發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)【3】的過程。例如，在研究 Cantor集【4】的基數(shù)（或稱勢）時，學(xué)生往往因為對此集合所包含元素了解不夠全面，會產(chǎn)生只包含分點（k/3n，其中n為正整數(shù)，k為小于3n的某些正整數(shù)）的錯覺。讓學(xué)生在課后根據(jù)Cantor集是閉集這一性質(zhì)，設(shè)法找到分點以外的點（如1/4等）。引發(fā)學(xué)生的探索和創(chuàng)造靈感。

4.強化有助于知識融會貫通的小結(jié)

在完成一章的學(xué)習(xí)后，要求每一名學(xué)生寫出本章小結(jié)。要求以最簡潔的語言列出本章所學(xué)到的主要內(nèi)容；用自己的語言說明定理；掌握本章的重點及其與以上章節(jié)內(nèi)容之間的聯(lián)系。通過學(xué)生自我將本章內(nèi)容化繁為簡，鍛煉其學(xué)會動腦和動手。在全部完成本課程的講授時，要求學(xué)生根據(jù)每章內(nèi)容之間的關(guān)系繪出一個交叉網(wǎng)絡(luò)圖，使學(xué)生將全部知識融會貫通，減輕學(xué)生期末復(fù)習(xí)的壓力。

三、校驗教學(xué)效果

通過教學(xué)反饋可以校驗課程的教學(xué)效果，我們通過多種方式、多種途徑對教學(xué)效果進行全方位收集與分析總結(jié)。

（一）教師可以通過課堂上觀察學(xué)生的身體反應(yīng)（主要是面部反應(yīng)）和提問來了解學(xué)生對每個問題的掌握情況。課后及時將針對某個知識點好的教學(xué)手段（或方法）和沒收到預(yù)期效果的知識點記錄下來，設(shè)法通過以后章節(jié)的教學(xué)彌補不足。

（二）通過定期的調(diào)查問卷及時掌握教師在每個章節(jié)教學(xué)進度的快慢、學(xué)生的理解程度和學(xué)生自主學(xué)習(xí)遇到的困難。

（三）通過期末考試了解絕大多數(shù)學(xué)生經(jīng)過本門課程的學(xué)習(xí)后的整體掌握情況和出現(xiàn)問題的知識點（或章節(jié)）。

（四）考研與工作中，這些第一手材料都是下一輪教學(xué)的重要參考資料，經(jīng)過幾輪的修訂與嘗試不斷完善我們的教學(xué)。

盡管我們對立體式教學(xué)模式進行了初步的實踐探索與研究，但隨著學(xué)生自身狀況與社會現(xiàn)實需求的不斷變化，對教學(xué)模式的研究也將永無止境?！安环e跬步，無以至千里；不積小流，無以成江河”，我們將繼續(xù)對立體式教學(xué)模式進行深入研究與推廣，力爭培養(yǎng)出適應(yīng)時代需求的高層次專業(yè)人才。

[1]周興和，葉惟寅.實踐中的好課與好課的實踐，[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2005，（2）：80-82.

[2]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，陳傳璋等.數(shù)學(xué)分析（下冊）[M].高等教育出版社，2004,70-71.

[3]鄭君文，張恩華.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].廣西教育出版社，1996,27-28.

[4]周民強.實變函數(shù)論[M].北京大學(xué)出版社，2001,55-57.