孫小慧，吳 濤，1b，孫 恒，白禮虎

(1.安徽大學(xué)a.數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院;b.計(jì)算智能與信號處理教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，安徽合肥230039;2.北京林業(yè)大學(xué)水土保持學(xué)院，北京100083)

0 引言

自從Zadeh在1965年創(chuàng)立模糊集理論以來［1］，模糊集理論及其應(yīng)用方法得到不斷的完善和發(fā)展。Atanassov同時(shí)考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，于1986年提出了直覺模糊集的概念［2］，與Zadeh的模糊集相比，直覺模糊集在處理模糊性和不確定性等方面更具靈活性和實(shí)用性。1989年文獻(xiàn)［3］對直覺模糊集進(jìn)行了拓展，提出區(qū)間直覺模糊集。

近年來，一些學(xué)者對區(qū)間直覺模糊集的理論進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［4］給出區(qū)間直覺模糊集的一些基本運(yùn)算和它們的基本性質(zhì);文獻(xiàn)［5］定義了區(qū)間直覺模糊集的關(guān)聯(lián)度，并給出區(qū)間直覺模糊集關(guān)聯(lián)性的兩個(gè)分解定理。更多的學(xué)者研究區(qū)間直覺模糊集理論在多屬性決策中的應(yīng)用:文獻(xiàn)［6］定義了區(qū)間直覺模糊集的得分函數(shù)和精確函數(shù)，基于這兩種函數(shù)給出了區(qū)間直覺模糊集的一種排序方法;文獻(xiàn)［7］對文獻(xiàn)［6］的方法進(jìn)行了改進(jìn)，提出新的精確函數(shù)，并將其應(yīng)用于決策問題;文獻(xiàn)［8］考慮到區(qū)間直覺模糊集的猶豫度對決策方案的影響，分析了文獻(xiàn)［6－7］所定義精確函數(shù)的缺陷，對其進(jìn)行改進(jìn)，提出了一種新的精確函數(shù)，并應(yīng)用于多屬性決策問題。隨后，文獻(xiàn)［9］提出了一種新的得分函數(shù)并給出相應(yīng)的性質(zhì)。

雖然這些方法在決策問題中得到了一定程度的應(yīng)用，但目前所有的得分函數(shù)和精確函數(shù)都有自己的不足之處，對一些問題無法做出決策。本文通過分析區(qū)間直覺模糊集的隸屬度、非隸屬度對猶豫度的影響和這三方面對決策方案的影響，對已有的精確函數(shù)和得分函數(shù)進(jìn)行修正和改進(jìn)，定義了一種基于區(qū)間直覺模糊集的得分函數(shù)，并將其應(yīng)用于多屬性決策問題。

1 預(yù)備知識

設(shè)X是一個(gè)非空集合，則稱A={〈x，μA(x)，vA(x)x∈X}為直覺模糊集，其中，μA(x)∈［0，1］和γA(x)∈［0，1］分別為集合X中元素x屬于A的隸屬度和非隸屬度，且滿足0≤μA(x)+γA(x)≤1，?x∈X。

若μA(x)，γA(x)是區(qū)間數(shù)，即

x屬于A的猶豫度為:

其中，ωi∈［0，1］為Ai(i=1，2，…，n)的權(quán)重;ωi=1。

特別地，若ω1=ω2=ω3=…=ωn=，則稱f為區(qū)間直覺模糊數(shù)的算數(shù)平均算子。

其中，ωi∈［0，1］為Ai(i=1，2，…，n)的權(quán)重;ωi=1。

得分函數(shù)和精確函數(shù)都為一種評價(jià)準(zhǔn)則，但考慮的方向不一樣，得分函數(shù)類似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的均值，而精確函數(shù)類似于統(tǒng)計(jì)學(xué)中的方差。相同的是，在決策問題中若某一方案的得分函數(shù)值或精確函數(shù)值越大，對應(yīng)的決策方案越優(yōu)。以下是幾種已有的得分函數(shù)和精確函數(shù)。

定義3［6］設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱△(A)=為A的得分函數(shù)，其中，△(A)∈［－1，1］。

定義4［6］設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱H(A)=為A的精確函數(shù)，其中，H(A)∈［0，1］。

定義5［7］設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱

為A的精確函數(shù)，其中，M(A)∈［0，1］。

定義6［8］設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱

為A的精確函數(shù)，其中，S(A)∈［0，1］。

定義7［9］設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱

為A的精確函數(shù)，其中，L(A)∈［－1，1］。

2 得分函數(shù)的改進(jìn)

若兩個(gè)決策方案分別為A1=(［0.2，0.5］，［0.1，0.4］)，A2=(［0.3，0.4］，［0.2，0.3］)，則

由定義3所給的得分函數(shù)和定義4、定義5所給的精確函數(shù)，所得到的兩種方案的結(jié)果都是相等的，即兩種方案未得到排序。

若兩個(gè)決策方案分別為A3=(［0，0.2］，［0.1，0.2］)，A4=(［0.1，0.2］，［0.3，0.6］)，則S(A1)=S(A2)=0.25。

定義6所給的精確函數(shù)對于此決策方案也得不到有效的排序。

若兩個(gè)決策方案分別為A5=(［0.3，0.4］，［0，0.1］)，A6=(［0.2，0.6］，［0，0.4］)，則L(A1)=L(A2)=0.32。

定義7所給的精確函數(shù)對于此決策方案也無法做出判斷。

為解決以往得分函數(shù)和精確函數(shù)的缺陷和不足，考慮到區(qū)間直覺模糊集中隸屬度和非隸屬度對猶豫度的影響，定義了一種新的得分函數(shù)。

定義8 設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，則稱

為A的得分函數(shù)，其中C(A)∈［－1，1］。

性質(zhì)1 設(shè)A=(［a，b］，［c，d］)為一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)，

(Ⅰ)若A=(［1，1］，［0，0］)，則C(A)=1。

(Ⅱ)若a+b=c+d或a=c，則C(A)=0。

(Ⅲ)若A=(［0，0］，［1，1］)，則C(A)=－1。

若一個(gè)區(qū)間直覺模糊數(shù)A=(［a，b］，［c，d］)對應(yīng)于上述性質(zhì)中的情形(Ⅱ)，可以通過文獻(xiàn)［6］中定義的精確函數(shù)進(jìn)行排序。

對于方案

A1=(［0.2，0.5］，［0.1，0.4］)與A2=(［0.3，0.4］，［0.2，0.3］)，

A3=(［0，0.2］，［0.1，0.2］)與A4=(［0.1，0.2］，［0.3，0.6］)，

A5=(［0.3，0.4］，［0，0.1］)與A6=(［0.2，0.6］，［0，0.4］)，

運(yùn)用定義8所給出的得分函數(shù)計(jì)算可得C(A1)=0.05，C(A2)=0.08，可得C(A2)＞C(A1)，所以方案2優(yōu)于方案1;C(A3)=－0.02，C(A4)=－0.20，可得C(A3)＞C(A4)，所以方案3優(yōu)于方案4;C(A5)= 0.225 0，C(A6)=0.062 5，可得C(A5)＞C(A6)，所以方案5優(yōu)于方案6。

3 基于區(qū)間直覺模糊集的多屬性決策

首先給出基于區(qū)間直覺模糊集多屬性決策的算法步驟:

步驟1，運(yùn)用式(1)或式(2)對各個(gè)方案的屬性進(jìn)行集成;

步驟2，通過式(3)對集成后的各個(gè)方案進(jìn)行得分計(jì)算;

步驟3，對得分進(jìn)行排序，得分最高者為最優(yōu)方案。

為說明本文所定義的得分函數(shù)是有效的，采用文獻(xiàn)［8］中的實(shí)例進(jìn)行分析，具體實(shí)例如下:設(shè)某一決策問題有4個(gè)候選方案Ai，i=1，2，3，4和3個(gè)評價(jià)指標(biāo)Ej，j=1，2，3，各個(gè)指標(biāo)的權(quán)重分別為0.35，0.25，0.40。各候選方案在各指標(biāo)下的特性用區(qū)間直覺模糊數(shù)表示如下，試選取最優(yōu)方案。

運(yùn)用加權(quán)算術(shù)平均算子(1)對各個(gè)方案的各個(gè)屬性進(jìn)行集成，從而得到各個(gè)方案的綜合區(qū)間直覺模糊值αi(i=1，2，3，4)為:

通過定義8所定義的得分函數(shù)，計(jì)算各個(gè)方案的得分為:

可得C(α3)＞C(α4)＞C(α1)＞C(α2)，所以方案排序?yàn)锳3＞A4＞A1＞A2，即第4個(gè)方案為最優(yōu)方案。排序結(jié)果與文獻(xiàn)［8］的排序結(jié)果是完全一致的，說明本文所給得分函數(shù)是可行的。

4 結(jié)束語

本文首先分析了現(xiàn)有的5種基于區(qū)間直覺模糊集得分函數(shù)和精確函數(shù)的缺點(diǎn)與不足，充分考慮到區(qū)間直覺模糊集的特點(diǎn)，定義了一種新的得分函數(shù)，并給出了基于此得分函數(shù)的區(qū)間直覺模糊集的多屬性決策算法，最后給出了實(shí)例分析，實(shí)例證明本文所定義的得分函數(shù)是有效的。

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