茹凱，韋煜明，倪黎

(廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

0 引言

高階微分方程邊值問題在物理、化學(xué)和生物等領(lǐng)域中有著極為豐富的源泉，研究它的解的存在性具有重要的理論意義和實(shí)踐意義。近年來，高階微分方程特別是四階微分方程的邊值問題受到了許多學(xué)者的關(guān)注，取得了一些成果。文獻(xiàn)［1］考慮具有p－Laplacian算子的四階四點(diǎn)邊值問題的迭代解，文獻(xiàn)［2］利用Avery－Henderson不動(dòng)點(diǎn)定理研究具有p－Laplace算子的四階三點(diǎn)邊值問題，給出了存在至少兩個(gè)正解的充分條件。文獻(xiàn)［3］考慮下列具有p－Laplace算子的四階三點(diǎn)邊值問題

文獻(xiàn)［4］利用上下解方法研究了下列四階四點(diǎn)邊值問題

受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文討論了不同于上述方程的一類具有p－Laplace算子的四階四點(diǎn)邊值問題

1 預(yù)備知識(shí)

定義1:設(shè)α，β∈W分別稱為邊值問題(3)的下解和上解，若

引理1［4］:若 a(t)∈ C［0，1］，0 ≤ aη ＜ 1，則下列二階三點(diǎn)邊值問題

引理2［4］:若 a(t)∈ C［0，1］，0 ≤ bξ＜ 1，則下列二階三點(diǎn)邊值問題

引理3:設(shè)a，b，ξ，η 是非負(fù)常數(shù)，且0 ＜ ξ，η ＜ 1，0 ＜ a，b ＜ 1，1－bξ＞ 0，如果x(t)∈W滿足

證明:設(shè) w(t)= φp(x″(t))，則

w(t)可表示為

z(t)可表示為

引理3證畢。

定理1［7］:設(shè)D是半序Banach空間X的子集，F(xiàn)∶D→X是單增的，如果存在x0，y0∈D使得x0≤y0，＜x0，y0＞?D，并且x0，y0分別是方程x－F(x)=0的下解和上解，則當(dāng)下面的條件之一成立時(shí)，方程x－F(x)=0在序區(qū)間 ＜x0，y0＞上有極小解x*和極大解y*，使得x*≤y*.

(1)K正規(guī)且F緊連續(xù);

(2)K正則且F連續(xù);

(3)X自反，K正規(guī)且F連續(xù)或者弱連續(xù)。

條件(H):

1)ξ，η，a，b，p 是非負(fù)常數(shù)，且 0 ＜ ξ，η ＜ 1，0 ＜ a，b ＜ 1，p ＞ 1;

2)邊值問題(1)存在上下解 β(t)和 α(t)，滿足 α(t)≤ β(t)，α″(t)≥ β″(t)，t∈［0，1］;

3)對(duì) α(t)≤ x1≤ x2≤ β(t)，β″(t)≤ y≤ α″(t)，t∈［0，1］，有 f(t，x1，y)≤ f(t，x2，y);

4)對(duì) β″(t)≤ y1≤ y2≤ α″(t)，α(t)≤ x≤ β(t)，t∈［0，1］，有 f(t，x，y1)≥ f(t，x，y2).

2 主要結(jié)果

定義算子T:Ω → C2［0，1］，其中 G［a，η］，G［b，ξ］分別由(6)式和(7)式給定。易證 T 是全連續(xù)算子。記α0(t)= α(t)，β0(t)= β(t)，由αn(t)= (Tαn－1)(t)，βn(t)= (Tβn－1)(t)定義序列{αn}和{βn}.

定理2:若條件(H)成立，則由(8)式定義的序列{αn}和{βn}均收斂于(3)的解。

對(duì)有α(t)≤x(t)≤β(t)，β″(t)≤x″(t)≤α″(t)，且|x'(t)|≤N.令ω(t)=(Tx)(t)，由T 的定義知，ω，φp(ω″)∈ C2［0，1］. 另一方面，由下解 α(t)的定義及條件(H)，得

令 y= φp(ω″(t))－ φp(α″(t))，則 y在［0，1］上二次可微，且 y″≥0，y(0)≤0，y(1)≤ by(ξ). 因此，由引理3，我們有 y(t)≤0，對(duì) t∈［0，1］. 即 φp(ω″(t))≤ φp(α″(t))，對(duì)t∈［0，1］. 又由于 φp為單調(diào)增函數(shù)，故 ω″(t)≤α″(t)，對(duì)t∈［0，1］.即(ω(t)－ α(t))″≤0，對(duì)t∈［0，1］.綜合引理3及(9)式，有ω(t)≥α(t)，對(duì) t∈［0，1］.利用類似的方法，可以證明ω(t)≤β(t)，ω″(t)≥β″(t)，對(duì)t∈［0，1］.于是α(t)≤ω(t)≤β(t)，β″(t)≤ ω″(t)≤ α″(t)，t∈［0，1］. 顯然 ω″(t)≤ max(‖α″‖0，‖β″‖0)，且存在 t0∈［0，1］使

因此

在 C2［0，1］中定義錐 K={x∈C2［0，1］∶x(t)≥0，x″(t)≤0}。由K可定義序關(guān)系“≤”∶x≤y當(dāng)且僅當(dāng)y－x∈K.

易知K是正規(guī)錐。

第二步:證{an}是K中單調(diào)增加序列，且有上界。先證α0≤α1，由(4)式及(8)式得

由引理3 知 α1(t)≥ α0(t)，α″1(t)≤ α″0(t)，t∈［0，1］，即 α0≤ α1. 設(shè) αn－1≤ αn，由于

由引理3 知 αn+1(t)≥an(t)，α″n+1(t)≤ α″n(t)，t∈［0，1］，即 αn≤ αn+1.因此{(lán)αn}是K 中單調(diào)增加序列，由于，所以 αn≤ β.

同理可證{βn}是K中單調(diào)減少序列，由于 βn∈ Ω，所以 βn≥ α.

定理得證。

［1］龐慧慧，田敏，葛謂高.帶p－Laplacce算子的四階四點(diǎn)邊值問題迭代解的存在性［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2008，38(3):130－134.

［2］封漢潁，葛謂高.具p－Laplace算子的四價(jià)三點(diǎn)邊值問題的兩個(gè)正解［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2007，37(24):140－146.

［3］張立新，崔海英，玄祖興.具p－Laplacian算子的四階三點(diǎn)邊值問題的迭代解［J］.北京聯(lián)合大學(xué)學(xué)報(bào)，2009，23(4):64－67.

［4］D Ma，X Yang.Upper and lower solution method for four－ order four－ point boundary value problems［J］.Comput.Appl.Math，2009(223):543－551.

［5］Q Zhang，S Chen，J Lü.Upper and lower solution method for fourth－order four－ point boundary value problems［J］.Comput.Appl.Math，2006(196):387－393.

［6］葛謂高.非線性常微分方程邊值問題［M］.北京:科學(xué)出版社，2007.

［7］鐘承奎.非線性泛函分析引論［M］.蘭州:蘭州大學(xué)出版社，1998.