劉忠波，孫昭晨，房克照

（大連理工大學 海岸和近海工程國家重點實驗室，遼寧 大連 116024）

0 引 言

波浪是近岸海域重要的水動力因素，準確掌握波況對海岸工程建設有非常重要的現實意義.研究波浪傳播變形通常有現場觀測、室內物理模型實驗或計算機數值模擬等方法，相較而言，數值模擬省時、省費用，但其前提是存在較為合適的波浪數學模型.近年來，作為模擬非線性波浪運動的一類高效的數值模型，Boussinesq類水波方程發(fā)展很快［1－3］，但是大多模型是在假定海床不透水的情況下給出的，不能直接用來模擬波浪在由砂石、砂礫組成的可滲海床上的傳播變形.Cruz等第一個給出了適合滲透海床上的改進型Boussinesq方程［4］，該方程由于僅含弱非線性項，難以描述強非線性波浪運動.Hsiao等、Chen 從歐拉方程出發(fā)，分別給出具有二階色散和二階非線性的高階Boussinesq方程［5－6］，其中Hsiao等也給出了一組以沿深度積分平均速度表達的Boussinesq 方程［5］，雖然其含有二階非線性項，但其色散性與經典Boussinesq方程一致［7］，限制了其在較深水域的應用.為了改善該方程的色散性能，劉忠波等增加了二階色散項［8］，并從理論方面分析和討論了不同參數值下相速度及衰減率的變化.Avgeris等直接在二階非線性Boussinesq方程中耦合可考慮滲透介質存在時的阻力方程，建立了適用于可滲海床情況的Boussinesq類水波方程，并進行了波浪在可滲潛堤上的數值研究，數值結果表明，這一方式是有效的［9］.而這種方法對具有四階色散精度的Boussinesq方程（適合非滲透情況）是否有效，目前尚未有相關的研究結果發(fā)表.本文針對這一問題進行探討，在文獻［1］的基礎上，嘗試引入Cruz等的動量方程［4］，聯立組成適用于可滲海床的Boussinesq方程，從理論上分析方程的相速度以及衰減率，進而建立相關數值模型，并利用數值模擬波浪在滲透潛堤和滲透地形上傳播變形，最后通過相關實驗結果檢驗該模型的適用程度.

1 基本方程

劉忠波等推導了一組具有四階色散精度的Boussinesq類水波方程［1］，該方程表達如下：

式中：下標t表示變量對時間的偏導數為水平二維偏微分算子，η為波面升高，U為沿水深積分的平均速度，h為靜水面以下水深，g為重力加速度.

方程（1）和（2）組成了一組高階Boussinesq水波方程，但該方程是基于海底不可滲這一假設下給出的，不能應用于可滲海床情況.為了考慮滲透海床對波浪運動產生的影響，須耦合考慮滲透海床內流體運動.具體做法如下：首先保證新建方程的連續(xù)方程是守恒的，因此在連續(xù)方程中引入n·（hsUs）項（Us為滲透介質中沿水深積分的平均速度，n為孔隙率）；其次是需引入滲透介質中流體運動方程，本文采用Cruz等的結果［4］；最后在自由水體中的動量方程中需考慮滲透耦合影響，這里也直接采用Cruz等的結果，也就是引入.最終方程具有以下形式：

式中：hb＝h＋hs，h和hs分別為上層水體的靜水深和滲透介質的厚度；β為色散系數，β＝1／15；cr＝1＋cm（1－n），cm為附加質量系數；α＝a1＋分別為線性阻力系數和非線性阻力系數.方程（3）～（5）組成了一組適合滲透地形的高階Boussinesq水波方程.

2 理論分析

為了解方程的色散性能，在一維情況下對方程的色散關系進行理論分析.不考慮水深和滲透介質厚度對空間的導數，同時忽略方程中所有非線性項，方程（3）、（4）和（5）可寫為

式中：r＝hs／h，將（η，u，us）＝（η0，u0，us0）ei（kx－ωt）代入上述方程中，可以得到

式 中：A11＝－ω；A12＝kh；A13＝nrkh；A21＝gk（1＋α1（kh）2＋β1（kh）4）；A22＝－ω（1＋（α1＋1／3）（kh）2＋（β1 ＋α1／3－1／45）（kh）4）；A23＝－nrω（kh）2；A31＝gk（1＋nβr（kh）2／cr）；A32＝－ω（kh）2／2；A33＝－ω（cr＋iα／ω）（1＋r2（kh）2／3）＋nr（kh）2（1＋β＋iβα／（ωcr））.

只有滿足det（A）＝0，方程（9）才有非零解，進一步將其與Gu等的色散關系表達式對比［10］：

在保持n＝0.5不變的情況下，圖1（a）、（b）、（c）分別給出當s＝nω／a＝0.1，r＝0.5，2.0，5.0時本文方程解（利用det（A）＝0給出的計算結果）與理論解析解（式（11）計算的結果）的對比.由圖1可見：

（1）在不同滲透厚度比情況下，方程的相速度與解析解吻合程度很高，這說明方程具有較好的色散性；對比圖1（a）、（b）、（c）發(fā)現，當量綱一水深h／L0＝1.0 時，隨著r的增大，誤差也逐漸增大，最大誤差為2.5%（圖1（c））.而不存在滲透介質時，由方程（1）和方程（2）組成的Boussinesq方程在h／L0＝1.0時的最大誤差為2%，這反映出滲透介質厚度對相速度的影響相對較小.

圖1 模型量綱一相速度、衰減率與線性波浪理論解析解的比較Fig.1 Comparisons of dimensionless phase velocity and damping rate from the model and the linear wave theory

（2）在衰減性方面，r＝2.0時，在h／L0＜0.6范圍內，方程的衰減率與解析解相差不大，超過這一范圍后誤差迅速增大；而在其他情況下，尤其是r＝5.0時，當h／L0超過0.4以后，本文方程的結果與解析解存在較大誤差.因此，理論分析表明，方程的衰減率與解析解的誤差相對較大，縱觀不同滲透厚度比下的情況，其可接受的最大h／L0為0.4.本文滲透方程的最高階僅為2階，這應該是導致衰減率對比效果不佳的主要原因.

3 一維數值模型

采用類似劉忠波等的方法［1］，對一維情況下的控制方程（3）～（5）進行數值求解.即在非交錯網格上離散方程，采用高精度差分格式對方程中的時間和空間導數進行近似，采用三階Adams－Bashforth預報格式、四階Adams－Moulton 校正格式進行時間積分.這里也將方程（3）～（5）整理成文獻［1］中的格式，具體表達如下：

式中

式中：f（x，t）是內部造波源項，具體表達形式可參見文獻［11］.

進行時間積分時，預報格式為

校正格式為

求解動量方程時，采用五對角寬帶解法［1］.而關于時間t求導的項、為增加程序穩(wěn)定性而采用的濾波技術以及邊界消波技術，均采用文獻［2］給出的方法.當兩次計算的值（3個變量）相對誤差均小于0.000 1時，當前迭代結束，否則，重新利用式（18）～（20）進行校正計算，主要計算流程見圖2.

圖2 計算流程示意圖Fig.2 The schematic diagram of calculation flow chart

4 數值驗證

Hsiao等進行了波浪在滲透潛堤上傳播變形的實驗［5］.實驗中，前坡坡度為1∶8.89，而后坡坡度為1∶5.93，最大水深為0.175m，三角形潛堤上最小水深為0.04m，潛堤由直徑約為1.9cm的石子組成，石子間孔隙率n＝0.42；實驗中的波周期為1s，波高為2.7cm.計算中，采用Hsiao給出的參數值：α1＝5.83s－1，α2＝58.85m，時間步長0.01s，空間步長為0.02m.

數值結果與實驗結果的對比見圖3，由圖可見，當不考慮滲透作用時（文獻［1］數值模擬結果），在x＝10.8 m 處及以后，出現較大的誤差；隨著滲透作用的進一步積累，數值結果與實驗結果的相位差越來越大，而且波幅也存在較大差異.采用本文模型模擬時，在大多位置處，二者在相位和幅值上均較為吻合.而在個別位置處，如x＝11.4m 處相位開始出現一定的誤差，且幅值上也存在一定差異，所計算的結果比實驗結果偏小.總之，對比計算結果可知，本文模型計算結果與實驗結果的吻合程度更佳，這說明多引入一個動量方程來適應滲透介質的影響的做法是有效的.

圖3 數值計算的波面升高與實驗結果的比較Fig.3 Comparisons of the computed surface elevation and experimental results

為進一步驗證模型的適用性，以Sawaragi等的實驗數據驗證本文模型［12］.實驗中的水槽長30 m，寬0.7 m，高0.9 m.水槽中鋪設一段長3.5 m，厚0.15m 的平底粗顆粒海床，泥沙顆粒粒徑采用了1.8cm 和3.07cm 兩種，海床上的水深為0.15m.本文選取入射波高Hi為3.58cm，周期T＝1.0s，孔 隙 率n為0.4 進 行 數 值 模 擬.Karunarathna等曾采用該實驗數據對Navier－Stokes數學模型進行驗證［13］，實驗數據取自Karunarathna和Lin的文獻.數值模擬結果與實驗數據的比較見圖4，由圖可見，數值結果（波高）沿波浪傳播方向存在一定的震蕩，但整體來看，與實驗數據的吻合程度良好，這反映出本文模型也能較好地模擬波浪在滲透海床上的傳播變形.

圖4 滲透海床上波浪衰減的數值結果與實驗結果的比較（T＝1.0s）Fig.4 Comparison of numerical results against experimental data for the wave damping over porous seabed（T ＝1.0s）

5 結 論

在一組具有四階色散精度的Boussinesq 方程基礎上，直接耦合Cruz等導出的滲透介質中流體的動量方程，構建了一組新的方程.理論分析了方程的相速度和衰減率，并與解析解進行了對比，結果表明該方程可期望用于模擬波浪在滲透地形上的傳播變形；進一步在非交錯網格下對方程的一維形式進行離散，建立了基于有限差分法的數值模型，利用數值模型模擬了波浪在滲透地形上的傳播變形，并將計算結果與實驗結果進行了對比，二者的吻合程度較高.這也從側面反映出本文的改進方法是有效的，為非滲透地形下的其他Boussinesq類方程擴展為適用于滲透海床情況提供了重要參考.

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