雙 晴，袁永博，張明媛

（大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部，遼寧 大連 116024）

0 引 言

多目標(biāo)決策問(wèn)題是決策者在決策中經(jīng)常遇到的實(shí)際問(wèn)題，它是指在多個(gè)目標(biāo)準(zhǔn)則情況下確定一個(gè)方案好壞的決策過(guò)程，如生產(chǎn)規(guī)劃、企業(yè)經(jīng)濟(jì)效益的綜合評(píng)價(jià)、武器系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)等［1］.

多目標(biāo)決策問(wèn)題的關(guān)鍵步驟是目標(biāo)權(quán)重的確定.各指標(biāo)在決策中的地位不同，其差異主要表現(xiàn)在：（1）決策者對(duì)指標(biāo)的重視程度不同；（2）指標(biāo)在決策中的作用不同，即指標(biāo)傳達(dá)給決策者的信息量不同；（3）各指標(biāo)價(jià)值的可靠程度不同.目前，指標(biāo)權(quán)重確定的方法主要可以劃分為主觀(guān)賦權(quán)法和客觀(guān)賦權(quán)法兩種［2］.主觀(guān)賦權(quán)法通過(guò)專(zhuān)家意見(jiàn)、問(wèn)卷調(diào)查、通用準(zhǔn)則等方式確定權(quán)重，如簡(jiǎn)單加權(quán)法、TOPSIS法［3］、加權(quán)平均規(guī)劃法［4］等.客觀(guān)賦權(quán)法試圖通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)間的關(guān)系而生成客觀(guān)權(quán)重，如變異系數(shù)法、熵法［5］等.然而，由于客觀(guān)事物的復(fù)雜性及人類(lèi)思維的模糊性，一般情況下，人們難以給出明確的偏好信息［6］，因此，能夠直接反映數(shù)據(jù)關(guān)系的客觀(guān)賦權(quán)法被認(rèn)為更為有效和準(zhǔn)確.

多目標(biāo)決策問(wèn)題的另一個(gè)關(guān)鍵要素是距離基準(zhǔn)點(diǎn)的選擇.通常樣本與理想點(diǎn)距離越小越好.同時(shí)一些研究認(rèn)為由于負(fù)理想點(diǎn)或非理想點(diǎn)為所構(gòu)建樣本中最劣集合，因此比較基準(zhǔn)為距離最劣集合越遠(yuǎn)越好［7－8］.樣本最終根據(jù)與理想點(diǎn)或非理想點(diǎn)的距離進(jìn)行排序和擇優(yōu).

本文通過(guò)優(yōu)化每個(gè)決策指標(biāo)的綜合屬性值得到客觀(guān)權(quán)重，組合賦權(quán)并用可變模糊集理論與方法對(duì)決策單元進(jìn)行排序，以避免指標(biāo)偏好信息獲取困難的問(wèn)題，并修正數(shù)據(jù)包絡(luò)分析方法中決策單元同時(shí)最優(yōu)而難以擇優(yōu)的缺點(diǎn)，其相對(duì)隸屬度的思想使決策單元的排序滿(mǎn)足“距離理想點(diǎn)越近越好，距離非理想點(diǎn)越遠(yuǎn)越好”的思想，以便于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn).

1 考慮權(quán)重客觀(guān)度的可變模糊多目標(biāo)決策模型

1.1 指標(biāo)特征值規(guī)格化方式

設(shè)n個(gè)樣本組成的集合為｛x1，x2，…，xn｝，共有m個(gè)指標(biāo)特征值向量構(gòu)成指標(biāo)特征值矩陣：

其中xij為樣本j指標(biāo)i的特征值.為消除m個(gè)指標(biāo)特征值物理量綱不同所帶來(lái)的不可公度性，需要對(duì)指標(biāo)特征值進(jìn)行規(guī)格化，即要將指標(biāo)特征值xij變換為對(duì)聚類(lèi)樣本關(guān)于模糊概念的指標(biāo)相對(duì)隸屬度rij.指標(biāo)的規(guī)格化方式一般可分為效益型、成本型、固定型、偏離型、區(qū)間型等［9］，但以效益型和成本型最為通用.

效益型指標(biāo)：特征值越大越優(yōu)，規(guī)格化公式為

成本型指標(biāo)：特征值越小越優(yōu)，規(guī)格化公式為

1.2 數(shù)據(jù)包絡(luò)分析與客觀(guān)權(quán)重

數(shù)據(jù)包絡(luò)分析（DEA）是一種在具有多輸入多輸出的同水平?jīng)Q策單元（DMU）上評(píng)價(jià)相對(duì)效率的 方 法［10］.自 運(yùn) 籌 學(xué) 家Charnes等［11］在1978年以相對(duì)效率概念為基礎(chǔ)發(fā)展DEA 這一嶄新的效率評(píng)價(jià)方法以來(lái)，模型的適用范圍不斷擴(kuò)展，重要的理論結(jié)果不斷出現(xiàn)，模型的實(shí)際應(yīng)用也日益廣泛.

多目標(biāo)決策問(wèn)題可以視為缺少投入量或每個(gè)決策單元具有相同投入量的DEA 問(wèn)題［12］，可以證明，DEA 有效性與相應(yīng)的多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題的Pareto有效解或非支配解是等價(jià)的［13］，因此，使用DEA 模型求解能夠避免目標(biāo)之間的沖突和無(wú)法比較的現(xiàn)象，為決策者提供一個(gè)較佳的解空間.其模型可表示為

其中Rij表示樣本j指標(biāo)i的特征值規(guī)格化數(shù)，wi為指標(biāo)i的相對(duì)重要性權(quán)重，ε為非阿基米德無(wú)窮小，以方便使用單純形算法求解模型.模型根據(jù)決策單元效率值所構(gòu)建的超平面計(jì)算每個(gè)DMU的最優(yōu)指標(biāo)權(quán)重.模型的優(yōu)勢(shì)在于：（1）DEA 適用于復(fù)雜系統(tǒng)，能夠從最有利于DMU 的角度進(jìn)行評(píng)價(jià)；（2）投入產(chǎn)出向量間不必存在顯示關(guān)系表達(dá)式，DEA 模型能夠排除很多主觀(guān)因素，具有更強(qiáng)的客觀(guān)性.然而，盡管DEA 能夠在優(yōu)化權(quán)重的基礎(chǔ)上求出每個(gè)DMU 的效率值，卻很有可能出現(xiàn)多個(gè)DMU 同時(shí)達(dá)到效率值為1的情況，因此需要一種合理的機(jī)制幫助決策者進(jìn)一步選擇最優(yōu)決策單元.

1.3 可變模糊多目標(biāo)決策模型

1965年Zadeh創(chuàng)建的模糊集合是對(duì)普通集合的突破［14］，但模糊集合概念與定義的基石——隸屬函數(shù)存在靜態(tài)化的缺陷.在此基礎(chǔ)上，可變模糊集理論根據(jù)自然辯證法中關(guān)于中介、差異、共維、兩極的概念及客觀(guān)事物矛盾運(yùn)動(dòng)變化的原理，建立了以對(duì)立模糊集概念為基礎(chǔ)的模糊可變集合與可變模型集［15－16］.基本定義如下：

定義1 設(shè)論域U中的任意元素u的對(duì)立模糊概念或u對(duì)立的兩種基本模糊屬性，以與表示.在連續(xù)統(tǒng)區(qū)間［1，0］（對(duì)）與［0，1］（對(duì)）的任一點(diǎn)上，對(duì)立的兩種模糊屬性的相對(duì)隸屬度分別為，且.令

設(shè)s表示類(lèi)別h的m個(gè)指標(biāo)特征值規(guī)格化數(shù)，樣本j與類(lèi)別h之間差異的廣義指標(biāo)權(quán)距離公式為

為求解樣本j隸屬于類(lèi)別h的最優(yōu)相對(duì)隸屬度u＊hj，引入以相對(duì)隸屬度uhj為權(quán)重的加權(quán)廣義指標(biāo)權(quán)距離

建立目標(biāo)函數(shù)［17－18］

滿(mǎn)足約束條件

其中α為可變優(yōu)化準(zhǔn)則參數(shù)，α＝1、2分別為最小一、二乘方準(zhǔn)則；p為可變距離參數(shù)，可取海明距離p＝1，歐式距離p＝2.

1.4 求解步驟

為將條件（10）極值（9）求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)條件極值求解問(wèn)題，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)（λu、λw分別為變量uhj、wi的拉格朗日乘子）：

并將c級(jí)識(shí)別簡(jiǎn)化為2級(jí)識(shí)別，則可得樣本j對(duì)1級(jí)（優(yōu)級(jí)）的相對(duì)隸屬度

設(shè)計(jì)以下算法：

（1）對(duì)指標(biāo)特征值矩陣X＝（xij）m×n按式（2）～（3）轉(zhuǎn)變?yōu)橹笜?biāo)特征值規(guī)格化矩陣R＝（rij）m×n；

（2）將指標(biāo)特征值規(guī)格化矩陣R代入模型（5）求得對(duì)應(yīng)于各指標(biāo)的最優(yōu)目標(biāo)權(quán)重矩陣W＝（wi（j））m×n；

（3）分別取α＝1、2，p＝1、2的4種組合按式（12）計(jì)算樣本j的相對(duì)優(yōu)屬度；

（4）對(duì)4種組合相對(duì)優(yōu)屬度值求平均，得相對(duì)優(yōu)屬度向量；

（5）按值從大到小的順序排序即得指標(biāo)特征值矩陣的排序；

（6）結(jié)束.

2 應(yīng)用研究

為驗(yàn)證模型的有效性，將評(píng)價(jià)結(jié)果與DEA結(jié)果、文獻(xiàn)［12］中建立的相對(duì)距離模型和文獻(xiàn)［19］中TOPSIS模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果見(jiàn)表3.其中sj表示樣本點(diǎn)相對(duì)理想點(diǎn)的距離變量，s＊j為樣本點(diǎn)與理想點(diǎn)距離，s－j為樣本點(diǎn)與非理想點(diǎn)距離，c＊j為樣本點(diǎn)與最理想點(diǎn)的相對(duì)接近度.

各模型對(duì)比分析結(jié)果如下：

首先，DEA 可以看作是處理多輸入多輸出問(wèn)題的多目標(biāo)決策方法［13］.評(píng)價(jià)中可能出現(xiàn)多個(gè)目標(biāo)同時(shí)達(dá)到有效的狀態(tài)，不利于決策者選擇.如算例中除樣本4為最劣樣本外，其余樣本均達(dá)到效率值為1的最優(yōu)樣本的條件.本文算法根據(jù)DEA生成的客觀(guān)權(quán)重進(jìn)行再評(píng)價(jià)，在模型的4種組合下均產(chǎn)生唯一排序，最劣樣本與DEA 算法一致.

其次，可變模糊模型中要求在評(píng)估前人為確定各指標(biāo)權(quán)重，采用主觀(guān)賦權(quán)的方法，各項(xiàng)指標(biāo)權(quán)重之和為一，即不同于主觀(guān)賦權(quán)所采用的專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)，本文算法在權(quán)重的求解與計(jì)算方面根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特點(diǎn)挖掘數(shù)據(jù)指標(biāo)間存在的客觀(guān)關(guān)系，分析出樣本集合中處于相對(duì)最優(yōu)情況的樣本個(gè)體，利用數(shù)學(xué)規(guī)劃的手段在Pareto有效前沿下生成客觀(guān)權(quán)重矩陣，放寬了可變模糊模型中指標(biāo)權(quán)重之和為一的約束條件.

第三，應(yīng)用TOPSIS算法對(duì)樣本進(jìn)行排序.由于文獻(xiàn)［19］所采用的數(shù)據(jù)規(guī)格化公式不同于本文，為增加排序結(jié)果的可對(duì)比性，降低數(shù)據(jù)規(guī)格化方式不同對(duì)最終排序造成的影響，本文對(duì)樣本原始數(shù)據(jù)采用相同的規(guī)格化公式，即式（4）～（5）重新計(jì)算，計(jì)算流程及理論分析如文獻(xiàn)［19－20］所述.所用專(zhuān)家指標(biāo)權(quán)重依次為0.001 0、0.001 0、0.325 4、0.634 6、0.001 0、0.001 0.排序 的 結(jié) 果如表3后3 列所示.TOPSIS算法在樣本數(shù)據(jù)較接近的情況下，理想點(diǎn)和非理想點(diǎn)向量所構(gòu)成的中垂線(xiàn)上及靠近非理想點(diǎn)的中垂線(xiàn)部分，不同衡量標(biāo)準(zhǔn)下樣本點(diǎn)排序存在不合理的現(xiàn)象［20］.易見(jiàn)s＊j、s－j的排序存在差別，除樣本3、4、5外均不能同時(shí)滿(mǎn)足“距離理想點(diǎn)越近越優(yōu)”和“距離非理想點(diǎn)越遠(yuǎn)越優(yōu)”的一致性條件，最大的排序偏差發(fā)生在樣本7，按s＊j排序第5，按s－j排序第1.最終排序是前兩種排序的折中排序，最優(yōu)樣本為樣本10.

當(dāng)α＝1，p＝2時(shí)，可變模糊模型具體化為T(mén)OPSIS模型，因此二者存在的具體差別在于權(quán)重的確定.從識(shí)別最優(yōu)樣本的角度考慮，本文算法基于客觀(guān)權(quán)重計(jì)算樣本10 為最優(yōu)樣本，與TOPSIS專(zhuān)家權(quán)重產(chǎn)生的最優(yōu)樣本結(jié)果一致，證明了客觀(guān)權(quán)重的可適用性.因此能夠適用于由于事前信息量不足而造成的專(zhuān)家權(quán)重難以確定或?qū)＜乙庖?jiàn)不統(tǒng)一的情況.

表1 10輛汽車(chē)的6項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)Tab.1 Data for ten cars with six criteria

表2 可變模糊決策模型相對(duì)優(yōu)屬度計(jì)算結(jié)果Tab.2 Relative optimal membership degrees of variable fuzzy decision－making model

表3 可變模糊、DEA、相對(duì)距離、TOPSIS模型的汽車(chē)排序結(jié)果Tab.3 Ranking for the car example from the variable fuzzy，DEA，relative distance，TOPSIS models

最后，同文獻(xiàn)［12］中建立的相對(duì)距離模型進(jìn)行比較分析.相對(duì)距離模型的原理為根據(jù)DEA模型生成客觀(guān)權(quán)重，在此基礎(chǔ)上引入相對(duì)距離的思想，刻畫(huà)樣本點(diǎn)和理想點(diǎn)之間的相對(duì)差異，并根據(jù)此差異生成最終的樣本排序.因此，在對(duì)最優(yōu)、最劣樣本的識(shí)別上應(yīng)與DEA 模型產(chǎn)生的排序結(jié)果保持一致.從數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出，相對(duì)距離模型滿(mǎn)足了理想點(diǎn)與非理想點(diǎn)距離之和為一的要求，但其排序卻不能與DEA 模型排序結(jié)果相符，如DEA 模型下，樣本4排序第10，相對(duì)距離模型中樣本4排序第7.其次，該模型所用為原始數(shù)據(jù)，未進(jìn)行規(guī)格化處理.由于樣本數(shù)據(jù)可能存在較大的離散型，導(dǎo)致規(guī)劃求解難以滿(mǎn)足wi＞ε的條件，因此模型在約束中增加了理想點(diǎn)與非理想點(diǎn)的比例系數(shù)b，即wi（Y＊i－Y－i）＝b.然而，比例系數(shù)b的設(shè)定需要人為主觀(guān)確定，在建模思想上與該相對(duì)距離模型利用數(shù)據(jù)生成客觀(guān)權(quán)重的思想不統(tǒng)一.

3 結(jié) 論

本文采用客觀(guān)賦權(quán)的方法，從多個(gè)指標(biāo)中尋找使目標(biāo)樣本趨于最優(yōu)的權(quán)重集合，并利用可變模糊集合理論的對(duì)立統(tǒng)一思想對(duì)樣本進(jìn)行計(jì)算排序.該模型解決了DEA 評(píng)價(jià)結(jié)果不唯一的問(wèn)題.

在可變模糊模型中引入DEA 客觀(guān)權(quán)重，權(quán)重的計(jì)算基于樣本數(shù)據(jù)不同指標(biāo)的綜合表現(xiàn).首先，在DEA 計(jì)算生成的客觀(guān)權(quán)重矩陣下，可變模糊的4種不同組合模型能夠產(chǎn)生一致排序.客觀(guān)權(quán)重矩陣的引入放寬了可變模糊模型中對(duì)權(quán)重之和為1的約束條件，算例結(jié)果證明客觀(guān)權(quán)重矩陣能夠應(yīng)用于可變模糊模型.其次，4組模型的相對(duì)優(yōu)屬度和相對(duì)劣屬度排序結(jié)果在“距離理想點(diǎn)越近越優(yōu)”和“距離非理想點(diǎn)越遠(yuǎn)越優(yōu)”兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下分別產(chǎn)生相同的排序結(jié)果，且二者之和為1，故模型適用于決策者無(wú)法確定優(yōu)選衡量標(biāo)準(zhǔn)的情況.第三，TOPSIS算法是可變模糊模型取α＝1，p＝2時(shí)的特例，從擇優(yōu)的角度出發(fā)，應(yīng)用客觀(guān)權(quán)重的可變模糊方法和應(yīng)用主觀(guān)權(quán)重的TOPSIS方法能夠識(shí)別出相同的最優(yōu)樣本.在這一特點(diǎn)下，考慮權(quán)重客觀(guān)度的可變模糊多目標(biāo)決策模型更適用于決策偏好信息不完全或?qū)＜乙庖?jiàn)不統(tǒng)一時(shí)所導(dǎo)致的權(quán)重標(biāo)準(zhǔn)難以確定的情況.最后，客觀(guān)賦權(quán)法的決策或評(píng)價(jià)結(jié)果相對(duì)比較合理、客觀(guān)，可操作性和實(shí)用性強(qiáng).綜上所述，此法為解決偏好信息不完全下的多目標(biāo)決策問(wèn)題提供了一條新的途徑.

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