鐘景明，鄭海鷹

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

泊松型元件成敗型開關(guān)并串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的Fiducial置信限

鐘景明，鄭海鷹?

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

依據(jù)Fiducial理論，給出了泊松型元件成敗型開關(guān)并串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的Fiducial置信下限的可靠性表達(dá)式，并基于元件的定數(shù)截尾壽命試驗數(shù)據(jù)和開關(guān)的成敗型試驗數(shù)據(jù)，利用Beta分布和Monte-Carlo隨機模擬的數(shù)值計算方法來擬合數(shù)據(jù)，結(jié)果表明，基于Fiducial理論與Beta擬合方法研究該系統(tǒng)置信下限是切實可行的．

并串聯(lián)系統(tǒng)；可靠度；Fiducial置信限

根據(jù)元件的試驗數(shù)據(jù)來研究系統(tǒng)可靠性置信限的方法一般有3種：經(jīng)典方法、Bayes方法和Fiducial方法[1]．早在1957年，Buehler就提出了求成敗型串聯(lián)系統(tǒng)可靠性置信下限的經(jīng)典精確解的方法[2]，但由于精確解在計算上困難重重，所以之后統(tǒng)計學(xué)學(xué)者相繼提出了很多求近似解的方法，取得了一系列相當(dāng)有意義的研究成果，例如，吳和成在《系統(tǒng)可靠性評定方法研究》①中，對壽命元件服從連續(xù)型分布的串聯(lián)或并聯(lián)系統(tǒng)可靠性的Fiducial近似置信限進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)[3]給出了成敗型并聯(lián)系統(tǒng)可靠性置信下限的4種近似解法：LR法、AW I法、ML法和AO法，并進(jìn)行了大量模擬計算，認(rèn)為LR法和AO法相對令人滿意；文獻(xiàn)[4-5]利用將數(shù)據(jù)折合的方式與Fiducial方法研究了成敗型元件的系統(tǒng)可靠性置信下限的近似解．本文將依據(jù)Fiducial理論，基于元件和開關(guān)的定數(shù)截尾壽命試驗數(shù)據(jù)，利用Beta分布和Monte-Carlo隨機模擬的數(shù)值計算方法來擬合泊松型元件成敗型開關(guān)并串聯(lián)系統(tǒng)可靠度的Fiducial置信限．

1 系統(tǒng)的可靠性

2 λ與p均已知時，系統(tǒng)可靠性精確Fiducial置信限

引理2[6]g（x）是x的單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)，m∈N，則[g（x）]m也是單調(diào)遞增（遞減）函數(shù)．

證畢．

設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的泊松分布，X1,X2,…,Xn是來自X的一個樣本，則2nλ的Fiducial分布為：

其中T=X（1）+X（2）+…+X（r）+（n-r）X（r）．則對置信度為1-α，λ的Fiducial置信下限就為：

定理3 當(dāng)p為已知時，由于R（t,n,p,λ）是關(guān)于λ的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，故對于置信度為1-α，該系統(tǒng)可靠度R（t,n,p,λ）的Fiducial置信下限就是：

證明：對于固定的λ＞0，由定理2可知，R（t,n,p,λ）是關(guān)于p的嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)，且開關(guān)可靠度p~Beta（S,N-S+1），故有：

證畢．

3 λ與p均未知時，系統(tǒng)可靠性近似Fiducial置信限

當(dāng)λ與p均未知時，如果要利用λ與p的Fiducial分布來求R（t,n,p,λ）的精確Fiducial分布顯然是比較困難的，所以應(yīng)考慮其近似分布．由于R（t,n,p,λ）的取值是在[0,1]區(qū)間上，而在該區(qū)間上取值的Beta分布是一種常見的分布，因而依據(jù)一階矩、二階矩擬合的原則，系統(tǒng)可靠度R（t,n,p,λ）的Fiducial分布就可以近似地認(rèn)為是Beta分布．

由（2）式及p~Beta（S,N-S+1）易得：

又有：

解得：

4 模擬分析

為了考究文中Beta擬合方法得到的R（t,n,p,λ）的近似置信下限的精確度，對λ、p均未知時，系統(tǒng)可靠度在上述方法下的近似Fiducial置信限進(jìn)行模擬計算與分析．當(dāng)λ、p均未知時，需要選取以下3個指標(biāo)對模擬結(jié)果進(jìn)行優(yōu)劣評價[7]：

1）覆蓋率v，它越接近預(yù)定的置信水平，說明該方法越優(yōu)；

2）置信下限γ分位點，它與系統(tǒng)可靠度真值越接近，說明該方法越優(yōu)；

3）置信下限的均方誤差e，在以覆蓋率或分位點指標(biāo)為優(yōu)的前提下，它越小越好．

給定子系統(tǒng)的個數(shù)n以及每個子系統(tǒng)所包含的元件數(shù)k1,k2,k3,…,kn，同時，給定開關(guān)的定數(shù)截尾壽命試驗數(shù)據(jù)（N,S），利用Monte-Carlo方法與Matlab軟件進(jìn)行隨機模擬，模擬結(jié)果見表1．

表1 R（t,n,p,λ） 的模擬計算結(jié)果

由表1的模擬結(jié)果可以看出，對于所給的3個評價指標(biāo)，3個樣本下的分位點γ與真實值R（t,n,p,λ）之間的絕對誤差不超過3％，均方誤差e也沒有超過2％，覆蓋率v與預(yù)定的置信水平相差值均小于5％．對于置信度為1-α的可靠度置信下限RL，在Pr{R≥RL}≥1-α的前提下，其均值E[RL]越大，則置信度為1-α的可靠度置信下限RL就越好，反之，若Pr{R≥RL}＜1-α，則認(rèn)為置信度為1-α的可靠度置信下限RL是冒進(jìn)了．表1關(guān)于該系統(tǒng)可靠度的Fiducial置信限估計結(jié)果符合評價要求，Beta擬合方法是切實可行的．但是，如果與精確解或其它近似解進(jìn)行對比分析，仍然需要更嚴(yán)謹(jǐn)、更深入的探討，以及更豐富的數(shù)據(jù)支撐．

[1] 曹普華, 程侃. 可靠性數(shù)學(xué)引論[M]. 北京：高等教育出版社, 2006：7.

[2] Buehler B J. Confidence Intervals for Product of Two Binomial Parameters [J]. Journal of the American Statistical Association, 1957, 52：482-493.

[3] 盛驟. 成敗型并聯(lián)系統(tǒng)可靠性置信下限的近似解[J]. 高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報, 1988, 3（4）；557-562.

[4] 范大茵. 具有多層試驗數(shù)據(jù)的成敗型元件之串并聯(lián)系統(tǒng)及并串聯(lián)系統(tǒng)可靠性置信下限的近似解[J]. 宇航學(xué)報, 1990, （2）：21-27.

[5] 鄭海鷹, 范大茵. 成敗型元件可靠性估計及近似置信限[J]. 經(jīng)濟數(shù)學(xué), 2000, 17（3）：41-44.

[6] 陳威玲, 鄭海鷹. Poisson型元件串并聯(lián)系統(tǒng)和并串聯(lián)系統(tǒng)的可靠性置信下限[J]. 溫州大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版, 2009, 30（4）：49-54.

[7] 張民悅, 代文華, 姚滔. 開關(guān)指數(shù)型二部件溫貯備系統(tǒng)可靠度Fiducial置信限[J]. 蘭州理工大學(xué)學(xué)報, 2010,36（1）：132-136.

The Fiducial Confidence Lim it of the Reliability for Parallel-series System in Poisson Components and Pass-fail Sw itches

ZHONG Jingm ing，ZHENG Haiying
（College of Mathematics and Information Science,Wenzhou University,Wenzhou,China 325035）

According to Fiducial theory, the paper puts forward reliable expressions of the lower confidence lim it in the parallel-series system of Poisson components and pass-fail sw itches. And based on fixed number testing data of components and pass-fail testing data of sw itches, the fitting data were obtained by means of Beta distribution and Monte-Carlo’s random calculation, confirm ing that the combination of Fiducial theory and Beta fitting method is feasible and practical.

Parallel-series System；Reliability；Fiducial Confidence Limit

O213

A

1674-3563（2013）01-0018-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.01.004 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-07-02

鐘景明（1986- ），男，廣東化州人，碩士研究生，研究方向：應(yīng)用統(tǒng)計．? 通訊作者，wzzhying@163.com① 吳和成. 系統(tǒng)可靠性評定方法研究[M]. 北京：科學(xué)出版社, 2006.