安 榮，王 賢

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

具有Friction邊界條件的Navier-Stokes方程的兩重牛頓校正算法

安 榮，王 賢

（溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035）

基于壓力投影穩(wěn)定有限元方法，給出一個(gè)求解具有Friction邊界條件的Navier-Stokes方程的兩重牛頓校正算法．從獲得的誤差估計(jì)可以看出，如果細(xì)網(wǎng)格尺度滿足h=O（H4），那么該兩重牛頓校正算法與一重穩(wěn)定有限元方法具有相同的收斂階．與有關(guān)文獻(xiàn)相比，該算法的計(jì)算效率更高．

Navier-Stokes方程；Friction邊界條件；穩(wěn)定有限元方法；兩重牛頓校正方法

考慮定常Navier-Stokes方程：

問題（1）和（2）首先是由Fujita在文獻(xiàn)[1]中提出的，其弱變分形式為Navier-Stokes類型的第二類變分不等式問題．本文基于壓力投影穩(wěn)定有限元方法[1-3]，給出一個(gè)兩重牛頓校正算法來求方程（1）和（2）的數(shù)值解，其求解過程可描述如下：

1）在尺度為H的粗網(wǎng)格上求解一個(gè)小型的Navier-Stokes型變分不等式問題；

2）在尺度為h的細(xì)網(wǎng)格上求解一個(gè)大型的Oseen型變分不等式問題；

3）在細(xì)網(wǎng)格上求解一個(gè)大型的線性化Navier-Stokes型變分不等式問題．

||u-uh||H1+||p-ph||L2≤c（h+H2）．

在這種情況下，如果選擇h=Ο（H2），則兩重Oseen算法具有最佳收斂階．本文基于文獻(xiàn)[5]的思想，在細(xì)網(wǎng)格上求解Oseen型變分不等式問題后再構(gòu)造一步牛頓校正算法，得到了如下的誤差估計(jì)：

從上面的估計(jì)式可以看出，若h=Ο（H4），那么兩重牛頓校正算法也具有最優(yōu)的收斂階．因此，對(duì)比文獻(xiàn)[4]中所研究的兩重算法，本文所構(gòu)造的兩重牛頓校正算法更加節(jié)省CPU的求解時(shí)間，計(jì)算效率更高．

本文中符號(hào)c總是表示不依賴與h和H的正常數(shù)，但可能與μ和區(qū)域Ω以及u,p,f,g的范數(shù)相關(guān)．

1 具有Friction邊界條件的Navier-Stokes方程

首先，引入一些常用的函數(shù)空間．

記（·,·）和||·||分別表示空間L2（Ω）和L2（Ω）2中的內(nèi)積和范數(shù)，令||·||k表示空間Hk（Ω）2中通常的Sobolev范數(shù)，然后在空間V中裝備內(nèi)積（?·,?·）和范數(shù)||·||V，由Poincare不等式知，范數(shù)||?v||與||v||1等價(jià)．

引入下面的雙線性和三線性形式：

如果div u=0，那么三線性項(xiàng)b（·,·,·）：V×V×V →R 滿足

因此三線性項(xiàng)b（·,·,·）：Vσ×V×V →R 具有反對(duì)稱性，即

b（u,v,w）=-b（u,w,v），?u∈Vσ,v,w∈V ．

b（u,v,w）≤N||u||V||v||V||w ||w，?u,v,w∈V ．

給定f∈L2（Ω）2和g∈L2（Ω）并且在邊界S上g≥0，則方程（1）和（2）的弱變分形式為下面Navier-Stokes型變分不等式問題，求（u,p）∈V×M 使得

這里j（η）=∫Sg|η|d s ．由壓縮映射原理和下面的唯一性條件：

文獻(xiàn)[6]給出了方程（4）的解的存在唯一性，并且u滿足下面的估計(jì)式：

這里k1＞0滿足|（f,v）-j（vτ）|≤k1（||f||+||g||L2（S））||v ||V．

2 壓力投影穩(wěn)定有限元逼近

令Γh為區(qū)域Ω的一族正則三角形剖分，并且剖分尺度h滿足0＜h＜1．定義V和M的協(xié)調(diào)有限元空間為：Vh={v∈V：v|K∈P1（K）,?K ∈Γh}和Mh={q∈M：q|K∈P1（K）,?K ∈Γh}，那么問題（4）的壓力投影有限元逼近解（uh,ph）∈Vh×Mh滿足下面的離散變分不等式問題：求（uh,ph）∈Vh×Mh使得

這里穩(wěn)定項(xiàng)G（p,q）定義為：

G（p,q）=（p-Πp,q-Πq），?p,q∈M ．

算子Π：M→P0為投影算子，且滿足

定義雙線性形式B：（V,M）×（V,M）→R ：B（u,p；v,q）=a（u,v）-d（v,p）+d（u,q），記

Bh（uh,ph；vh,qh）=B（uh,ph；vh,qh）+G（ph,qh）．

則離散問題（7）可以重新表示為如下形式：

為了建立（9）式中解的存在唯一性，回顧下面在文獻(xiàn)[2-3]中出現(xiàn)的穩(wěn)定性定理．

定理1 對(duì)所有p∈M，假設(shè)Π為一M→P0的連續(xù)算子：

||Πp||≤c||p || ?p∈M，則Bh滿足下面的連續(xù)性：

|Bh（uh,ph；wh,rh）|≤β1（||uh||V+||ph||）（||wh||V+||rh||）,?（uh,ph）,（wh,rh）∈Vh×Mh和弱強(qiáng)制性：

我們回顧在文獻(xiàn)[6]中出現(xiàn)的關(guān)于離散問題（9）的解的存在唯一性和u與uh間的誤差估計(jì)．

定理2 假設(shè)唯一性條件（5）成立，那么離散問題（9）存在唯一解（uh,ph）∈Vh×Mh．令（u,p）∈V×M為（4）的解，如果（u,p）足夠光滑，那么有下面最優(yōu)誤差估計(jì)：

3 兩重牛頓校正算法

令ΓH和Γh為一族直徑滿足0＜h＜＜H ＜1的區(qū)域Ω的正則三角形剖分．剖分ΓH和Γh的有限元空間（VH,MH）和（Vh,Mh）的定義同第二部分的定義．本文所構(gòu)造的兩重牛頓校正算法如下：

第一步：求（uH,pH）∈VH×MH使得對(duì)所有的（vH,qH）∈VH×MH下式成立：

第二步：求（uh,ph）∈Vh×Mh使得對(duì)所有的（vh,qh）∈Vh×Mh下式成立：

在（12）式中分別取（vh,qh）=（0,0）和（vh,qh）=（2uh,2ph），有：

對(duì)充分光滑的（u,p），文獻(xiàn)[4]給出了下面的誤差估計(jì)：

關(guān)于問題（13），運(yùn)用唯一性條件（5）和（14），有：

這樣，從定理1有：

證畢．

定理3 假設(shè)（5）式唯一性條件成立，令（u,p）∈V×M和（uh*,ph*）∈Vh×Mh分別是（4）式和（13）式的解，那么對(duì)充分光滑的（u,p），有：

證明：由（10）、（15）、（16）和（17）式及三角不等式有：

[1] Fujita H. A mathematical analysis of motions of viscous incompressible fluid under leak or slip boundary conditions [J]. RIMS Kokyuroku, 1994, 888：199-216.

[2] Bochev P, Dohrmann C, Gunzburger M. Stabilization of low-order m ixed finite element [J]. SIAM J Numer Anal, 2006, 44（1）：82-101.

[3] Li J, He Y. A stabilized finite element method based on two local Gauss integrations for the Stokes equations [J]. J Comput Appl Math, 2008, 214（1）：58-65.

[4] Li Y, An R. Two-Level Pressure Projection Finite Element Methods for Navier- Stokes Equations w ith Nonlinear Slip Boundary Conditions [J]. Appl Numer Math, 2011, 61（3）：285-297.

[5] Xu J. Two-grid Discretization Techniques for Linear and Nonlinear PDEs [J]. SIAM J Numer Anal, 1996, 33（5）：1759-1777.

[6] Li Y, Li K. Pressure Projection stabilized finite element for Navier-Stokes equations w ith nonlinear slip boundary conditions [J]. Computing, 2010, 87（3-4）：113-133.

Two-level New ton Correction Algorithm for Solving Navier-Stokes Equations w ith Friction Boundary Conditions

AN Rong, WANG Xian
（School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035）

Based on the pressure projection stable finite element method, this paper presents a two-level New ton correction algorithm for solving Navier-Stokes equations w ith friction boundary conditions. From the error estimations obtained, it can be seen that this method has the same order of convergence as one-fold stable finite element method if the fine grid scale accords w ith the formula h=O（H4）.Reference to relevant documents, it can be found that the algorithm has higher efficiency of calculation.

Navier-Stokes Equations；Friction Boundary Conditions；Stable Finite Element Method；Two-level New ton Correction Algorithm

O241

A

1674-3563（2013）01-0001-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2013.01.001 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

（編輯：王一芳）

2012-06-09

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（10901122，11001205，11126226）；浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（LY12A01015，Y6110240）

安榮（1980- ），男，山西太原人，副教授，博士，研究方向：偏微分方程數(shù)值解