彭富明，方斌

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

近30 年，控制技術(shù)獲得飛速發(fā)展，如預(yù)測控制、自適應(yīng)控制、滑模控制和智能控制等，但PID控制器仍然在各種實(shí)際控制系統(tǒng)中起著重要作用。PID 參數(shù)設(shè)計(jì)有很多實(shí)用有效的方法;近10年，關(guān)于PID 控制器三維穩(wěn)定空間的研究取得一系列進(jìn)展[1－6]，這些方法基本都是針對(duì)被控對(duì)象是線性的。然而，實(shí)際的系統(tǒng)不可避免存在一些非線性因素，尤其是控制器的輸出普遍存在或多或少的死區(qū)和飽和現(xiàn)象。當(dāng)死區(qū)和飽和現(xiàn)象不能忽略時(shí)，而所設(shè)計(jì)PID 控制器時(shí)，對(duì)這些非線性因素未能充分考慮，按線性對(duì)象鎮(zhèn)定的系統(tǒng)其性能會(huì)明顯下降甚至出現(xiàn)不穩(wěn)定。文獻(xiàn)[7 －9]運(yùn)用線性矩陣不等式(LMI)，通過優(yōu)化的方法，分析與設(shè)計(jì)抗飽和問題。文獻(xiàn)[10]通過精心選擇非線性增益函數(shù)，形成一個(gè)非線性PID 控制器。文獻(xiàn)[11]提出了一種模糊PID 控制器的設(shè)計(jì)方法來提高含飽和特性系統(tǒng)的性能。文獻(xiàn)[13]基于Lyapunov 理論提出一種飽和非線性PID 調(diào)節(jié)器，一些類似的方法見文獻(xiàn)[14 －16].盡管這些方法各具特色，由于其對(duì)理論要求高、計(jì)算量大，對(duì)模型有一定要求等，并沒有在實(shí)際控制工程得到廣泛的應(yīng)用。

基于將控制器的輸出信號(hào)與被控對(duì)象的輸入信號(hào)的差值作為反饋支路達(dá)到抑制飽和的目的，盡快消除飽和帶來的系統(tǒng)性能惡化的思想，產(chǎn)生2 大類型的方法:傳統(tǒng)的抗重置飽和(Anti－reset windup)和條件技術(shù)。這2 類方法由于設(shè)計(jì)簡單，在實(shí)際系統(tǒng)中獲得較好的應(yīng)用。其設(shè)計(jì)過程主要有2 步:1)按線性對(duì)象設(shè)計(jì)PID 控制器本身，再根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)反向計(jì)算的跟蹤時(shí)間常數(shù)。一般情況下，它們能有效改善系統(tǒng)性能。但該方法并不總是有效抑制飽和現(xiàn)象，尤其當(dāng)跟蹤時(shí)間常數(shù)或PID 控制器本身設(shè)計(jì)不恰當(dāng)時(shí);2)當(dāng)被控對(duì)象不穩(wěn)定時(shí)，更無法保證系統(tǒng)穩(wěn)定。由于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析與設(shè)計(jì)在工程實(shí)踐中較為困難，本文的基本想法是不改變?cè)械腜ID 控制器結(jié)構(gòu)，提出一種PID 設(shè)計(jì)方法，克服了死區(qū)和飽和現(xiàn)象，并保證該非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性;在系統(tǒng)有一個(gè)大的階躍參考輸入時(shí)，該系統(tǒng)仍然維持在一個(gè)大的穩(wěn)定范圍工作。雖然沒有嚴(yán)格的理論證明，但其設(shè)計(jì)思路明確、方法簡單，仿真實(shí)例表明，該方法適用于控制器離線設(shè)計(jì)，可滿足實(shí)際應(yīng)用要求。

1 問題表述

含死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)如圖1 所示。

圖1 含死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)Fig.1 Nonlinear system with dead－zone and saturation

設(shè)控制對(duì)象為

式中:bi，aj(i =1，2，…，q，j =1，2，…，n1)分別為分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù)，n1＞q，an1＞0，τ≥0.G(s)的逆函數(shù)為=1/G(s).

PID 控制器為

式中:KP、KI和KD分別為比例、積分和微分增益。

死區(qū)和飽和特性v 和其描述函數(shù)N(A)分別為

式中:A 為非線性環(huán)節(jié)正弦輸入信號(hào)的幅值;kn為飽和部分的斜率。

非線性系統(tǒng)在PID 控制下的特征方程為

本文的目標(biāo)是對(duì)死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)，運(yùn)用(5)式設(shè)計(jì)PID 控制器，在階躍參考輸入下使系統(tǒng)能保證具有較好的性能。

2 線性系統(tǒng)PID 參數(shù)穩(wěn)定域方法

對(duì)于含時(shí)滯或不含時(shí)滯的線性系統(tǒng)PID 穩(wěn)定域研究，其基本過程是首先確定比例增益KP穩(wěn)定的范圍;在該范圍通過遍歷增益KP，以確定KP為定值時(shí)相應(yīng)的KD－KI平面上穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)圖1 所示系統(tǒng)死區(qū)和飽和可以忽略時(shí)，相當(dāng)于N(A)=kn，此時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為

式中:s 的最高階為n=n1+1.

(6)式可以改寫的等價(jià)形式:

將s=jω 代入(7)式有:

由(8)式可分析確定增益KP的穩(wěn)定范圍[6]，(9)式可獲得KD－KI平面一系列邊界直線，進(jìn)而運(yùn)用逆時(shí)針規(guī)律可確定KD－KI平面上的穩(wěn)定區(qū)域，具體方法見文獻(xiàn)[5，17].確定含時(shí)滯或不含時(shí)滯的線性系統(tǒng)PID 穩(wěn)定域的步驟如下:

2)在KP的穩(wěn)定范圍，取某一KP=，在復(fù)平面上作縱向直線，其橫坐標(biāo)為－，求出該直線與逆Nyquist 曲線)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率按從小到大順序排列分別為ω0，ω1，…，ωl;ω0=0，j=1，2，…，l.在KD－KI平面，確定穩(wěn)定范圍的邊界直線和KI=0.

4)在KP的穩(wěn)定范圍遍歷KP，重復(fù)上述步驟，可獲得含或不含時(shí)滯的線性系統(tǒng)PID 控制器參數(shù)穩(wěn)定域的三維空間。

3 含死區(qū)飽和非線性系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法

眾所周知運(yùn)用描述函數(shù)分析和設(shè)計(jì)非線性系統(tǒng)是最經(jīng)典的方法之一。為了有效延伸這種技術(shù)，利用(5)式計(jì)算死區(qū)和飽和非線性系統(tǒng)的PID 參數(shù)穩(wěn)定域。最簡單方法是使用等效的逆Nyquist 特性G(jω)/N(A)代替原逆Nyquist 曲線由于SIDF 模型依賴于非線性環(huán)節(jié)的正弦輸入幅度A，而參考輸入是階躍函數(shù)時(shí)，輸入幅度A 不是恒定的，可以選取適當(dāng)?shù)妮斎敕燃蟵Ai}，i =0，1，2，…;(A0=a，Ai＜Ai+1)，該集合{Ai}盡可能覆蓋非線性環(huán)節(jié)輸入振幅的范圍。通過上述處理，可直接用第3 節(jié)的方法計(jì)算出針對(duì)每個(gè)Ai的PID 參數(shù)穩(wěn)定域Si.

本文所提出的方法是基于以下假設(shè):當(dāng)某一個(gè)確定的PID 控制器對(duì)不同的Ai都能使(5)式穩(wěn)定，那么非線性系統(tǒng)本身也一定是穩(wěn)定的?，F(xiàn)在有2 種不同情況考慮。

3.1 開環(huán)穩(wěn)定

開環(huán)穩(wěn)定時(shí)，對(duì)圖1所示的死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)作如下分析:

1)如果PID 控制器輸出長期處于飽和或死區(qū)狀態(tài)，那么被控對(duì)象輸入則為一個(gè)常數(shù)，閉環(huán)系統(tǒng)實(shí)際上一直處于開環(huán)狀態(tài)。當(dāng)被控對(duì)象是開環(huán)穩(wěn)定的，則系統(tǒng)輸出也是穩(wěn)定的。

2)一般對(duì)于穩(wěn)定的被控對(duì)象，如果Kp的穩(wěn)定區(qū)間 是KP∈(KPi，KPi+1)，KP和KPi+1所 對(duì) 應(yīng) 逆Nyquist 曲線上的2 點(diǎn)位于縱軸兩側(cè)，逆Nyquist 曲線必然隨著Ai的增大逐步向外擴(kuò)展;由于N(A0)＞N(A1)＞N(A2)＞…，通常有Si?Si+1和Si∩Si+1≠?.雖然在集合Si+1－Si內(nèi)設(shè)計(jì)PID參數(shù)，階躍輸入時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)也能保證是穩(wěn)定的，但此時(shí)控制器的輸出一般都處于飽和狀態(tài)。

此時(shí)，PID 控制器設(shè)計(jì)的基本步驟如下:

1)選取適當(dāng)?shù)妮斎敕燃蟵Ai}，i =0，1，2，…，max ，使集合{Ai}盡可能覆蓋非線性環(huán)節(jié)輸入振幅的范圍。雖沒有具體的理論指導(dǎo)選擇最大輸入幅度Amax，但一般情況，振幅Amax越大，所設(shè)計(jì)的PID控制器更好地減弱飽和的影響。由于死區(qū)的存在，以及過大的Amax不僅造成計(jì)算量的增加，在實(shí)踐中也是沒有必要。一個(gè)簡單的選擇是2≤Amax/a≤4.

2)根據(jù)每一個(gè)新的等效逆Nyquist 曲線和第3 節(jié)所介紹方法，可以判斷每個(gè)Ai所允許的比例增益穩(wěn)定集合(范圍)SKP，i.同時(shí)滿足每個(gè)Ai所允許的比例增益穩(wěn)定集合SKP=

3)在集合SKP內(nèi)選擇一個(gè)固定的KP∈SKP.根據(jù)第3 節(jié)所介紹方法，可以判斷每個(gè)Ai所允許的微分和積分增益(KD，KI)穩(wěn)定集合SKIKD，i.同時(shí)滿足每個(gè)Ai所允許的微分和積分增益穩(wěn)定集合SKIKD=

4)對(duì)圖1 所示的死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)PID 參數(shù)可根據(jù)KP∈SKP和(KD，KI)∈SKIKD選擇。

3.2 開環(huán)不穩(wěn)定

當(dāng)開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，對(duì)圖1 所示的死區(qū)和飽和的非線性系統(tǒng)作如下分析:

1)當(dāng)開環(huán)不穩(wěn)定且系統(tǒng)處于死區(qū)或飽和狀態(tài)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)相當(dāng)于開環(huán)，系統(tǒng)的輸出也將是不穩(wěn)定的;此時(shí)不僅要分析幅值A(chǔ)i的變化對(duì)穩(wěn)定域的影響，還要分析Δ=0 時(shí)的影響。

2)一般對(duì)于不穩(wěn)定的被控對(duì)象，如果KP的穩(wěn)定區(qū)間是KP∈(KPi，KPi+1)，KPi和KPi+1所對(duì)應(yīng)的逆Nyquist 曲線上2 點(diǎn)位于縱軸同一側(cè);當(dāng)Amax較大時(shí)，通常有Si∩Si+1=?;因此不能選擇太大的Amax.

綜上所述，針對(duì)開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，僅采用PID控制器是不能達(dá)到穩(wěn)定系統(tǒng)的要求。一個(gè)新的結(jié)構(gòu)被提出如圖2 所示。對(duì)參考輸入階躍信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理GP(s)=1/TPs+1;預(yù)處理器具有低通特性，可有效抑制參考輸入的突變帶來系統(tǒng)的劇烈波動(dòng)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的軟啟動(dòng);可以非常有效地改善非線性環(huán)節(jié)的影響，并確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖2 開環(huán)不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)控制Fig.2 Control of nonlinear system for open－loop unstability

此時(shí)，PID 控制器設(shè)計(jì)的基本步驟如下:

1)～4)與開環(huán)穩(wěn)定時(shí)相同。但最大振幅Amax可適當(dāng)小些，一般1 ＜Amax/a≤3.

圖3 具有相同PID 控制器的線性系統(tǒng)Fig.3 Linear system with the same PID controller

5)按前步驟4)所設(shè)計(jì)的PID 控制器應(yīng)用于被控對(duì)象為knG(s)e－τs線性系統(tǒng)時(shí)，如圖3 所示，該系統(tǒng)必然是穩(wěn)定的?？蓮膱D3 獲取該線性系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts，前置預(yù)過濾器的時(shí)間常數(shù)可以簡單選擇:TP＞(0.2 ～0.8)ts.

4 實(shí)例

例1 設(shè)被控制對(duì)象及死區(qū)和飽和特性參數(shù)為

取振幅Ai=1，1.5，2，每個(gè)Ai所相應(yīng)的比例增益穩(wěn)定范圍(集合)分別為:SKP，0=(－0.81，0.75)、SKP，1= (－ 0.654，0.608)和 SKP，2= (－ 0.51，0.478);則SKP=(－0.51，0.478).令KP=0.4，則每個(gè)Ai所相應(yīng)的微分和積分增益穩(wěn)定范圍SKIKD，i，如圖4 所示(圖中坐標(biāo)是后面2 個(gè)數(shù)據(jù)表示，即KP一定下的KD－KI圖)。從圖4 中選取4 個(gè)點(diǎn)P1、P2、P3和P4，4 個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的PID 控制器參數(shù)(KP，KI，KD)分別為(0.4，0.2，0.3)、(0.4，0.5，0.6)、(0.4，0.5，0.8)和(0.4，0.4，1).4 種情況系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖5(a)所示;在t =50 s 加入脈沖擾動(dòng)w(t)，其幅值為1、寬度為2 s.4 種情況PID 控制器的輸出如圖5(b)所示，可見交集SKIKD內(nèi)點(diǎn)P1所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)特性好于其他點(diǎn)，積分增益越小系統(tǒng)總體特性要好。

圖4 例1 的微分和積分增益穩(wěn)定范圍Fig.4 The stable regions of differential and integral gains for Example 1

例2 設(shè)被控制對(duì)象及死區(qū)和飽和特性參數(shù)為

由于例2 為不穩(wěn)定對(duì)象，需考慮完全線性條件下(a=∞，Δ=0)的穩(wěn)定域，此時(shí)比例增益穩(wěn)定范圍為SKP，－1=(1，2.708).取振幅Ai=1，1.5，2，每個(gè)Ai所相應(yīng)的比例增益穩(wěn)定范圍(集合)分別為:SKP，0=(0.873，2.364)，SKP，1= (0.696，1.885)，SKP，2=(0.545，1.477);則SKP=(1，1.477).令KP=1.4，則每個(gè)Ai所相應(yīng)的微分和積分增益穩(wěn)定范圍SKIKD，i如圖6 所示。從圖6 中選取4 個(gè)點(diǎn)D1、D2、D3和D4，4 點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的PID 控制器參數(shù)(KP，KI，KD)分別為(1.4，0.05，1.5)、(1.4，0.05，2.5)、(1.4，0.1，2.7)和(1.4，0.1，3.7).4 種情況系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖7(a)所示，控制器的輸出如圖7(b)所示。可見交集SKIKD內(nèi)點(diǎn)D1所對(duì)應(yīng)系統(tǒng)特性好于其他點(diǎn)，積分增益越小系統(tǒng)總體特性要好。值得注意的是，即使是在交集SKIKD內(nèi)選點(diǎn)，當(dāng)所選取的點(diǎn)其積分增益較大時(shí)(靠近線A0時(shí)，見圖6)，閉環(huán)系統(tǒng)將會(huì)不穩(wěn)定;另外，當(dāng)死區(qū)Δ 較大時(shí)，比例增益相應(yīng)要增大。

圖5 開環(huán)穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)階躍階躍響應(yīng)和控制器輸出Fig.5 System step response and controller output for open－loop stability

圖6 例2 的微分和積分增益穩(wěn)定范圍Fig.6 The stable regions of differential and integral gains of Example 2

圖7 開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)系統(tǒng)階躍響應(yīng)和控制器輸出Fig.7 System step response and controller output for open－loop unstability

無論開環(huán)是穩(wěn)定或不穩(wěn)定的對(duì)象，在穩(wěn)定域交集內(nèi)選取較小的積分增益，控制系統(tǒng)性能就越好。對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的對(duì)象，也可以對(duì)參考輸入進(jìn)行預(yù)處理，更好地改善設(shè)定值變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的對(duì)象，所容許設(shè)定的PID 控制器參數(shù)集要小于文中的穩(wěn)定域交集，且其抗擾動(dòng)能力不強(qiáng)。為進(jìn)一步提高穩(wěn)定域交集的可行性，可以加入的相位裕度約束e－jγ(10°≤γ≤60°)，使所設(shè)計(jì)的PID 控制器具有更好的性能，此時(shí)新的等效逆Nyquist 曲線為如當(dāng)γ =30°時(shí)，例1 的SKP=(－0.44，0.4476).取KP=0.4 時(shí)，則每個(gè)Ai=1、1.5、2 所相應(yīng)的微分和積分增益穩(wěn)定范圍SKIKD，i如圖8 所示;圖8 中，細(xì)線為γ =0°(既為圖4)，粗線為γ=30°情況。從圖8 可見，只有P1點(diǎn)落入粗線所構(gòu)成的區(qū)域交集SKIKD內(nèi)。因而，加入相位裕度約束e－jγ，可使所設(shè)計(jì)的PID 控制器具有更好的性能。

5 結(jié)論

圖8 γ=30°時(shí)例1 的微分和積分增益穩(wěn)定范圍Fig.8 The stable regions of differential and integral gains of Example 1 for γ=30°

本文研究含死區(qū)飽和特性系統(tǒng)的PID 控制器設(shè)計(jì)，并提出了一種設(shè)計(jì)方法。它可以減輕非線性對(duì)系統(tǒng)的影響?；诜蔷€性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)模型，一種新的等效逆Nyquist 曲線被提出。對(duì)于開環(huán)穩(wěn)定的對(duì)象，PID 控制器參數(shù)的選取，可直接從不同的幅值A(chǔ)i條件下參數(shù)穩(wěn)定域的交集中獲得。對(duì)于開環(huán)不穩(wěn)定的對(duì)象，首先對(duì)階躍參考輸入進(jìn)行預(yù)處理，并提供預(yù)過濾器時(shí)間常數(shù)的選取方法，PID 控制器的設(shè)計(jì)與開環(huán)穩(wěn)定時(shí)相同，但開環(huán)不穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)抗干擾的能力較弱，在交集中積分增益較大的點(diǎn)仍可能不穩(wěn)定的，所選點(diǎn)應(yīng)盡量遠(yuǎn)離積分增益較大的邊界線。本文提出的方法可以擴(kuò)展到其他含硬非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)。

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