王雅萍

(江蘇商貿(mào)職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部，江蘇 南通 226001)

導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)中的一個基本概念，在整個數(shù)學(xué)知識體系中起到承上啟下的作用，也是高職數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點，學(xué)生能否牢固掌握導(dǎo)數(shù)概念直接影響到后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)．文章結(jié)合教學(xué)實踐談?wù)勱P(guān)于導(dǎo)數(shù)概念引入的幾點見解．

1 現(xiàn)有導(dǎo)數(shù)概念引入分析

現(xiàn)在的高等數(shù)學(xué)教材中,大多是以質(zhì)點變速直線運動的瞬時速度和電流強度的例子來引入導(dǎo)數(shù)概念,這種導(dǎo)入方法有利有弊，對于中學(xué)物理基礎(chǔ)知識扎實的學(xué)生來說，自然容易理解；而對于基礎(chǔ)薄弱的那部分學(xué)生,接受起來難上加難．對于基礎(chǔ)相對薄弱的高職生來說，導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)容抽象、符號多、公式復(fù)雜，其定義的方法不熟悉,加之前期極限概念沒有很好地掌握，導(dǎo)致開始接觸導(dǎo)數(shù)定義就難以接受和理解，從而完全對其失去興趣，不能很好的參與到教學(xué)中來，這樣的教學(xué)結(jié)果一定是失敗的．因此，我們在教學(xué)過程中一定要重視教學(xué)伊始的導(dǎo)入環(huán)節(jié)．

2 導(dǎo)數(shù)概念引入的方法

2.1 通過結(jié)合專業(yè)問題過渡到導(dǎo)數(shù)概念

新課改的指導(dǎo)思想是通過學(xué)習(xí)，學(xué)生能將數(shù)學(xué)概念與實際概念相融合，并將數(shù)學(xué)概念與專業(yè)中的相關(guān)概念對接，能在實際問題情景中合理利用數(shù)學(xué)知識解決問題．而在實際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教學(xué)與專業(yè)學(xué)習(xí)相脫節(jié)，學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)知識不知道如何在專業(yè)中運用．因此在引入導(dǎo)數(shù)概念的時候，應(yīng)當(dāng)以學(xué)生的實際學(xué)習(xí)水平和專業(yè)情況為依據(jù)，盡量運用專業(yè)課中的導(dǎo)數(shù)原型例子，加強對實際問題的分析，根據(jù)每個學(xué)生實際的專業(yè)特征來進(jìn)行有針對性的準(zhǔn)備，從而深化學(xué)生對導(dǎo)數(shù)的認(rèn)識．如果不考慮學(xué)生的專業(yè)需求，強制學(xué)生學(xué)習(xí)的話，必然會抹殺學(xué)生對數(shù)學(xué)的求知欲．學(xué)生的專業(yè)需求不一樣就會提出自己對學(xué)習(xí)的不同要求，這樣才能使每個學(xué)生在學(xué)習(xí)的時候由被動轉(zhuǎn)變成主動、自愿．

在實際教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)在結(jié)合專業(yè)講具體案例時，學(xué)生的興趣濃厚，學(xué)習(xí)積極性較高．比如：汽車制造類，機械設(shè)計制造類專業(yè)的學(xué)生物理知識比較扎實，對速度這個概念相對比較敏感，這部分學(xué)生就適合用變速運動的瞬時速度例子引入導(dǎo)數(shù)概念．并詳細(xì)講解加速度與速度的關(guān)系．如果是電力技術(shù)類的學(xué)生就比較適合用電流強度的例子引入導(dǎo)數(shù)概念，這和他們的專業(yè)息息相關(guān)．如果是制圖類專業(yè)的學(xué)生就適合用導(dǎo)數(shù)的幾何意義——切線的斜率來引入．求曲線切線斜率是導(dǎo)數(shù)概念的幾何背景, 借助圖形對于有一定空間思維的學(xué)生來說, 都能很直觀的得出曲線的切線即可看作割線向其極限位置逼近, 從圖形上形成更直觀的感受，從而突出概念的本質(zhì)．強調(diào)幾何直觀．對于財政金融類，經(jīng)濟貿(mào)易類的學(xué)生則可以從邊際成本等經(jīng)濟學(xué)方面的問題來導(dǎo)入概念，如彈性函數(shù)，邊際成本等問題．對于化工專業(yè)的學(xué)生，可以用化學(xué)反應(yīng)濃度變化率的問題來引入概念．

2.2 通過實際問題的建模過程過渡到導(dǎo)數(shù)概念

為了引入導(dǎo)數(shù)概念，在教學(xué)中可以先引入以下一個數(shù)學(xué)模型．

題目為：一個受污染的湖泊，為了使湖水能在一定時間內(nèi)恢復(fù)到指定的潔凈程度，要對排入該湖的河水進(jìn)行治理，問排入的河水的污染物濃度要控制在什么范圍．

(1)問題的簡化：一個容積為C的容器，內(nèi)有濃度為a%的溶液，該容器有一個進(jìn)水口和一個出水口，現(xiàn)以D單位每小時的速度注入濃度為b% 的溶液，同時容器內(nèi)溶液以同樣速度流出，問容器內(nèi)的溶液濃度的變化率．

(2)模型的建立：首先考慮流入容器的水為清水的情況，并假定容器內(nèi)的溶液濃度始終是均勻的，那么流出的溶液濃度就是容器內(nèi)溶液的濃度．在這樣的假設(shè)條件下，容器內(nèi)的溶液濃度變化全部是由溶質(zhì)的流失引起，因此得到公式：濃度變化率=溶質(zhì)變化量/(溶液總量×變化時間)．

(3)模型的優(yōu)化：如果考慮到流入容器的水不是清水，則只需要將溶質(zhì)變化量改為流入溶質(zhì)減去流出溶質(zhì)即可．

但在上面的討論中，有一個問題被忽略掉了，那就是濃度，要知道它不是固定不變的，而是隨時間的變化而變化的．這時可以引導(dǎo)學(xué)生思考，若取時間為一小時，濃度變化顯然太大，如果考慮在一分鐘內(nèi)濃度的變化顯然不會太大，因而將濃度看作常數(shù)來計算而帶來的誤差也不會太大，可是一分鐘內(nèi)溶液濃度還是有變化的，要得到更加精確的結(jié)果就要把時間進(jìn)一步縮短，如1s、0.1s、……，那么所得的結(jié)果就會越來越精確．這時讓學(xué)生考慮，如果要得到精確結(jié)果應(yīng)該怎么辦？這時學(xué)生自然會想到應(yīng)該把時間無限縮短，即取時間趨于零的極限情況．

通過這樣一個實際的建模過程由學(xué)生親自參與，并結(jié)合其他例子，抓住他們的共性，就可以引出導(dǎo)數(shù)概念．這樣引入概念，學(xué)生有興趣、有成就感，理解更透徹，掌握更牢固．

2.3 通過結(jié)合數(shù)學(xué)史的相關(guān)故事過渡到導(dǎo)數(shù)概念

數(shù)學(xué)史導(dǎo)入法即是利用數(shù)學(xué)家的傳記或數(shù)學(xué)發(fā)展史導(dǎo)入新課的方法．這種方法可以使得課堂教學(xué)不枯燥乏味，有血有肉．同時還能通過榜樣的力量去感染學(xué)生，調(diào)動他們的學(xué)習(xí)積極性，喚起他們的探索熱情．因此，教師在對導(dǎo)數(shù)概念進(jìn)行教學(xué)時，可以適當(dāng)提及相關(guān)數(shù)學(xué)家提出的導(dǎo)數(shù)概念說法。比如：1750年達(dá)朗貝爾在為法國科學(xué)院出版的《百科全書》第四版寫的“微分”條目中提出了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的一種觀點，可以用現(xiàn)代符號簡單表示．1823年，柯西在他的《無窮小分析概論》中定義導(dǎo)數(shù)．19世紀(jì)60年代以后，魏爾斯特拉斯創(chuàng)造了ε-δ語言，對微積分中出現(xiàn)的各種類型的極限重加表達(dá)，導(dǎo)數(shù)的定義也就變成了今天常見的形式．

傳統(tǒng)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)只是按“公理、定義、定理、證明”四部曲，按部就班地呈現(xiàn)．但是，對于概念的形成，公式、定理的發(fā)現(xiàn)，乃至理論的創(chuàng)造與生長過程，這些更有趣的部分，幾乎不談．換言之，將完整的探索過程去頭砍尾，即去掉人文與歷史土壤，再砍掉品味與欣賞，結(jié)果造成數(shù)學(xué)的無趣與面目可憎，迫使學(xué)生走上痛苦之路．

另外，在實際教學(xué)中，課前教師可以布置一些任務(wù)讓學(xué)生準(zhǔn)備．例如讓學(xué)生搜集相關(guān)數(shù)學(xué)文化背景，導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展的歷史，一些相關(guān)數(shù)學(xué)家的資料，從而滲透數(shù)學(xué)文化教育，避免學(xué)生對數(shù)學(xué)的抵觸情緒．上課時可以讓學(xué)生分組交流，認(rèn)真體會一個新知識的發(fā)現(xiàn)并不是脫離實際的，也不是數(shù)學(xué)家憑空想象出來的，而是起源于各種生活中的相關(guān)問題，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的意識，激發(fā)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的積極性．通過深刻挖掘數(shù)學(xué)知識背后的人文因素、審美因素和育人價值，使得學(xué)生通過學(xué)習(xí)，不僅達(dá)到知識體系的完善和數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，而且還會感受到數(shù)學(xué)的美和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，感悟數(shù)學(xué)蘊含的豐富思想．

3 小結(jié)

高職院校導(dǎo)數(shù)概念的課堂教學(xué)需要教師認(rèn)真思考，精心設(shè)計，務(wù)必要注重高職生的年齡心理狀況和數(shù)學(xué)教材的編寫特點，一切從實際出發(fā)，注重趣味性和啟發(fā)性，融合科學(xué)性與藝術(shù)性，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生的思維活動和教師的講解交融在一起，產(chǎn)生共鳴，在熱烈的氣氛中開展教學(xué)活動，從而取得良好的教學(xué)效果．

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