董正方，王君杰，王文彪，姚毅超

(同濟大學 橋梁工程系，上海 200092)

20世紀70年代，研究者據地下結構地震反應特征提出地下結構抗震設計的反應位移法。文獻［1-6］對其地基彈簧剛度、地震荷載的確定開展大量研究。

反應位移法所需的土層沿深度變化地震位移、剪應力、加速度等數(shù)據可通過土層一維地震反應分析獲得。工程場地地震安全性評價中會提供地震動位移隨深度的變化，且地震動峰值位移沿深度取值方法已有研究成果，直接應用該成果可得土層沿深度變化的地震位移，但一般得不到土層剪應力。因此研究土層剪應力未知時，直接基于土層位移差求解反應位移法很有必要。

1 反應位移法理論推導

分析時分解成挖空土層與結構，如圖1所示。其中FI為二者相互作用力向量;uI為二者接觸面總位移向量，等于挖空土層的位移uII與相互作用力FI產生的位移uI2之和;FI=kuI2，k為地基彈簧剛度矩陣。忽略阻尼影響，結構運動方程為:

式中:下標I表示結構與土層接觸面節(jié)點，S表示其余節(jié)點;M，K為質量、剛度矩陣;為加速度向量;R為影響系數(shù)向量;為地震加速度。

圖1 體系分解示意圖Fig.1 System decomposition

圖2 反應位移法計算示意圖Fig.2 Response displacement method

將FⅠ用剛度與位移替換，移項慣性力，得:

式中:右邊加速度項括號內之和為絕對加速度;利用上式求解即可無需土層剪應力;uII為挖空土層位移，實際計算常用未挖空時位移uII，二者不同原因為存在土層之間的剪力FF;因此式(2)可改為:

式中:上標t表示絕對加速度，式(3)即常用反應位移法理論方程。

推導過程表明，反應位移法的地震荷載包括土層相對位移差、土層剪應力、結構慣性力。文獻［4］指出，除像輸水隧道等內部質量很大以外，在一般隧道中，慣性力影響增加不足1%。因本文重點研究土層位移與剪應力影響，故可忽略慣性力。土層相對位移與剪應力一般通過土層一維地震反應分析得到;對土層簡單情況，也可由計算得到［7］:

式中:u為土層位移，H為土層厚度，G為土動剪切模量，τ為土層剪應力，Sv為基巖速度反應譜，T1為土層特征周期，z為深度。用公式看似簡單，實際卻存在困難，尤其基巖速度反應譜國內并不常用。工程場地地震安全性評價中地震動位移隨深度的變化及其它地震動峰值位移沿深度的取值方法，均為未挖空土層位移。使用反應位移法時，還需土層剪應力。但土層剪應力隨深度變化的研究較少。由上述推導可知，若有挖空土層位移，反應位移法無需土層剪應力。

挖空土層位移可通過二維土層地震反應分析得到，但計算量較大;也可通過未挖空時位移得到挖空位移，只要知道二者關系即可。

2 土層位移關系

2.1 未挖空土層位移

無限土層在垂直向上的剪切地震波作用下的計算，可等效為在無限遠處承受一定荷載Q的彈性理論平面接觸問題，見圖 3［8］。

圖3 平面接觸模型Fig.3 Plane contact problem model

對圖3(a)，由彈性理論知在h范圍內的挖空土層的水平位移差為［9］:

式中:γ為土層剪應變;Δu為h范圍內土層位移差。

而對圖3(b)需應用平面問題的復變函數(shù)理論求解出復勢函數(shù)。將z平面上一個給定區(qū)域變成另一個復平面ζ上單位圓的外域映射函數(shù)普遍形式，用Laurent級數(shù)形式［10］表示為:

式中:R為正實數(shù)，反應孔形大小;工程結構通常至少有一個豎向對稱軸，則Ck必為實數(shù);一般情況下，級數(shù)中只需取很少幾項即足夠精確。

2.2 圓形孔挖空位移

對圓形孔，其映射函數(shù)變?yōu)椋?0］:

式中:R為圓孔半徑。

其復勢函數(shù)可表示為:

代入已知量，利用柯西積分公式，得:

由位移公式［9］:

式中:ν為土體泊松比，分離實部與虛部得水平位移:

ρ取1，θ取 90°、270°時，可得圓孔上下部水平位移，二者相減得水平位移差為:

將式(5)代入，得兩位移關系為:

其中:η為位移差放大系數(shù)。因土體泊松比一般為0.2～0.4，故η的取值范圍為2.4 ～3.2。

2.3 矩形孔挖空位移

對矩形孔，其映射函數(shù)變?yōu)椋?1］:

式中:c為與矩形大小有關的實數(shù);cn(n=1，3，5，7)算式為［11］:

式中:k取決于矩形高寬比。c的計算式為:

式中:a，b為矩形寬、高度。假設一個k，通過式(17)求出cn，可得計算高寬比λ:

與實際高寬比b/a相比，反復迭代使誤差滿足要求，即可得到c。

為簡化，映射函數(shù)可只取前兩項。推導過程同圓形孔，篇幅所限，只給出最后結果:

放大系數(shù)與土體泊松比及矩形形狀有關。

3 算例

利用上述關系，用反應位移法即可由未挖空位移差得到挖空位移差，然后加到模型上，不再施加剪應力，可簡化計算過程，尤其在未知剪應力時。用典型算例驗證上述方法的適用性。

3.1 典型結構

選軟土中典型盾構隧道及地下車站。盾構隧道外徑7 m、內徑6.3 m，中心埋深18.2 m;矩形地下車站高13 m、寬20.6 m，中心埋深9.467 m。土層參數(shù)按土層厚度加權平均，等效為中軟土，土層厚度100 m下為基巖。其余參數(shù)見表1。結構尺寸見圖4。

表1 材料參數(shù)Tab.1 Material parameters

圖4 結構尺寸圖(單位:m)Fig.4 Cross section of structure(unit:m)

3.2 計算工況

考慮土體軟硬程度的影響，分別用假設的硬土與軟土代替中軟土;考慮本文方法的適用性，反應位移法荷載分三種情況:① 使用一維土層地震反應分析計算位移差及剪應力，并作為基準工況;② 使用①的位移差，不加剪應力;③ 使用①的位移差乘以放大系數(shù)，不加剪應力。各計算工況見表2。

表2 計算工況Tab.2 Computational cases

以結構內力為對象，考慮水平地震作用，選計算模型中關鍵截面作為控制截面，如圖5所示。

圖5 結構截面力考察位置分布Fig.5 Distribution of observation points in the cross section

采用自編的Aduts有限元軟件，用三種方法分別計算不同工況。一維自由土層地震反應計算用Pro-Shake，土應力-應變特性曲線與阻尼特性曲線分別用Seed和Idriss提出的砂土模型曲線;為較全面驗證，基巖輸入地震波采用Taft波(下稱Ta波)、Treas波(下稱Tr波)及Petrolia波(下稱Pe波)，如圖6所示，峰值加速度調整為0.1 g。

圖6 三條地震波Fig.6 Three earthquake accelerograms

3.3 基本參數(shù)計算結果

反應位移法地基彈簧剛度用靜力有限元法計算;盾構隧道壓縮彈簧剛度取平均值，剪切彈簧剛度取壓縮剛度的0.5倍［12］;地下車站底板、頂板、側板地基壓縮彈簧剛度分別取平均值，剪切彈簧剛度分別取壓縮彈簧剛度的1/3［13］。土層動剪切模量取一維自由土層地震反應結果;位移差放大系數(shù)按式(15)、(20)計算。Ta波結果見表3。

表3 基本參數(shù)Tab.3 Essential parameters

3.4 結構內力計算結果

結構位置處的內力最大值見表4、表5，誤差是相對法1的，車站A點取側板頂部內力，車站B點取側板彎矩及剪力、中板軸力。篇幅所限，只給出工況2、5的Ta波彎矩、剪力、軸力的分布圖，如圖7～圖12，其它工況結果類似。

表4 隧道截面內力Tab.4 Results of force in cross section of the tunnel

圖7 隧道彎矩分布圖Fig.7 Moment distribution of the tunnel

圖8 隧道剪力分布圖Fig.8 Shear force distribution of the tunnel

圖9 隧道軸力分布圖Fig.9 Axial force distribution of the tunnel

表5 車站考察截面的內力Tab.5 Results of force in cross section of the station

圖10 車站彎矩分布圖Fig.10 Moment distribution of the station

圖11 車站剪力分布圖Fig.11 Shear force distribution of the station

圖12 車站軸力分布圖Fig.12 Axial force distribution of the station

由內力結果看出:盡管三條地震波的頻譜特性不同，但其內力隨土層軟硬變化的規(guī)律基本一致;三種方法的內力分布形式基本一致;關鍵截面處內力隨土層由硬變軟，誤差由大變小，說明不太適宜硬土情況。

對圓形隧道，不考慮土層剪應力時，關鍵截面內力結果偏小60%左右，最大達約80%，與文獻［14］結論基本一致，土層剪應力影響較大，不能忽略。用挖空位移時，關鍵截面彎矩及剪力硬土情況下偏大、軟土情況下偏小;截面剪力和彎矩偏大對截面驗算偏于安全，偏小誤差在11%以內;截面軸力偏小，但較不考慮剪力時誤差更小，偏小原因為地基彈簧剛度求解時忽略彈簧之間的相互影響也會造成軸力偏?。?］，通過提高地基彈簧剛度精度，誤差會減小;放大系數(shù)基于深埋，埋深增加，誤差也會減小;因此本文方法可行。

對矩形車站，不考慮土層剪應力時規(guī)律與圓形隧道一致，故土層剪應力影響也不能忽略。用挖空位移時，關鍵截面內力一般偏大，個別情況偏小，偏小誤差在10%以內;雖截面內力有情況下偏大達約1.7倍，但較偏小安全。矩形車站誤差較大的重要原因為地基彈簧剛度求解存在誤差，而土層位移差作用在結構上通過地基彈簧，因此彈簧剛度誤差傳遞到內力上;另一個原因是位移放大系數(shù)求解時，只取映射函數(shù)的前兩項，也會造成誤差;另外車站埋深較淺，而本文放大系數(shù)基于深埋;通過提高彈簧剛度精度、映射函數(shù)多取幾項、針對深埋結構，可減少誤差，因此本文方法也是可行的。

4 結論

本文對基于土層位移差的反應位移法求解進行研究，并通過典型圓形隧道與矩形車站算例驗證，結論如下:

(1)本文給出的無限均勻介質中未挖空位移與挖空位移的解析關系，適用于土層均勻單一的圓形和矩形孔;土層位移差的放大系數(shù)，對圓形孔僅與土層泊松比有關，對矩形孔則與矩形形狀有關。

(2)基于土層位移差的反應位移法適用于土層剪應力難以獲取場合及埋深較大的地下結構;不適用硬土土情況。

(3)該法精度依賴于地基彈簧剛度的求解精度，對地基彈簧剛度求解要求較高。

本文提出的方法拓寬了反應位移法的使用范圍，適用于地下結構前期設計的抗震分析。

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