劉樹(shù)青，王興松

(1.東南大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，南京 211189;2.南京工程學(xué)院 先進(jìn)制造技術(shù)工程中心，南京 211167)

剪式機(jī)構(gòu)作為可展機(jī)構(gòu)應(yīng)用廣泛，其基本組成單元為由兩個(gè)連桿與轉(zhuǎn)動(dòng)銷(xiāo)軸連接的“X”型結(jié)構(gòu)，稱(chēng)為剪式單元。由多個(gè)剪式單元相互串接可構(gòu)成平面多級(jí)剪式伸縮機(jī)構(gòu)，將其合理搭接，可形成豐富實(shí)用的立體剪式單元。在建筑、工程機(jī)械、機(jī)器人、空間結(jié)構(gòu)等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。隨著航天技術(shù)的發(fā)展，可展機(jī)構(gòu)成為航天領(lǐng)域研究熱點(diǎn)，而剪式機(jī)構(gòu)作為應(yīng)用最廣的可展機(jī)構(gòu)形式，對(duì)其拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、可展開(kāi)性、運(yùn)動(dòng)學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等方面的相關(guān)研究較受重視［1-4］，而對(duì)其機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)研究相對(duì)較少。

對(duì)剪式可展機(jī)構(gòu)，若直接建立動(dòng)力學(xué)模型則會(huì)導(dǎo)致方程規(guī)模大，求解困難，較難實(shí)時(shí)仿真與控制。剪式可展機(jī)構(gòu)由剪式單元組合而成，模塊化程度高，甚至各剪式單元結(jié)構(gòu)相同或相似。因此，將該機(jī)構(gòu)劃分為簡(jiǎn)單子系統(tǒng)建立運(yùn)動(dòng)方程，并利用子系統(tǒng)間的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，建立整體系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)程式化建模，可有效縮減求解規(guī)模，對(duì)此，文獻(xiàn)［5-8］均有研究。

本文針對(duì)由相互耦合子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜多體系統(tǒng)剪式可展機(jī)構(gòu)提出高效計(jì)算子系統(tǒng)方法。該方法將復(fù)雜多體系統(tǒng)劃分為簡(jiǎn)單子系統(tǒng)，分別建立各子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，并通過(guò)子系統(tǒng)間的遞推關(guān)系建立整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，將求解整體系統(tǒng)大規(guī)模運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為求解子系統(tǒng)小規(guī)模運(yùn)動(dòng)方程，與傳統(tǒng)方法相比，計(jì)算效率更高。

1 狀態(tài)空間子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

將剪式單元視為子系統(tǒng)，則多數(shù)剪式可展機(jī)構(gòu)在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上包含相同子系統(tǒng)，如圖1所示。因此，子系統(tǒng)模型便可多次重復(fù)使用。剪式可展機(jī)構(gòu)中子系統(tǒng)個(gè)數(shù)發(fā)生變化或設(shè)計(jì)過(guò)程中需更改子系統(tǒng)結(jié)構(gòu)時(shí)，均可對(duì)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行修改，建模過(guò)程易于程式化。

圖1 剪式機(jī)構(gòu)Fig.1 Scissor-like mechanism

1.1 坐標(biāo)系及各參數(shù)遞推表示

多體系統(tǒng)中相鄰兩連接體及相關(guān)坐標(biāo)系如圖2所示，其中i為j的內(nèi)接體。O-XYZ為慣性坐標(biāo)系，O'i-X'iY'iZ'i為連接體i體坐標(biāo)系，位于連接體i的內(nèi)接關(guān)節(jié)處，其原點(diǎn)在慣性系中的位置向量為ri，相對(duì)慣性系方向矩陣為Ai;O″ij-X″iY″iZ″i位于連接體i的外接關(guān)節(jié)處，其相對(duì)于體坐標(biāo)系O'i-X'iY'iZ'i的方向矩陣為Cij，O'i與O″ij之間的位置向量為sij;同理可定義連接體j的相關(guān)坐標(biāo)系，O″ij與O'i之間的位置向量為dij。

坐標(biāo)系建立后，連接體j的位置、速度、加速度均可用其內(nèi)接體i的相關(guān)參數(shù)遞推表示［5］:

圖2 相鄰兩連接體坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of adjacent body

為連接體i的加速度狀態(tài)向量;為連接體j和i之間的速度轉(zhuǎn)移矩陣;qj為關(guān)節(jié)j的關(guān)節(jié)相對(duì)坐標(biāo)，ωi為關(guān)節(jié)i的角速度向量，Hj為關(guān)節(jié)j的軸線方向向量。

1.2 子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

將式(3)中狀態(tài)速度用虛位移代替，得虛位移狀態(tài)變分:

多剛體系統(tǒng)變分形式的牛頓-歐拉方程為［9］:

對(duì)開(kāi)環(huán)子系統(tǒng)，根據(jù)子系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將式(2)、式(4)的遞推關(guān)系依次代入式(5)，可得開(kāi)環(huán)子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為:

若已知子系統(tǒng)基體加速度，則有:

對(duì)閉環(huán)子系統(tǒng)，切斷連接體n和n'之間的關(guān)節(jié)，使之成為兩個(gè)開(kāi)鏈，并引入切斷關(guān)節(jié)處的約束力及約束方程，得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為:

其中:λ為拉氏乘子，Φq為約束雅各比矩陣。

若已知子系統(tǒng)基體加速度，據(jù)式(9)可計(jì)算出拉氏乘子及各連接體加速度為:

2 子系統(tǒng)方法

據(jù)系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，綜合子系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程及約束方程，可建立整個(gè)多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程，該方程數(shù)目多，求解規(guī)模大，且在產(chǎn)品設(shè)計(jì)階段，如果系統(tǒng)中增加或減少一個(gè)子系統(tǒng)，或系統(tǒng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，則需對(duì)系統(tǒng)模型做復(fù)雜的修正。因此，需一種算法，能使各子系統(tǒng)獨(dú)立建模計(jì)算，且能方便、高效評(píng)價(jià)對(duì)整體系統(tǒng)影響。

2.1 子系統(tǒng)等效

為每個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)增加一個(gè)虛物體，子系統(tǒng)通過(guò)該虛物體與基體或其他子系統(tǒng)相連，如圖3所示。

圖3 子系統(tǒng)及虛物體Fig.3 subsystem and virtual body

虛物體無(wú)慣量、重力等動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，只用于建立參考系便于描述子系統(tǒng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)。若虛物體運(yùn)動(dòng)已知，則其對(duì)應(yīng)的子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析可獨(dú)立進(jìn)行。在整體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析中，須計(jì)算每個(gè)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)影響。

將式(7)代入式(6)得開(kāi)環(huán)子系統(tǒng)對(duì)其基體的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量分別為:

將式(9)、(10)代入式(8)得閉環(huán)子系統(tǒng)對(duì)基體的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量為:

2.2 整體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)圖4由相互耦合的開(kāi)環(huán)或閉環(huán)子系統(tǒng)構(gòu)成的復(fù)雜多體系統(tǒng)，可將其劃分為圖5所示幾個(gè)子系統(tǒng)。每個(gè)子系統(tǒng)通過(guò)虛物體與內(nèi)接子系統(tǒng)相連。

圖4 子系統(tǒng)間相互耦合的多體系統(tǒng)Fig.4 Multibody system with intercoupled subsystems

圖5 子系統(tǒng)劃分及等效Fig.5 Subsystem division and the effective model

由求解閉環(huán)約束方程得到的子系統(tǒng)位置與速度，可求得子系統(tǒng)內(nèi)所有物體與關(guān)節(jié)的位置及速度。子系統(tǒng)虛物體與其內(nèi)接子系統(tǒng)的連接體運(yùn)動(dòng)相同，因此，位置與速度分析可沿正向從第一個(gè)子系統(tǒng)向末端子系統(tǒng)遞推。

完成位置和速度分析后，運(yùn)用式(11)、(12)或式(13)、(14)從末端子系統(tǒng)向內(nèi)部子系統(tǒng)反向遞推，計(jì)算每個(gè)子系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量。在此過(guò)程中，外部子系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量與相鄰內(nèi)部子系統(tǒng)的連接體質(zhì)量矩陣及力向量相加。最終得到整條路徑等效到基體的質(zhì)量矩陣及力向量。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

式(15)中，無(wú)論子系統(tǒng)自由度多大、有幾個(gè)子系統(tǒng)相互串接，矩陣維數(shù)始終為6×6，向量維數(shù)為6×1，大大降低了整體系統(tǒng)的求解規(guī)模，提高了計(jì)算效率，而編程中也便于增加或刪除某個(gè)子系統(tǒng)對(duì)整體系統(tǒng)的影響，若子系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生變化，修改程序也只限于相應(yīng)的子系統(tǒng)內(nèi)部。

與傳統(tǒng)微分代數(shù)方程動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算效率比較見(jiàn)圖6，圖中，橫坐標(biāo)為多體系統(tǒng)自由度數(shù)(DOF)，縱坐標(biāo)為兩種方法的建模及求解時(shí)間，該時(shí)間Intel i5 2450 M CPU，2.5 GHz，4 GB RAM 計(jì)算機(jī)的 Mathematica 軟件所得。當(dāng)系統(tǒng)自由度數(shù)小于25時(shí)，子系統(tǒng)遞推方法的計(jì)算效率低于傳統(tǒng)微分代數(shù)模型;隨著系統(tǒng)自由度數(shù)目的增加，子系統(tǒng)遞推方法的計(jì)算效率明顯提高，自由度數(shù)越多，效率越明顯。

圖6 計(jì)算效率對(duì)比Fig.6 Comparison of computational efficiency

3 剪式可展機(jī)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)計(jì)算

運(yùn)用上述子系統(tǒng)方法對(duì)圖7三級(jí)平面剪式機(jī)構(gòu)進(jìn)行多體動(dòng)力學(xué)建模，并在Mathematica環(huán)境下編程仿真。

本文剪式機(jī)構(gòu)主要參數(shù)為:桿件矩形截面寬b=5 mm，高h(yuǎn)=30 mm，干架長(zhǎng)度l=1 000 mm，材料密度ρ=2 750 kg/m3，彈性模量E=70 ×109N/m2，初始角度θ1=30°。

圖7 三級(jí)剪式機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.7 Diagram of 3-level scissor-like mechanism

外力為施加于A、C兩點(diǎn)的驅(qū)動(dòng)力:

三級(jí)剪式機(jī)構(gòu)由三個(gè)相同剪式單元串聯(lián)，傳統(tǒng)建模方法建立的動(dòng)力學(xué)模型為36×36維，本文將每個(gè)剪式單元作為一個(gè)子系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)模型，得到其等效質(zhì)量矩陣及等效力向量，從末端依次向根部遞推，則可得整個(gè)系統(tǒng)6×6維的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量，從而降低求解規(guī)模。各節(jié)點(diǎn)位置、速度、加速度可通過(guò)從根部向末端的正向遞推求得。

為驗(yàn)證子系統(tǒng)方法的正確性，建立三級(jí)剪式機(jī)構(gòu)拉格朗日動(dòng)力學(xué)模型，仿真結(jié)果為圖8中虛線，子系統(tǒng)方法仿真結(jié)果為圖8中實(shí)線。圖8(a)、(b)、(c)分別為圖7中角度θ1的角位置、角速度及角加速度隨時(shí)間的變化關(guān)系曲線，子系統(tǒng)模型仿真結(jié)果與拉格朗日模型仿真結(jié)果基本一致，由此驗(yàn)證了子系統(tǒng)方法的正確性。由于拉格朗日模型采用解析方法，而子系統(tǒng)模型采用數(shù)值方法，存在一定計(jì)算誤差，故圖中曲線不完全重合。

圖8 仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results

4 結(jié)論

將剪式可展機(jī)構(gòu)劃分成簡(jiǎn)單子系統(tǒng)，為每個(gè)子系統(tǒng)添加虛物體，獨(dú)立求解每個(gè)子系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，并根據(jù)子系統(tǒng)間的拓?fù)潢P(guān)系進(jìn)行組合或遞推，得到整個(gè)系統(tǒng)的等效質(zhì)量矩陣及等效力向量，從而減小了求解規(guī)模。該建模方法適用于具有多個(gè)相互耦合的開(kāi)環(huán)或閉環(huán)子系統(tǒng)的復(fù)雜多體系統(tǒng)，建模方法易于程式化。通過(guò)與傳統(tǒng)方法比較驗(yàn)證了該方法的正確性。

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