合情推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論(包括經(jīng)驗和實踐的結(jié)果),以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程.這種推理的途徑是從觀察、實驗入手,憑數(shù)學(xué)直覺,通過類比而產(chǎn)生聯(lián)想、歸納而提出猜想.歸納推理和類比推理是合情推理常用的思維方法.近年的高考明顯加大了這方面的考查力度.
歸納推理是??碱愋?,而類比推理作為考查學(xué)生學(xué)習(xí)潛能的重要陣地,近年成為考試命題的熱點,往往被設(shè)計為填空題或者選擇題的壓軸題目,不僅有概念與性質(zhì)層面的類比,而且有過程與方法的類比.下面對合情推理在高考中的類型進行歸納和評析.
一、 歸納推理由特殊到一般
例1.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察:
f(x)=f(x)=,
f(x)=f(f(x))=,
f(x)=f(f(x))=,
f(x)=f(f(x))=,
……
根據(jù)以上事實,由歸納推理可得:
當(dāng)n∈N且n≥2時,f(x)=f(f(x))= ?
答案:.
例2.觀察下列等式
1=1
2+3+4=9
3+4+5+6+7=25
4+5+6+7+8+9+10=49
……
照此規(guī)律,第n個等式為 ?
答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1).
評析:以上兩題的難度不大,此類問題重在考查學(xué)生的觀察能力和歸納推理能力.可利用歸納推理直接從已知的幾個特殊情況歸納出一般情況,達到解題的目的.這種歸納推理考查了學(xué)生的推理論證能力.
合情推理中的類比推理指的是依據(jù)兩個數(shù)學(xué)對象的已知相似性,把其中一個數(shù)學(xué)對象已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個數(shù)學(xué)對象上去獲得后一個數(shù)學(xué)對象的性質(zhì)的一種方法,是特殊到特殊的推理.在數(shù)學(xué)中常用的類比形式有:“數(shù)”與“形”的類比;平面與空間的類比;高維與低維的類比;有限與無限的類比;解題方法的類比,等等.
二、類比聯(lián)想與合情推理
例3.在等差數(shù)列{a}中,若a=0,則有等式a+a+…+a=a+a+…+a(n<19,n∈N)成立,類比上述性質(zhì),相應(yīng)的,在等比數(shù)列中,若b=1,則有等式 成立.
解析:本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比.一種較本質(zhì)的認識是:等差數(shù)列用減法定義,性質(zhì)用加法表述(若m,n,p,q∈N,且m+n=p+q,則a+a=a+a);等比數(shù)列用除法定義,性質(zhì)用乘法表述(若m,n,p,q∈N,且m+n=p+q,則a?a=a?a).
由此,猜測本題的答案為:bb…b=bb…b(n<17,n∈N).事實上,該性質(zhì)可證.
評析:本題是一道小巧而富于思考的妙題,主要考查觀察分析能力和抽象概括能力,考查運用類比的思想方法,由等差數(shù)列{a}而得到等比數(shù)列的新的一般性的結(jié)論.
例4.在平面幾何里,有勾股定理:“設(shè)△ABC的兩邊AB,AC互相垂直,則AB+AC=BC.”拓展到空間,類比平面幾何的勾股定理,研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系,可以得出的正確結(jié)論是:“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC,ACD,ADB兩兩相互垂直,則 ?”
解析:關(guān)于空間問題與平面問題的類比,通常可抓住幾何要素的如下對應(yīng)關(guān)系作對比:多面體與多邊形;面與邊;體積與面積;二面角與平面角;面積與線段長 ……由此,可類比推測本題的答案: S+SS=S.
評析:本題考查由平面幾何的勾股定理到空間的拓展推廣,因此平時教學(xué)與復(fù)習(xí)中要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí),更要注意研究性學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)中的適時切入.
三、方法類比提升推理層次
例5.在某些數(shù)列的求和中,可把其中一項分裂成兩項之差,使得某些項可以相互抵消,從而實現(xiàn)化簡求和.例如:已知數(shù)列{a}的通項為a=,則a=-,故數(shù)列{a}的前n項和S=(1-)+(-)+…+(-)=1-=.“斐波那契數(shù)列”是數(shù)學(xué)史上一個著名的數(shù)列.在斐波那契數(shù)列{a}中,a=1,a=1,a=a+a(n∈N),若已知a=a,那么數(shù)列{a}的前2011項和是 ?
解析: S=a+a+a+…+a+a=(a-a)+(a-a)+(a-a)+…+(a-a)+(a-a)=a-a=a-1.
例6.已知數(shù)列{a}的通項為a=(2n-1)?2,求其前n項和為S時,我們用錯位相減法,即由S=1?2+3?2+5?2+…+(2n-1)?2得2S=1?2+3?2+5?2+…+(2n-1)?2,兩式相減得-S=2+2?2+2?2+…+2?2-(2n-1)?2求出S=(2n-3)?2+6,類比推廣以上方法,若數(shù)列的通項為b=n?2,則其前n項和為T= ?
解析:
∵T=1?2+2?2+…+(n-1)?2+n?2
∴2T=1?2+2?2+…+(n-1)?2+n?2
∴-T=2+3?2+5?2+…+(2n-1)?2-n?2
=(2n-3)?2+6- n?2
故T=(n-2n+3)?2-6.
綜上所述,合情推理這類試題考查了學(xué)生分析、解決問題的能力,要求學(xué)生有一定的創(chuàng)新能力,能利用已學(xué)過的知識,在新的環(huán)境下獨立獲得新的知識結(jié)論.因此教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生的思維向深度、廣度拓展,掌握猜測歸納推理數(shù)學(xué)規(guī)律的方法,養(yǎng)成“觀察—歸納(類比)—猜想—論證”的思維習(xí)慣,從而提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).