摘 要： 本文借助向量的數(shù)量積，向量積和混合積，以及點(diǎn)到平面的距離公式，給出了空間兩異面直線間距離公式的兩個(gè)簡(jiǎn)易證明.
　　關(guān)鍵詞： 異面直線 公垂線 向量積 數(shù)量積 混合積
　　1.引言
　　在解析幾何教學(xué)中，關(guān)于空間兩異面直線的內(nèi)容主要討論兩個(gè)方面的問(wèn)題，一個(gè)是討論兩異面直線的公垂線的方程［１］，其中兩異面直線的公垂線是指與兩條異面直線都垂直相交的直線，文獻(xiàn)［4］通過(guò)具體實(shí)例給出了空間兩條異面直線公垂線方程的幾種求法;另一個(gè)是討論兩異面直線間的距離，其中兩直線間的距離是指兩直線上的點(diǎn)之間的最短距離.顯然，兩相交直線和重合直線直線的距離為零，兩平行直線間的距離等于其中一直線上的任意一點(diǎn)到另一直線的距離.這三種情況的距離是很容易理解和計(jì)算的.兩異面直線的距離在理解和計(jì)算方面相對(duì)比較難.
　　文獻(xiàn)［1］介紹了兩異面直線間的距離公式：已知兩異面直線l和l的方程分別為：
　　==
　　和
　　==
　　記A（x，y，z），=（m，n，p），B（x，y，z），=（m，n，p），兩異面直線間的距離為d，則
　　d=
　　文獻(xiàn)［2］給出了兩異面直線距離的六種推導(dǎo)方法.本文利用數(shù)量積、向量積和混合積，以及點(diǎn)到平面的距離，給出上述距離公式的簡(jiǎn)單證明.為此，我們先給出幾個(gè)引理.
　　引理1［１，3］?搖?搖如果⊥，則?=0.
　　引理2［１］?搖?搖兩異面直線的公垂線是唯一存在的.
　　引理3［１］?搖?搖兩異面直線間的距離等于它們公垂線的長(zhǎng).
　　引理4［１］?搖?搖點(diǎn)M（x，y，z）與平面Ax+By+Cz+D=0間的距離為d=.
　　2.兩異面直線間的距離公式的證明
　　證法1：作異面直線l和l的公垂線CD，交l與C和交l與D，如圖1所示.
　　則=與C共線，⊥A和⊥D.
　　從而|C|=|e?C|.（1）
　　A?=0和D?=0.（2）
　　由引理3知，兩異面直線l和l間的距離d=|C|，于是由式（1）知
　　d=|C?|.（3）
　　顯然=A+C+D，于是由式（2）得
　　?=C?.
　　從而由式（3）和混合積的定義得
　　d=.
　　證法2：設(shè)P為空間上任一點(diǎn)，則經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，以向量，為方位向量的平面π方程為
　?。ˋ，，）=0，
　　且該平面π的法向量為×.
　　顯然，平面π平行于直線l，于是兩異面直線l和l的距離為點(diǎn)B到平面π的距離.從而由引理4得兩異面直線l和l的距離為
　　d=
　　3.結(jié)語(yǔ)
　　本文運(yùn)用向量的基本運(yùn)算（向量積，數(shù)量積，混合積）和點(diǎn)到平面的距離，給出了兩異面直線間距離公式的推導(dǎo)，證明過(guò)程淺顯易懂.這對(duì)于學(xué)生理解和掌握兩異面直線間的距離公式有很大幫助，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維具有非常重要的意義.
　　參考文獻(xiàn)：
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　　基金項(xiàng)目：重慶市教育委員會(huì)項(xiàng)目（No.KJ100419），重慶交通大學(xué)高教所教改研究課題（No.1003011